黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式的解法教学案(无答案)新人教A版必修5

第2课时 一元二次不等式及其解法（习题课）

[课时作业]

[A组 基础巩固]

1．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a>0}，A∩B＝∅，则a的取值范围是( )

A．a＝3 B．a≥3

C．a<3 D．a≤3

解析：A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a>0}＝{x|x>a}，因为A∩B＝∅，所以a≥3.故选B.

答案：B

2．已知x＝2是不等式m2x2＋(1－m2)x－4m≤0的解，则m的值为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：由题意知，4m2＋(1－m2)·2－4m≤0，

∴m2－2m＋1≤0.

即(m－1)2≤0，∴m＝1.

答案：A

3．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax－bx－2>0的解集是( )

A．{x|x<－1或x>2} B．{x|－1

C．{x|12}

解析：依题意，a>0且－ba＝1.

ax－bx－2>0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔x－ba(x－2)>0，

即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2或x<－1.

答案：A

4．不等式x2－2x－2x2＋x＋1＜2的解集为( )

A．{x|x≠－2} B．R

C．∅ D．{x|x＜－2或x＞2}

解析：∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34＞0，原不等式⇔x2－2x－2＜2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4＞0⇔(x＋2)2＞0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．

答案：A

5．设集合P＝{m|－1

A．PQ B．QP

C．P＝Q D．P∩Q＝∅

解析：当m＝0时，－4<0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4<0对任意实数x∈R恒成立可得．

 m<0，Δ＝16m2＋16m<0，解得－1

综上所述，Q＝{m|－1

∴PQ，故选A.

答案：A

6．若关于x的不等式x－ax＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.

1 3.2 一元二次不等式及其解法（二）

[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．

知识点一 分式不等式的解法

主导思想：化分式不等式为整式不等式

类型 同解不等式

f（x）g（x）＞0(＜0) 法Ⅰ：

f（x）＞0（＜0）g（x）＞0或f（x）＜0（＞0）g（x）＜0

法Ⅱ：

f(x)·g(x)＞0(＜0)

f（x）g（x）≥0(≤0) 法Ⅰ：

f（x）≥0（≤0）g（x）＞0或f（x）≤0（≥0）g（x）＜0

法Ⅱ：

f（x）·g（x）≥0（≤0）g（x）≠0

f（x）g（x）＞a＜a≥a≤a 先移项转化为上述两种形式

知识点二 简单的一元高次不等式的解法

一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：

(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；

(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；

(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；

(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集． 2 思考 (x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为______________．

答案 {x|1＜x＜2或x＞4}

解析 利用数轴穿根法

知识点三 一元二次不等式恒成立问题

对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：

(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a＞0，Δ＜0Ｗ.

ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔a＜0，Δ＜0Ｗ.

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．

§3.2一元二次不等式及其解法

【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】

1.课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P76互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250xx…………………………(1)

2.讲授新课 1）一元二次不等式的定义

象250xx这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

2）探究一元二次不等式250xx的解集

怎样求不等式（1）的解集呢？

探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5xx

二次函数有两个零点：120,5xx

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集

画出二次函数25yxx的图象，如图，观察函数图象，可知：

当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即250xx；

当0

所以，不等式250xx的解集是|05xx，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220,(0)0,(0)axbxcaaxbxca或

1 3.2 一元二次不等式及其解法

第一课时 一元二次不等式及其解法

(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？

(2)如何求解一元二次不等式？

(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？

[新知初探]

1．一元二次不等式

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根

x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根

x1＝x2＝－b2a 没有实数根

ax2＋bx＋c>0(a>0)

的解集 { x|xx2} x|x≠－b2a R

Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c<0(a>0) {}x|x1

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式( )

(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解( )

(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1

(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R( )

解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．

(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.

(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1

(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√