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2015-2016学年福建省厦门六中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.）1．（5分）直线的倾斜角α=（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）已知A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M在x轴上，且到A、B两点的距离相等，则M的坐标为（）A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）3．（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面4．（5分）平面α，β和直线m，给出条件：①m⊂α；②m⊥α；③m∥α；④α∥β；⑤α⊥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的条件（）A．①⑤B．①④C．②⑤D．③⑤5．（5分）过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y+1=0B．4x﹣3y=0C．x+y+1=0或4x﹣3y=0D．4x+3y=0或x+y+1=06．（5分）已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（）A．90°B．45°C．60°D．30°7．（5分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．8．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．B．C．D．10．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0B．1C．2D．311．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④12．（5分）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分，请将所选答案写在答题卷上）13．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．14．（5分）已知圆锥的表面积为9πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为．15．（5分）过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程．16．（5分）下面给出四个命题的表述：①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）恒过定点（﹣3，3）；②线段AB的端点B的坐标是（3，4），A在圆x2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程+（y﹣2）2=1③已知M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈[﹣，]；④已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0，b＞0，c＞0）与x轴相交，与y轴相离，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在第二象限．其中表述正确的是（（填上所有正确结论对应的序号）三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将所选答案写在答题卷上）17．（10分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边上的高线所在的直线方程；（2）求三角形ABC的面积．18．（12分）已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．19．（12分）如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．（1）求证：EF∥面ABC；（2）求证：EF⊥面PAC；（3）求三棱锥B﹣PAC的体积．20．（12分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；（2）证明：E G⊥D F．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．22．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．2015-2016学年福建省厦门六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.）1．（5分）直线的倾斜角α=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：直线的斜率等于﹣，即直线倾斜角的正切值是﹣，又倾斜角大于或等于0度且小于180°，故直线的倾斜角为150°，故选：D．2．（5分）已知A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M在x轴上，且到A、B两点的距离相等，则M的坐标为（）A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）【解答】解：设点M（x，0，0），则∵A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，∴=∴x=﹣3∴M点坐标为（﹣3，0，0）故选：A．3．（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．故选：C．4．（5分）平面α，β和直线m，给出条件：①m⊂α；②m⊥α；③m∥α；④α∥β；⑤α⊥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的条件（）A．①⑤B．①④C．②⑤D．③⑤【解答】解：∵m⊂α，α∥β，∴m∥β．故①④⇒m∥β．故选：B．5．（5分）过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y+1=0B．4x﹣3y=0C．x+y+1=0或4x﹣3y=0D．4x+3y=0或x+y+1=0【解答】解：当直线过原点时，方程为y=x，即4x+3y=0．当直线不过原点时，设方程为x+y=a，把点（3，﹣4）代入可得a=﹣1，故直线的方程为x+y+1=0．故选：D．6．（5分）已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（）A．90°B．45°C．60°D．30°【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．由此可得，GF∥AB且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，由正弦的定义，得sin∠GEF==，可得∠GEF=30°．∴EF与CD所成的角的度数为30°故选：D．7．（5分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d===．故选：D．8．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设过P（2，0）的直线的斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，由坐标原点O（0，0）到直线kx﹣y﹣2k=0的距离等于1，得，解得：k=．∴的取值范围是[]．故选：C．9．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1﹣V2=，故选：A．10．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选：B．11．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【解答】解：①如图所示，取棱BC的中点Q，连接MQ，PQ，NQ，可得四边形MNPQ为正方形，且AB∥NQ，而NQ⊂平面MNPQ，AB⊄平面MNPQ，∴AB∥平面MNPQ，因此正确．②由正方体可得：前后两个侧面平行，因此AB∥MNP，因此正确．故选：A．12．（5分）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．2+C．4+D．【解答】解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1 （1即小钢球的半径），所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故选：C．