【中考数学一轮复习 题型分类训练】题型5 新定义与材料阅读型问题

题型5 新定义及材料阅读型问题

时间：80分钟 共13题 答对____题

1. (2017永州)定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝－4.对于任意实数x，下列式子中错误的是( )

A. [x]＝x(x为整数) B. 0≤x－[x]<1

C. [x＋y]≤[x]＋[y] D. [n＋x]＝n＋[x](n为整数)

2. (2017南宁)对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{2，4}＝4.按照这个规定，方程max{x，－x}＝2x＋1x的解为( )

A．1－2 B．2－2C．1－2或1＋2 D．1＋2或－1

3. (2017天水改编)定义运算：ab＝a(1－b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：

①2(－2)＝6；②ab＝ba；③(aa)＋(bb)＝2ab；④若ab＝0，则a＝0或b＝1.其中结论正确的序号是( )

A. ①④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②④

4. (2017铜仁)定义一种新运算：xy＝x＋2yx；如21＝2＋2×12＝2，则(42)(－1)＝________．

5. (2017乐山)在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)，给出如下定义：若y′＝y（x≥0）－y（x<0），则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．

(1)若点(－1，－2)是一次函数y＝x＋3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为________；

(2)若点P在函数y＝－x2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是－16≤y′≤16，则实数a的取值范围是________．

6. (2017山西6分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．

斐波那契(约1170－1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)，后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．

斐波那契数列中的第n个数可以用15[(1＋52)n－(1－52)n]表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

7. (2017重庆A卷10分)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如22，545，3883，345543，„，都是“和谐数”．

(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；

(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．

8. (2017黔西南州12分)小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：

解不等式：x2－4>0.

解：∵x2－4＝(x＋2)(x－2)，

∴原不等式可化为(x＋2)(x－2)>0，

∵两数相乘，同号为正，

∴①x＋2>0x－2>0或②x＋2<0x－2<0，

由①得，x>2，由②得x<－2，

∴原不等式的解集为x>2或x<－2.

请用以上方法解下列不等式：(1)x2－9>0；(2)x＋1x－1<0.

9. (2017达州8分)阅读与应用：

阅读1：a、b为实数，且a>0，b>0，因为(a－b)2≥0，所以a－2ab＋b≥0，从而a＋b≥2ab(当a＝b时取等号)．

阅读2：若函数y＝x＋mx(m>0，x>0，m为常数)，由阅读1结论可知：

x＋mx≥2m，所以当x＝mx即x＝m时，函数y＝x＋mx的最小值为2m.

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为4x，周长为2(x＋4x)，求当x＝________时，周长的最小值为________．

问题2：已知函数y1＝x＋1(x>－1)与函数y2＝x2＋2x＋10(x>－1)，当x＝________时，y2y1的最小值为________．

问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？此时费用是多少元？(生均投入＝支出总费用÷学生人数)

10. (2017衢州10分)小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与y＝a2x2＋b2x＋c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y＝－x2＋3x－2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由函数y＝－x2＋3x－2可知，a1＝－1，b1＝3，c1＝－2，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

(1)写出函数y＝－x2＋3x－2的“旋转函数”；

(2)若函数y＝－x2＋43mx－2与y＝x2－2nx＋n互为“旋转函数”，求(m＋n)2017的值；

(3)已知函数y＝－12(x＋1)(x－4)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝－12(x＋1)(x－4)互为“旋转函数”．

11. (2017福州12分)定义：长宽比为n∶1(n为正整数)的矩形称为n矩形．

下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．

操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.

操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF.

则四边形BCEF为2矩形．

证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝12＋12＝2.由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形．

∴∠A＝∠BFE.

∴EF∥AD.

∴BGBD＝BFAB，即12＝BF1.

∴BF＝12 .

∴BC∶BF＝1∶12＝2∶1.

∴四边形BCEF为2矩形．

阅读以上内容，回答下列问题：

(1)在图①中，所有与CH相等的线段是________，tan∠HBC的值是______________________________________________；

(2)已知四边形BCEF为2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是3矩形；

(3)将图②中的3矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后，得到一个“n矩形”，则n的值是________．

第11题图

12. (2017江西12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图①，图②，图③中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.

特例探索

(1)如图①，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝________，b＝________；

如图②，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝________，b＝________；

第12题图

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图③证明你发现的关系式；

拓展应用

(3)如图④，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3.求AF的长．

第12题图④

13. (2017台州14分)定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM、MN和BN.若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

(1)已知点M，N是线段AB的勾股点．若AM＝2，MN＝3，求BN的长；

(2)如图②，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N.求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；

(3)已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图③所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可)；

(4)如图④，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H.若H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由．

第13题图