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组合典型例题解析

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组合典型例题解析

【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.

（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信

（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话

（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次

（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能

（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法

（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法

解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.

（2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.

（3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.

（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.

（5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C310=120（种）.

（6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）.

点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

【例2】 写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数.

解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑.

abbcccdddcdeddeeeee

根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.

组合数为C35=10（个）.

点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.

【例3】 已知n5C1－n6C1＝n710C7，求Cn8的值.

解：由组合数公式可得

!7)!7(!107!6)!6(!!5)!5(!nnnnnn.

化简得n2－23n＋42＝0.

∴n＝21或n=2.

∵n≤5，∴n＝2.

∴Cn8＝C28＝28.

点评：本题先求n值，再求组合数.化简时常用公式Cmn=)!(!!mnmn，计算时常用Cmn=mmmnAA.

【例4】 计算（1）C23+C24+C25+…+C2100；

（2）A23+A24+A25+…+A2100.

解：（1）C23+C24+C25+…+C2100

=（C33+C23）+C24+C25+…+C2100－C33

=（C34+C24）+C25+…+C2100－C33

=C3101－C33=166649.

（2）A23+A24+A25+…+A2100

=A22（C23+C24+…+C2100）

=2×166649=333298.

点评：注意题中对公式Cmn+C1mn=Cmn1及Amn=Cmn·Amm的应用.若逆用公式Cmn+C1mn=Cmn1也可解决（1）.即将公式变形，C1mn=Cmn1－Cmn，则有C23+C24+C25+…+C2100=（C34－C33）+（C35－C34）+（C36－C35）+…+（C3101－C3100）=C3101－C33=166649.

【例5】 解下列方程：

（1）C2n=66；

（2）Cn10=210；

（3）Cn18=C6318n.

解：（1）由原方程，得2)1(nn=66，

即n2－n－132=0.

解得n=12或n=－11.

∵n≥2，∴n=－11舍去.

经检验n=12是原方程的解.

（2）根据性质Cmn=Cmnn知，只需将n=1，2，3，4，5代入Cn10=210中一一验证，解得C410=210，又C610=C610，

∴n=4或n=6.

经检验，n=4，n=6都是原方程的解.

（3）由原方程得n=3n－6或18－n=3n－6，

∴得n=3或n=6.

经检验，n=3，n=6都是原方程的解.

点评：（1）解Cmn=a型的方程有两类：一类已知m求n；另一类已知n求m.对于前者，只需利用组合数公式转化为关于n的m次方程；对于后者，一般可将未知数的值用1，2，…依次代入验证求解.但在解这类方程时，必须注意检验，不仅要注意0≤m≤n，n＞0，m，n∈Z，而且要注意组合数性质Cmn=Cmnn的运用，以防止失根.

（2）解Cxn=Cyn型的方程，要注意两种情形，即x=y或x=n－y，同时要注意n≥x≥0，n≥y≥0，n＞0，x，y，n∈Z.

【例6】解方程组.1C3111C,2CCxnxnxnxn

解：∵Cxn=Cxnn=Cxn2，

∴n－x=2x.∴n=3x.

又由C1xn=311C1xn得

)!1()!1(!xnxn

=311·)!1()!1(!xnxn.

∴3（x－1）!（n－x+1）!

=11（x+1）!（n－x－1）!.

∴3（n－x+1）（n－x）=11（x+1）x.

将n=3x代入得6（2x+1）=11（x+1）.

∴x=5，n=3x=15.

经检验，15,5nx是原方程组的解.

点评：本题也可利用组合数公式的变形式，将C1xn，C1xn都用Cxn

来表示，即C1xn=1xxn Cxn，C1xn=1xnx Cxn，从而方程C1xn=311C1xn可化为1xxnCxn=311×1xnxCxn，约去Cxn，可得解.

代入组合数公式，展开成阶乘形式直接求解，是解方程的基本方法，读者要好好掌握.而利用组合数的变形式，直接消去相同的非零公因式，则可以避免不必要的烦琐计算，可使计算简化，同时体现了数学中整体消元的思想方法.

【例7】高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中取出3名同学参加活动.

（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种

（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种

（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种

（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种

（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种

解：（1）从余下的34名学生中，选取2名有C234=561（种）.

答：不同的取法有561种.

（2）从34名可选学生中，选取3名，有C334种.或者C335－C234=C334=5984（种）.

答：不同的取法有5984种.

（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215=2100（种）.

答：不同的取法有2100种.

（4）选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式

N= C120C215 +C315=2100+455=2555（种）.

答：不同的取法有2555种.

（5）选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N=C335－C315=6545－455=6090（种）.

答：不同的取法有6090种.

点评：（1）一般地说，从n个不同元素中，每次取出m个元素的组合，其中某一元素必须在内的取法有C11mn组合.

（2）从n个不同元素里，每次取出m个元素的组合，其中某一元素不能在内的取法有Cmn1种.