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分，请将所选答案写在答题卷上）13．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=cm，对应原图形平行四边形的高为：2cm，所以原图形中，OA=BC=1cm，AB=OC==3cm，故原图形的周长为：2×（1+3）=8cm，故答案为：8cm14．（5分）已知圆锥的表面积为9πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为cm．【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=9π故r2=3解得r=cm．故答案为：cm．15．（5分）过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程．【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立，∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．故答案为．16．（5分）下面给出四个命题的表述：①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）恒过定点（﹣3，3）；②线段AB的端点B的坐标是（3，4），A在圆x2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程+（y﹣2）2=1③已知M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈[﹣，]；④已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0，b＞0，c＞0）与x轴相交，与y轴相离，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在第二象限．其中表述正确的是①②④（（填上所有正确结论对应的序号）【解答】解：①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）得m（x+3）+3x+4y﹣3=0，由得，即直线恒过定点（﹣3，3）；故①正确，②设AB的中点M（x，y），A（x1，y1），又B（3，4），由中点坐标公式得：，即．∵点A在圆x2+y2=4上运动，∴．即（2x﹣3）2+（2y﹣4）2=4，整理得：+（y﹣2）2=1．∴线段AB的中点M的轨迹为+（y﹣2）2=1，故②正确，③集合M表示圆心为原点，半径为1的上半圆，集合N表示直线y=x+b，如图所示，当直线y=x+b过A点时，把A（1，0）代入得：b=﹣1；当直线y=x+b与圆相切，且切点在第二象限时，圆心到直线的距离d=r，即=1，即b=（负值舍去），则M∩N≠∅时，实数b的范围是[﹣1，]．故③错误，④解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，∵圆C与x轴相交，与y轴相离，∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，联立两直线方程得：，由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，整理得：（b﹣a）y=a﹣c，解得：y=，∵﹣a＞0，a﹣c＞0，∴＞0，即y＞0，∴x=﹣y﹣1＜0，则两直线的交点在第二象限．故④正确，故答案为：①②④三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将所选答案写在答题卷上）17．（10分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边上的高线所在的直线方程；（2）求三角形ABC的面积．【解答】解：（1）由题意可得，∴AB边高线斜率k=，∴AB边上的高线的点斜式方程为，化为一般式可得x+6y﹣22=0；（2）由（1）知直线AB的方程为y﹣5=6（x+1），即6x﹣y+11=0，∴C到直线AB的距离为d=，又∵|AB|==，∴三角形ABC的面积S=18．（12分）已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．【解答】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=×2π×2×2=4π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4π；（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB===2，∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．19．（12分）如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．（1）求证：EF∥面ABC；（2）求证：EF⊥面PAC；（3）求三棱锥B﹣PAC的体积．【解答】（1）证明：在三角形PBC中，∵E是PC中点，F为PB中点，∴EF∥BC，BC⊂面ABC，EF⊄面ABC，∴EF∥面ABC．（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥面PAC∵EF∥BC，BC⊥面PAC，∴EF⊥面PAC．（3）解：∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，∴∠PCA即为PC与面ABC所成角，∴∠PCA=45°，PA=AC，在Rt△ABC中，E是PC中点，，∴三棱锥B﹣PAC的体积．20．（12分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；（2）证明：E G⊥D F．【解答】（1）解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|…（2分）∴…（3分）两边平方化简得：即（x﹣4）2+（y﹣1）2=4…（5分）即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆，∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π…（6分）（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x﹣3y=0，…（7分）由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y﹣2=0，…（8分）由得，故点G点的坐标为．…（10分）又点E的坐标为（1，0），故k EG=2，k DF=﹣…（12分）所以k EG•k DF=﹣1，即证得：EG⊥DF …（13分）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．【解答】证明：（1）E，F分别是线段PC，PD的中点，所以EF∥CD，又ABCD为正方形，AB∥CD，所以EF∥AB，又EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．因为E，G分别是线段PC，BC的中点，所以EG∥PB，又EG⊄平面PAB，所以，EG∥平面PAB．所以平面EFG∥平面PAB；（2）因为CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD；（3）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．取PB中点Q，连接DE，EQ，AQ，由于EQ∥BC∥AD，所以ADEQ为平面四边形，由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC，又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，所以DE⊥PC，AD∩DE=D，所以PC⊥平面ADQ．22．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO ≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015-2016学年福建省福州市连江县尚德中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10D．4，13，22，31，402．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A．400B．40C．4D．6003．如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的是（）A．i＞20B．i＜20C．