福建省初中数学竞赛试题打印版
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2015年全国初中数学竞赛试题
班级 姓名
成绩
供稿人：李锦扬
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知312a，则3222621aaaa（ ）
A．3 B．3 C．32 D．32
2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）
A．215 B．15 C．25 D．35
3．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆1O圆O外切，且与ABC△的CA边、CB边相切，则圆1O的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F。已知10ABAC，12BC，且133PDPEPF∶∶∶∶。则四边形PDCE的面积为（ ）
A．10 B．15 C．403 D．503
5．记()Sn为非负整数n的各个数位上的数字之和，如(0)0S，(1)1S，(1995)199524S。则(1)(2)(3)(2015)SSSS（ ）
A．28097 B．28098 C．28077 D．28087
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知直线23yx与抛物线2231yxx交于11()Axy，、22()Bxy，两点，则121111xx
。
7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且45EAF。则CEF△的周长为 。
8．若13x时，二次函数2234yxax的最小值为23，则a 。
9．已知正整数p，q满足32016pq，则整数对()pq，的个数是 。
10．x表示不超过x的最大整数，则满足条件2252xxxx，的x的取值范围为 。
（第7题 图） 三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．如图，二次函数2ymxnxp的图像过A、B、C三点，其中(11)C，，点A、B在x轴上（A在点O左侧，B在点O右侧），且25sin5BAC，5sin5ABC。
（1）求二次函数的解析式；
（2）求ABC△外接圆的半径。
12．已知关于x的方程2244200xxnn有有理数根，求正整数n的值。
（第11题 图） 13．如图，ABC△是等腰直角三角形，CACB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且45NCM。求证：222MNAMBN。
14．在0与21之间插入n个正整数1a，2a，…，na，使其满足12021naaa。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a，2a，…，na，21这2n个数中某两个数的差。求n的最小值。
（第13题） 2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知312a，则3222621aaaa（ ）
A．3 B．3 C．32 D．32
【答案】 A
【解答】 由312a，知231a，213a，24413aa，2212aa。
∴ 3232222626112133212222aaaaaaaaaaaa
21(31)13a。
2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）
A．215 B．15 C．25 D．35
【答案】 B
【解答】 将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之间不考虑顺序）：(12)，，(34)，，(56)，；(12)，，(35)，，(46)，；(12)，，(36)，，(45)，；
(13)，，(24)，，(56)，；(13)，，(25)，，(46)，；(13)，，(26)，，(45)，；
(14)，，(23)，，(56)，；(14)，，(25)，，(36)，；(14)，，(26)，，(35)，；
(15)，，(23)，，(46)，；(15)，，(24)，，(36)，；(15)，，(26)，，(34)，；
(16)，，(23)，，(45)，；(16)，，(24)，，(35)，；(16)，，(25)，，(34)，。
其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。
∴ 编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为31155。
3．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆1O圆O外切，且与ABC△的CA边、CB边相切，则圆1O的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】 A 【解答】 如图，设圆O切CB边于D，圆1O切CB边于E，且圆O的半径为R，圆1O的半径为r。
由ABC△是边长为63的正三角形，知
2363632OC，1363332ROD，
∵ 圆1O圆O外切，且与ABC△的CA边、CB边相切，
∴ O、1O、C三点共线，30OCD，1122OCOEr。
∴ 112336OCOOOCRrrr，1r。
∴ 圆1O的面积为21。
4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F。已知10ABAC，12BC，且133PDPEPF∶∶∶∶。则四边形PDCE的面积为（ ）
A．10 B．15 C．403 D．503
【答案】 C
【解答】如图，连结PA，PB，PC。
易知1128482ABCS△。又
111222ABCPBCPCAPABSSSSBCPDCAPEABPF△△△△
65548PDPEPF，133PDPEPF∶∶∶∶。
∴ 43PD，4PEPF。
由PEPF，知点P在BAC的平分线上，A、P、D三点共线。
∴ 222PCPDDC，2222222224196()6439ECPCPEPDDCPE。
∴ 143EC。
∴ 111411440642223233PDCPECPDCESSSPDDCPEEC△△四边形。
5．记()Sn为非负整数n的各个数位上的数字之和，如(0)0S，(1)1S，(1995)199524S。则(1)(2)(3)(2015)SSSS（ ）
A．28097 B．28098 C．28077 D．28087
【答案】 B （第4题 图） （第3题答题图）
（第4题答题图） 【解答】设(0)(1)(2)(1999)SSSSS。
则2(1999)2000S，28000S。
又(2000)(2001)(2002)(2009)210(0129)65SSSS，
(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)34567833SSSSSS，
∴ (1)(2)(3)(2015)28000653328098SSSS。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知直线23yx与抛物线2231yxx交于11()Axy，、22()Bxy，两点，则121111xx
。
【答案】 95
【解答】由223231yxyxx，得22520xx。 …………… ①
依题意，1x，2x为方程①的两根，1252xx，121xx。
∴ 21111212121252(1)(1)()21192511(1)(1)()15112xxxxxxxxxxxx。
7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且45EAF。则CEF△的周长为 。
【答案】 2
【解答】如图，在CD的延长线上取点G，使得DGBE，连结GA。
则由ABCD为正方形，易得ABEADG△≌△。
∴ BAEDAG，AEAG。
∵ 45EAF，
∴ GAFGADDAFBAEDAF
9045EAFEAF。
于是，在EAF△与GAF△中，AEAG，EAFGAF，AFAF。
∴ EAFGAF△≌△，EFGF。CEF△的周长
112lECEFFCBEGFFCGDGDDFFC。
8．若13x时，二次函数2234yxax的最小值为23，则a 。
【答案】 5 （第7题 图）
（第7题答题图）
