组合典型例题解析
【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信
（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话
（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次
（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能
（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法
（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A2
=90（种）.
10
（2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通
=45（种）.
了一次电话，没有顺序的区别.组合数为C2
10
（3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先
=45（种）.
谁后，没有顺序的区别.组合数为C2
10
（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、
乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.排列数为A 2
10=90（种）.
（5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为
C 310=120（种）.
（6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序
区别的.排列数为A 310=720（种）.
点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
【例2】 写出从五个元素a ，b ，c ，d ，e 中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数.
解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑.
a b b c c c d
d d
d e
e
e
e
e
根据树形图，所有组合为abc ，abd ，abe ，acd ，ace ，ade ，bcd ，
bce ，bde ，cde .
组合数为C 35=10（个）.
点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b 后面不能出现a ，元素c 后面不能出现a 、b 等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.
【例3】 已知
n 5
C 1
－
n 6
C 1＝
n 7
10C 7，求C n
8的值.
解：由组合数公式可得
!
7)!7(!107!6)!6(!!5)!5(!n n n n n n -⋅
=---. 化简得n 2－23n ＋42＝0. ∴n ＝21或n =2. ∵n ≤5，∴n ＝2.
∴C n 8＝C 28＝28.
点评：本题先求n 值，再求组合数.化简时常用公式C m n =)!
(!!
m n m n -，
计算时常用C
m
n
=m m
m n A A .
【例4】 计算（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2
100；
（2）A2
3+A2
4
+A2
5
+…+A2
100
.
解：（1）C2
3+C2
4
+C2
5
+…+C2
100
=（C3
3+C2
3
）+C2
4
+C2
5
+…+C2
100
－C3
3
=（C3
4+C2
4
）+C2
5
+…+C2
100
－C3
3
=C3
101－C3
3
=166649.
（2）A2
3+A2
4
+A2
5
+…+A2
100
=A2
2（C2
3
+C2
4
+…+C2
100
）
=2×166649=333298.
点评：注意题中对公式C m
n +C1-m
n
=C m
n1+
及A m
n
=C m
n
·A m
m
的应用.若逆
用公式C m
n +C1-m
n
=C m
n1+
也可解决（1）.即将公式变形，C1-m
n
=C m
n1+
－C m
n
，
则有C2
3+C2
4
+C2
5
+…+C2
100
=（C3
4
－C3
3
）+（C3
5
－C3
4
）+（C3
6
－C3
5
）+…+（C3
101
－C3
100）=C3
101
－C3
3
=166649.
【例5】解下列方程：
（1）C2
n
=66；
（2）C n
10
=210；
（3）C n
18=C6
3
18
-
n.