i＞=20D．i＜=204．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．76．A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是x A，x B，观察茎叶图，下列结论正确的是（）A．x A＜x B，B比A成绩稳定B．x A＞x B，B比A成绩稳定C．x A＜x B，A比B成绩稳定D．x A＞x B，A比B成绩稳定7．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为（）A．7B．9C．11D．139．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000）（元）月收入段应抽出（）人．A．15B．16C．17D．1810．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．11．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧，的长度小于1的概率为（）A．B．C．1D．12．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．此人停留期间空气质量优良的天数只有1天的概率（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答案卡横线上．13．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：排队人数0 1 2 3 4 5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则排队人数为2或3人的概率为．14．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号，，，．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．15．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．16．已知多项式函数f（x）=2x5﹣5x4﹣4x3+3x2﹣524，求当x=5时的函数的值．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．根据要求求值：（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数．（2）用更相减损术求80和36的最大公约数．（3）把89化为二进制数．18．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如表：甲8 9 7 9 7 6 10 10 8 6乙10 9 8 6 8 7 9 7 8 8（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．19．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是，中位数是．20．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克）0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．22．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．2015-2016学年福建省福州市连江县尚德中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．2．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A．400B．40C．4D．600【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率的定义求解．【解答】解：∵一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4，∴该组的频数为：1000×0.4=400．故选：A．3．如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的是（）A．i＞20B．i＜20C．i＞=20D．i＜=20【考点】循环结构．【分析】根据程序的功能为一个求20个数的平均数的程序，得到循环次数，从而得到判定的条件．【解答】解：根据题意为一个求20个数的平均数的程序则循环体需执行20次从而横线上应填充的语句为i＞20故选：A．4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生【考点】互斥事件与对立事件．【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选A5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．7【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环S K循环前/0 0第一圈是 1 1第二圈是 3 2第三圈是11 3第四圈是2059 4第五圈否∴最终输出结果k=4故答案为A6．A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是x A，x B，观察茎叶图，下列结论正确的是（）A．x A＜x B，B比A成绩稳定B．x A＞x B，B比A成绩稳定C．x A＜x B，A比B成绩稳定D．x A＞x B，A比B成绩稳定【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】根据所给的茎叶图，看出甲和乙的成绩，算出两个人的平均分，结果平均分甲大于乙，再算出两个人的成绩单方差，乙的方差大于甲的方差，得到结果．【解答】解：由茎叶图知，可知道甲的成绩为96、91、92、103、128，平均成绩为102；乙的成绩为99、108、107、114、112、，平均成绩为106；从茎叶图上可以看出B的数据比A的数据集中，B比A成绩稳定，故选A．7．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】根据已知中从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数都是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种其中满足条件两个数都是奇数的有（1，3），（3，1）两种情况故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率P==故选A8．执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为（）A．7B．9C．11D．13【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，以此运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：若输入a=1，b=2，则第一次运行，a=1不满足条件a＞8，a=1+2=3，第二次运行，a=3不满足条件a＞8，a=3+2=5，第三次运行，a=5不满足条件a＞8，a=5+2=7，第四次运行，a=7不满足条件a＞8，a=7+2=9，此时a=9满足条件a＞8，输出a=9，故选：B．9．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000）（元）月收入段应抽出（）人．A．15B．16C．17D．18【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图，先求出得[1 500，2 000）（元）月收入段的频率，再求出[1 500，2 000）（元）月收入段的人数，由此利用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，能求出在[1 500，2 000）（元）月收入段应抽出的人数．【解答】解：由频率分布直方图，得[1 500，2 000）（元）月收入段的频率为0.0004×500=0.2，∴[1 500，2 000）（元）月收入段有0.2×10000=2000人，∴用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000）（元）月收入段应抽出2000×=16（人）．故选：B．10．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件与对立事件．【分析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为，1﹣=．故选D．11．