（3）从n个元素里选m个不同元素的组合，限定必须包含（或不包含）某个元素（或p个元素）.解这种类型的题目，一般是将所给出的集合分成两个子集，一个是特殊元素的子集，另一类是一个非

特殊元素组成的子集.在解题时，就把问题分解成两步：先在特殊元子集中组合，再从非特殊元子集中组合，最后根据乘法原理得整个问题的组合数.

（4）正确理解“至少”“至多”“恰有”等词语的含义，要根据题设条件仔细研究，恰当分类，运用直接法或者运用间接法来求解.

【例8】在一个圆周上有n个点（n≥4），用线段将它们彼此相连，若这些线段中的任意3条在圆内都不共点，那么这些线段在圆内共有多少个交点

CPDB

解：虽然可以算出共有C2n条线段，但这些线段在圆内不一定有交点，所以必须考虑怎样的两条线段在圆内有交点如图，交于圆内点P的两条线段AB与CD的端点必不重合，即每个圆内的交点取决于圆周上的四个点；反之，圆周上的每4个点，虽然可连成C24=6条线段，但它们在圆内的交点有且只有一个，这样，每个圆内的交点与圆周上每4个点之间建立了一一对应关系，所以这些线段在圆内共有交点个数为C4n个.

【例9】10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.

（1）4只鞋子没有成双的；

（2）4只鞋子恰成两双；

（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双.

解：（1）从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法.根据乘法原理，选取种数为

N=C410·24=3360（种）.

答：有3360种不同取法.

（2）从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法.

答：有45种不同取法.

（3）解法一：先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法.根据乘法原理，不同取法为N=C110C29·22=1140（种）.

解法二：先选取一双鞋子有C110种选法，再从18只鞋子中选取2只鞋有C218种，而其中成双的可能性有9种.根据乘法原理，不同取法为N=C110（C218－9）=1140（种）.

答：有1140种不同取法.

点评：本题解决的办法是将“事件”进行等价处理，如第一问“4

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六年级数学下册典型例题系列之第三单元：组合立体图形的表面积专项练习(解析版)

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2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之

第三单元：组合立体图形的表面积专项练习（解析版）

1．有一个工具箱下半部分为正方体，上半部分为圆柱体一半（下图），如果把工具箱的表面涂上油漆（包括底面），求涂油漆部分的面积。

【解析】

可以将两个半圆拼成一个完整的圆，涂色部分包括正方体5个面、圆柱侧面积的一半、以及圆柱一个底面积，据此列式解答即可。

20²×5＋3.14×20×20÷2＋3.14×（20÷2）²

＝2000＋628＋3.14×100

＝2000＋628＋314

＝2942（平方厘米）

答：涂油漆部分的面积是2942平方厘米。

2．计算下面组合图形的表面积。（单位：cm）

【解析】

6×6×6+3.14×6×5，

=216+94.2，

=310.2（平方厘米）

答：它的表面积是30.2平方厘米。

3．求下面图形的表面积和体积。（单位：cm）

【解析】

表面积＝大正方体的表面积＋圆柱的侧面积，

10×10×6＋3.14×4×6

=600+75.36

＝675.36（cm2）；

4．下图是一个灯笼图片，阿姨做这个灯笼至少需要多大的彩纸？

【解析】

用外圆柱侧面积＋内圆柱侧面积＋上下两个圆环面积即可。

4÷2＝2（分米），2÷2＝1（分米）

3.14×4×5＋3.14×2×5＋3.14×（22－12）×2

＝62.8＋31.4＋3.14×3×2

＝62.8＋31.4＋18.84

＝113.04（平方分米）

答：做这个灯笼至少需要113.04平方分米的彩纸。

5．有三个圆柱，一个堆在一个上面，底层圆柱最大，上层最小，它们的直径分别是4分米、 3分米、2分米，高都是2分米，这样的立体图形的表面积是多少？

【解析】

由图可知：这个立体图形的表面积等于最下面大圆柱的表面积加上上面两个小圆柱的侧面积。圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的底面积＝π×半径×半径，圆的半径＝直径÷2，圆柱的侧面积＝π×直径×高。

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ng at a tim

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一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从

1.公式：1.!!121mnnmnnnnAmn……

2. 规定：0!1

(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!nnnnnnnnn；

(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!nnnnnnnnn

三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元

素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： CAAnnnmmnmnmnmnm

mm11……!!!! 10nC规定：

组合数性质：.2 nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011……，，

①；②；③；④

11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC注：

若12mm1212m=mm+mnnnCC则或

四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序

③分步还是分类。

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排列组合典型题大全

一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用

住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34（3）34

【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，

第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.

【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、38C

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠

军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？

2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？

（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？

4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？

5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？

6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共

(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种

7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？

高考排列组合典型例题

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排列组合典型例题

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数.

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是

2、4、6、8的四位偶数〔这是因为零不能放在千位数上〕．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814AAA〔个〕．

∴ 没有重复数字的四位偶数有

2296179250428181439AAAA个．

解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)(283914AAA个

∴ 没有重复数字的四位偶数有

22961792504)(28391439AAAA个．

解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有

281515AAA个

干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个〔包括0在〕，百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有