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧，的长度小于1的概率为（）A．B．C．1D．【考点】几何概型．【分析】由已知中点A为周长等于3的圆周上的一个定点，我们求出劣弧AB长度小于1时，B点所在位置对应的弧长，然后代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：圆周上使弧AM的长度为1的点M有两个，不妨令这两个点是M1，M2则过A的圆弧M1M2的长度为2B点落在优弧M1M2上就能使劣弧AB的长度小于1故劣弧AB长度小于1的概率P=故选A12．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．此人停留期间空气质量优良的天数只有1天的概率（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据古典概型的概率公式，利用列举法进行求解即可．【解答】解：3月1日至3月14日中，若停留2天有（1，2），（2，3），…，（13，14）共有13种，若停留期间空气质量优良的天数只有1天的有（3，4），（6，7），（7，8），（11，12），共4种，则对应的概率P=，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答案卡横线上．13．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：排队人数0 1 2 3 4 5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则排队人数为2或3人的概率为0.6．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先通过概率统计表，分别找出排队人数为2人、3人的概率是多少，然后将其求和即可．【解答】解：排队人数为2人、3人的概率分别是0.3、0.3，所以排队人数为2或3人的概率为：0.3+0.3=0.6．故答案为：0.6．14．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号785，567，199，810．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【考点】系统抽样方法．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，916要舍去，955，要舍去，第二个符合条件是567，第三个符合条件是199，第四个符合的是810，这样依次读出结果．【解答】解：第8行第7列的数7开始向右读，第一符合条件的是785，916要舍去，955，要舍去，第二个符合条件是567，第三个符合条件是199，第四个符合的是810故最先检测的4颗种子的编号785，567，199，810．故答案为：785，567，199，810．15．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为\frac{1}{3}．【考点】排列及排列数公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，而满足条件的只有一种，根据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE ，EBE ，EEB ，而满足条件的只有一种，∴概率为：．故答案为：16．已知多项式函数f （x ）=2x 5﹣5x 4﹣4x 3+3x 2﹣524，求当x=5时的函数的值 2176 ．【考点】秦九韶算法．【分析】f （x ）=（（（（2x ﹣5）x ﹣4）x+3）x ）x ﹣524，再利用秦九韶算法即可得出．【解答】解：f （x ）=2x 5﹣5x 4﹣4x 3+3x 2﹣524=（（（（2x ﹣5）x ﹣4）x+3）x ）x ﹣524， ∴当x=5时，v 0=2，v 1=2×5﹣5=5，v 2=5×5﹣4=21，v 3=21×5+3=108，v 4=108×5=540，v 5=540×5=2700，v 6=2700﹣524=2176．故答案为：2176．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．根据要求求值：（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数．（2）用更相减损术求80和36的最大公约数．（3）把89化为二进制数．【考点】用辗转相除计算最大公约数；进位制．【分析】（1）利用辗转相除法即可得出；（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2．依此类推可得：80÷4=20，36÷4=9．利用更相减损术求20与9的最大公约数，即可得出． （3）如图所示，即可得出．【解答】解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：123=2×48+27，48=1×27+21，27=1×21+6，21=3×6+3，6=2×3+0，最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3．（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2． 80÷2=40，36÷2=18.40和18都是偶数，要除公因数2.40÷2=20，18÷2=9．求20与9的最大公约数，20﹣9=11，11﹣9=2，9﹣2=7，7﹣2=5，5﹣2=3，3﹣2=1， 2﹣1=1，可得80和36的最大公约数为22×1=4．（3）如图所示，可得：89（10）=1 011 001（2）．18．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如表：甲8 9 7 9 7 6 10 10 8 6乙10 9 8 6 8 7 9 7 8 8（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据所给的数据，利用平均数和标准差的计算公式，分别求解，即可得到答案；（2）比较甲和乙的标准差的大小，根据标准差越小，其稳定性越好，即可得到答案．【解答】解：（1）根据题中所给数据，则甲的平均数为=（8+9+7+9+7+6+10+10+8+6）=8，乙的平均数为=（10+9+8+6+8+7+9+7+8+8）=8，甲的标准差为s甲==，乙的标准差为s乙==，故甲的平均数为8，标准差为，乙的平均数为8，标准差为；（2）∵=，且s甲＞s乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛．19．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是115，中位数是121.3．【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量．做出的样本容量和第二小组的频率．（2）根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的符合条件的样本个数之和，除以样本容量得到概率．（3）在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数．【解答】解：（1）∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150，∴第二小组的频率是=0.08．（2）∵次数在110以上为达标，∴在这组数据中达标的个体数一共有17+15+9+3，∴全体学生的达标率估计是=0.88 …6分（3）在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，即=115，…7分处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数121.3 …8分20．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克）0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．【解答】解：（1）散点图如图所示…（2）由题设=3，=1.6，…∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．22．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整点的个数，进而分析可得点M的纵横坐标的范围，可得M的个数，由古典概型公式，计算可得答案；（2）是几何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形区域，易得其面积，进而根据方程x2+2px ﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，变形可得p2+q2≥1，分析可得其表示的区域即面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，其中p、q都是整数的点有6×6=36个，点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．。
资阳市2015—2016学年度高中一年级第二学期期末质量检测数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C8.A9. B10.A11.C12.B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
13.－214. 2340x y -+=15. 16.[24]-，.三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17．（本小题满分10分）解析：由243xk x +≤得2430kx x k -+≥． 所以2430kx x k -+≥的解集为[3,1]--， ····································································· 4分 则0431k k<⎧⎪⎨=--⎪⎩，， ·················································································································· 8分解得1k =-． ··················································································································· 10分 18．（本小题满分12分）解析：线段AB 的中点坐标为(0，0)，直线AB 的斜率为11111AB k --==-+， ················ 4分 则线段AB 的垂直平分线的方程是0x y -=， ······························································· 6分 由0,20x y x y -=⎧⎨+-=⎩得圆心坐标为(1，1)， ·············································································· 10分则圆的半径2r ，所以圆的方程是()221(1)4x y -+-=． ········································································ 12分19．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则 113451015a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得111.a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=. ········································································ 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)，22n n b n =+， 所以1212(221)(222)(22)n n n T b b b n =+++=+⨯++⨯+++⨯12(222)2(12)nn =++++⨯+++2(12)(1)2122n n n -+=+⨯- 122 2.n n n +=++- ································································································ 12分 20．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 因为AD AC ⊥，所以π+2BAC BAD ∠=∠，所以πsin sin(+)cos 2BAC BAD BAD ∠=∠=∠=，在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos 189233,BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯=所以BD ················································································································· 6分 (Ⅱ) 因为AD AC ⊥，所以π2ACD ADC ∠=-∠， 所以πsin sin()cos cos 2ACD ADC ADC ADB ∠=-∠=∠=-∠，在ABD ∆中，由余弦定理得：222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠===⨯⨯，所以sin ACD ∠=······································································································· 12分 21．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 因为122n n a a +-=， 由于122222(2)2222n n n n n n a a a a a a +++++===+++， 所以数列{2}n a +是以124a +=为首项，2q =为公比的等比数列. ·························· 4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)，112422n n n a -++=⨯=， 所以122log (2)log 21n n n b a n +=+==+， 所以1111=(1)()222n n n n b n n a +++=++， 所以234111112()3()4()(1)()2222n n T n +=⨯+⨯+⨯+++则341211111 2()3()()(1)()22222n n n T n n ++=⨯+⨯++++ 所以23412111111(1)2()[()()()](1)()222222n n n T n ++-=⨯++++-+则1231111112()[()()()](1)()22222n n n T n +=⨯++++-+1231111111[()()()()](1)()222222n n n +=+++++-+ 111(1())1122(1)()12212n n n +⨯-=+-+-131(3)()22n n +=-+． ············································· 12分22．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 设圆心()a a ，，圆C 的标准方程为222()()(0)x a y a r r -+-=>， 由圆C经过点，且被直线2y x =-+截得的弦长为得222222(1))a a r r ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，， 解得02.a r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的方程为224x y +=.······················································································· 6分 (Ⅱ) 法一：由已知，设直线l ：32x my =+，设1122(,)(,)P x y Q x y ，，则： 222222337()4(1)302244x my my y m y my x y ⎧=+⎪⇒++=⇒++-=⎨⎪+=⎩，， 所以12231my y m +=-+，12274(1)y y m =-+， 2121212121212222223339()()(1)()2224733919 =(1)()(),4(1)21422(1)OP OQ x x y y my my y y m y y m y y m m m m m m m ⋅=+=+++=+++++⨯-+⨯-+=-+++因为2OP OQ ⋅=-，所以2219222(1)m m -=-+，解得m =， 所以直线l的方程为32x y =+，即230x --=或230x -=. ··········· 12分 法二：由已知，设直线l ：32x my =+， 因为2OP OQ ⋅=-，所以22cos 2POQ ⨯⨯∠=-，则1cos 2POQ ∠=-．所以圆心C 到直线l 的距离为1d =，由31d =，解得m =． 所以直线l的方程为32x y =+，即230x --=或230x -=. ··········· 12分。
2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A＝{x|x2﹣x＞0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝1+i，则|z|＝（）A．1B．C．i D．﹣i3．（5分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f（x）在下列那些区间内一定存在零点？（）A．（1，2）和（2，3）B．（2，3）和（3，4）C．（3，4）和（4，5）D．（4，5）和（5，6）4．（5分）若a，b∈R，且a＞b，则（）A．|a|＞|b|B．lg（a﹣b）＞0C．D．2a＞3b5．（5分）命题“若x∈[1，+∞），则有x+≥2成立”的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）若是幂函数，则（）A．f（x）在定义域上单调递减B．f（x）在定义域上单调递增C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数7．（5分）已知命题p：若x＞y，则x2＞y2；命题q：“a＝0”是“f（x）＝+a为奇函数”的充分必要条件．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④8．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3﹣2x2+1，则f（1）+g（1）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．19．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）若0＜a＜b＜1，c＞1，则（）A．a c＞b c B．log a c＜log b cC．a log b c＜b log a c D．ab c＞ba c11．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数f（x）有可能是（）A．x sin（）B．x cos（）C．x2sin（）D．x2cos（）12．（5分）设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，若f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，且当x＞0时，f′（x）＞3x2，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（8，3），则其反函数为．14．（5分）函数f（x）＝在点（0，1）处的切线方程．15．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为3，则a的值为．16．（5分）已知函数f（x）＝，若g（x）＝f（x）﹣k（x+1）有3个不同的零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝1处有极小值﹣1（1）求a、b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间．18．（12分）已知函数f（x）＝a+（a∈R）是奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）满足g（x+2）＝﹣g（x）且x∈（0，2]时，g（x）＝f（x），求g（﹣5）的值．19．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝ln．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）21．（12分）已知函数f（x）＝（a＞0）（Ⅰ）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）有2个零点，求实数a的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝x﹣ln（x+1）+．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤0有实数解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若m＞n＞0，求证：e m﹣n﹣1＞ln（m+1）﹣ln（n+1）．2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）＞0，解得：x＜0或x＞1，即A＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），由B中不等式变形得：log2x＞1＝log22，解得：x＞2，即B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，+∞），故选：C．2．【解答】解：∵z（1﹣i）＝1+i，∴z（1﹣i）（1+i）＝（1+i）（1+i），∴2z＝2i，解得z＝i．则|z|＝1．故选：A．3．【解答】解：由函数的零点判定定理可知：f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，所以函数的零点所在的区间为：（3，4）和（4，5）．故选：C．4．【解答】解：对于A，若a＝0，b＝﹣1，则不成立，对于B，若0＜a﹣b＜1，则不成立，对于C，根据指数函数的单调性可得，正确，对于D，若a＝3，b＝2，则不成立，故选：C．5．【解答】解：若x∈[1，+∞），x+≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若x+≥2，则x∈[1，+∞），错误，当x＞0时，都满足条件，即逆命题为假命题，则否命题也为假命题，故命题的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为1个，故选：B．6．【解答】解：若是幂函数，则m﹣1＝1，即m＝2，此时m2﹣4m+3＝﹣1，∴f（x）＝，是奇函数，故选：C．7．【解答】解：命题p：若x＞y，则x2＞y2；为假命题，当x＝1，y＝﹣1时，不等式就不成立，命题q：若a＝0则f（x）＝为奇函数，即充分性成立，若f（x）＝+a为奇函数，则f （﹣x）＝﹣f（x），即﹣﹣a＝﹣（+a）＝﹣﹣a，即a＝﹣a，则a＝0，即必要性成立，即：“a＝0”是“f（x）＝+a为奇函数”的充分必要条件，则命题q是真命题，则①p∧q为假命题．；②p∨q为真命题．；③p∧￢q为假命题．；④￢p∨q中为真命题．故真命题的是②④，故选：D．8．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3﹣2x2+1 ①，∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝f（x）+g（x）＝﹣x3﹣2x2+1 ②，∴f（x）+g（x）＝﹣x3﹣2x2+1，即f（x）+g（x）＝﹣x3﹣2x2+1，∴f（1）+g（1）＝﹣1﹣2+1＝﹣2，故选：A．9．【解答】解：∵f（﹣x）＝﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x＝1时，f（x）＝0排除C故选：D．10．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，c＞1，∴a c＜b c，log a c＞log b c，a log b c＞b log a c，b c﹣1＞a c﹣1即ab c＞ba c．故选：D．11．【解答】解：∵函数的图象关于原点对称，∴函数y＝f（x）为奇函数，排除CD，当x→+∞时，→0，故cos（）→1，所以f（x）＝x cos（）→+∞，图象应呈上升趋势，排除B，故选：A．12．【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣x3，F′（x）＝f′（x）﹣3x2，则由f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，可得F（﹣x）＝F（x），故F（x）为偶函数，又当x＞0时，f′（x）＞3x2，即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数．不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1化为f（x）﹣x3＞f（x﹣1）﹣（x﹣1）3，∴F（x）＞F（x﹣1），∴由函数单调性可知：|x|＞|x﹣1|，解得x＞，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．【解答】解：∵函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（8，3），∴3＝log a8，∴a3＝8，解得a＝2．∴y＝log2x，化为指数式可得：x＝2y，把x与y互换可得：y＝2x．∴原函数的反函数为y＝2x．故答案为：y＝2x；14．【解答】解：由f（x）＝，可得f′（x）＝•，得在点x＝0处的切线斜率k＝f′（0）＝1，∴在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．15．【解答】解：f′（x）＝﹣3x2+2ax+b，f（x）与x轴在原点相切，f′（0）＝0，即b＝0，∴f（x）＝﹣x3+ax2，令f（x）＝﹣x3+ax2＝0，解得x＝0或x＝a，由题意可知：（﹣x3+ax2）dx＝3，∴（﹣x4+ax3）＝3，∴a4＝3，解得：a＝由图象可知a＜0，∴a＝，故答案为：．16．【解答】解：y＝f（x）﹣k（x+1）＝0得f（x）＝k（x+1），设y＝f（x），y＝k（x+1），在同一坐标系中作出函数y＝f（x）和y＝k（x+1）的图象如图：因为﹣1≤x≤0时，函数f（x）＝x2﹣x单调递减，且f（x）＞0．因为f（4）＝ln5，即B（4，ln5）．当直线y＝k（x+1）经过点B时，两个函数有3个交点，满足条件．此时ln5＝5k，则k＝，由图象可以当直线y＝k（x+1）与f（x）＝ln（x+1）相切时，函数y＝f（x）﹣k（x+1）有两个零点．设切点为（a，ln（a+1）），则函数的导数f′（x）＝，切线斜率k＝，则切线方程为y﹣ln（a+1）＝（x﹣a），即y＝x+ln（a+1），∵y＝k（x+1）＝kx+k，∴﹣得a＝e﹣1，k＝＝．所以要使函数y＝f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则≤k＜．故答案为：．三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）17．【解答】解：（1）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+2b，函数f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝1处有极小值﹣1，∴f（1）＝﹣1，f′（1）＝0∴1﹣3a+2b＝﹣1，3﹣6a+2b＝0解得a＝，b＝﹣∴f（x）＝x3﹣x2﹣x（2）∵f′（x）＝3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）或（1，+∞）由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1）．18．【解答】解：（Ⅰ）∵2x﹣1≠0，解得：x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．由，，因为函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），∴，即2a＝﹣，即2a＝2，解得a＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．∵g（x+2）＝﹣g（x），g（x+4）＝g[（x+2）+2]＝﹣g（x+2）＝g（x），∴g（x）是周期为4的函数．∴．19．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），…（2分）当a≤0，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无递增区间；…（3分）当a＞0，当时，f'（x）＜0，当时f'（x）＞0所以f（x）的单调递减区间为，递增区间为．…（5分）（Ⅱ）由f（x）＞0有ax＞lnx，因为x＞0，所以ax＞lnx等价于．…（7分）令，，由k'（x）＝0可得x＝e．…（8分）…（10分）由上表可知，即实数a的取值范围是…（12分）20．【解答】（1）解：f（x）＝ln的导数为f′（x）＝•＝﹣，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为2，切点（0，0），即有在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x；（2）证明：由y＝ln﹣2（x+），0＜x＜1，导数为y′＝•﹣2（1+x2）＝﹣2（1+x2）＝，由0＜x＜1可得＞0，即导数y′＞0在（0，1）恒成立，则有函数y＝ln﹣2（x+）在（0，1）递增，则有ln﹣2（x+）＞0，故有当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．21．【解答】解：（I），令f′（x）＝0，则．当，即，f（x）在[1，2]上单调递增，∴；当，即，f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴；当，即，f（x）在[1，2]上单调递减，∴．（Ⅱ）令，则．问题转化为y＝a与函数有2个交点．令，则x＝1．当x＜1时，g'（x）＞0，当x＞1时，g'（x）＜0．∴当x＝1时，g（x）取得极大值也为最大值．且x→+∞，g（x）→0；x→﹣∞，g（x）→﹣∞．故时，y＝a与函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．22．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤0有实数解，即f（x）min≤0…（1分）∵，（x＞﹣1），由f'（x）＜0⇒﹣1＜x＜0∴f（x）在（﹣1，0]递减，在[0，+∞）递增，…（4分）由得0＜a≤1，∴a的取值范围为（0，1]…（5分）（Ⅱ）令a＝1，则f（x）＝x﹣ln（x+1），由（Ⅰ）知f（x）在[0，+∞）递增，∵m＞n＞0，∴f（m）＞f（n）即m﹣ln（m+1）＞n﹣ln（n+1）…（7分）∴m﹣n＞ln（m+1）﹣ln（n+1），故要证原不等式，只要证：e m﹣n﹣1＞m﹣n…（9分）记g（x）＝e x﹣x﹣1，（x＞0），则g'（x）＝e x﹣1＞0…（10分）∴g（x）在（0，+∞）递增，∴g（x）＞g（0）＝0即e x﹣1＞x（x＞0）令x＝m﹣n，则有：e m﹣n﹣1＞m﹣n，∴e m﹣n﹣1＞ln（m+1）﹣ln（n+1）…（12分）。
2014-2015学年福建省泉州一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷相应位置．1．（5.00分）已知直线l的方程为2x﹣2y+b=0（b∈R），则直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．135° D．与b有关2．（5.00分）某几何体的正视图和侧视图均如图，则该几何体的俯视图不可能是（）A． B． C． D．3．（5.00分）已知函数y=f（x）的对应关系如下表，函数y=g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f[g（2）]的值为（）A．3 B．2 C．1 D．04．（5.00分）如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．5．（5.00分）已知点A（1，﹣3），B（﹣5，5），则线段AB中点到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5.00分）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣1，1）B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]7．（5.00分）下面命题正确的是（）A．已知直线l，点A∈l，直线m⊂α，A∉m，则l与m异面B．已知直线m⊂α，直线l∥m，则l∥αC．已知平面α、β，直线n⊥α，直线n⊥β，则α∥βD．若直线a、b与α所成的角相等，则a∥b8．（5.00分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．9．（5.00分）在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有（）A．平面SAC⊥平面SCB B．平面SAB⊥平面ABCC．平面SCB⊥平面ABC D．平面SAC⊥平面SAB10．（5.00分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的表面积为（）A．100πB．C．50πD．200π11．（5.00分）已知偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则一定有（）A．f（3）＞f（﹣3）B．f（﹣3）＞f（﹣5）C．f（﹣30.3）＞f（0.33）D．f（log32）＞f（﹣log23）12．（5.00分）对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．则下列命题正确的个数是（）①若A（﹣1，3），B（1，0），则d（A，B）=5；②若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；④在平行四边形ABCD中，一定有d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷相应位置．13．（4.00分）设l表示空间中的一条直线，α，β表示两个不重合的平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为正确的命题：lβ．14．（4.00分）若不论m取何实数，直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标是．15．（4.00分）已知函数f（x）=3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=．16．（4.00分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的．有如下结论：①∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°；②∠A1C1D=∠A1C1D1+∠D1C1D；③A1C1与BC1所成的角是30°；④若BC=m，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水．其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卷相应位置．17．（12.00分）某长方体截去一个三棱锥后，形成的几何体的平面展开图如图1所示．（1）请在图2上补画出该几何体的直观图，并说明它是几面体；（2）求该几何体的体积．18．（12.00分）在平面直角坐标系中，给定点P（m，n），其中，（1）求过P且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线l1的方程；（2）若直线l2平行于过点A（m﹣2，n﹣2）和B（0，2）的直线，且这两条直线间的距离为，求直线l2的方程．19．（12.00分）已经集合A={x|（8x﹣1）（x﹣1）≤0}；集合C={x|a＜x＜2a+5}（1）若，求实数t的取值集合B；（2）在（1）的条件下，若（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．20．（12.00分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，，，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（1）若G是PC的中点，①求证：PA∥平面GBD②求DG与平面APC所成的角的正切值；（2）若G满足PC⊥面GBD，求的值．22．（14.00分）已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求a、c的值；（2）设g（x）=f（x）﹣x2+m，若函数y=log m g（x）（m＞0且m≠1）在区间[﹣2，4]上单调递增，求实数m的取值范围；（3）设函数h（x）=log2[t﹣f（x）]，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．2014-2015学年福建省泉州一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷相应位置．1．（5.00分）已知直线l的方程为2x﹣2y+b=0（b∈R），则直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．135° D．与b有关【解答】解：∵直线l的方程为2x﹣2y+b=0（b∈R），∴直线l的斜率k=1，∴直线l的倾斜角α=45°．故选：B．2．（5.00分）某几何体的正视图和侧视图均如图，则该几何体的俯视图不可能是（）A． B． C． D．【解答】解：若为A，则该几何体上部分为圆柱，下部分为四棱柱，正视图和侧视图相同，有可能．若为B，则该几何体上部分为三棱柱，下部分为四棱柱，正视图和侧视图相同，有可能．若为C，则该几何体上部分为四棱柱，下部分为圆柱，正视图和侧视图相同，有可能．若为D，则该几何体上部分为三棱柱，下部分为圆柱，但三棱柱的正视图和侧视图的图形不相同，正视图为上底边长，侧视图为三角形的高，所以不可能．故选：D．3．（5.00分）已知函数y=f（x）的对应关系如下表，函数y=g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f[g（2）]的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由图象可知g（2）=1，由表格可知f（1）=2，∴f[g（2）]=f（1）=2，故选：B．4．（5.00分）如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．【解答】解：由图形知，其平面图形为一个直角三角形，两个直角边的长度分别为3，4故其面积为×3×4=6故选：B．5．（5.00分）已知点A（1，﹣3），B（﹣5，5），则线段AB中点到直线4x﹣3y+1=0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：线段AB中点（﹣2，1）到直线4x﹣3y+1=0的距离==2．故选：D．6．（5.00分）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣1，1）B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]【解答】解：∵幂函数y=x a的图象经过点（2，4），∴4=2a，即22=2a解得a=2故函数的解析式为y=x2，故函数图象经过点（﹣1，1）；A正确；当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]；正确；由于f（﹣x）=（﹣x）2=x2，函数不满足f（x）+f（﹣x）=0；C错；函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]；正确故选：C．7．（5.00分）下面命题正确的是（）A．已知直线l，点A∈l，直线m⊂α，A∉m，则l与m异面B．已知直线m⊂α，直线l∥m，则l∥αC．已知平面α、β，直线n⊥α，直线n⊥β，则α∥βD．若直线a、b与α所成的角相等，则a∥b【解答】解：对于A，已知直线l，点A∈l，直线m⊂α，A∉m，则l与m异面或相交，故不正确；对于B，已知直线m⊂α，直线l∥m，l⊄α，则l∥α，故不正确；对于C，垂直于同一直线的两个平面平行，正确；对于D，当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故不正确．故选：C．8．（5.00分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；故选：D．9．（5.00分）在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有（）A．平面SAC⊥平面SCB B．平面SAB⊥平面ABCC．平面SCB⊥平面ABC D．平面SAC⊥平面SAB【解答】解：∵SC⊥AB，AC⊥SC，AC∩AB=A∴SC⊥平面ABC，又SC⊂平面SCB，SC⊂平面SAC∴平面SCB⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC故选：C．10．（5.00分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的表面积为（）A．100πB．C．50πD．200π【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解得：R=5．∴球的表面积为4π•52=100π．故选：A．11．（5.00分）已知偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则一定有（）A．f（3）＞f（﹣3）B．f（﹣3）＞f（﹣5）C．f（﹣30.3）＞f（0.33）D．f（log32）＞f（﹣log23）【解答】解：∵对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0∴当x＞0时，函数为增函数，∵函数f（x）是偶函数，∴f（3）=f（﹣3），f（﹣3）＜f（﹣5），f（﹣30.3）=f（30.3），∵0＜0.33＜1，30.3＞1，∴f（30.3）＞f（0.33），即f（﹣30.3）＞f（0.33），故选：C．12．（5.00分）对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．则下列命题正确的个数是（）①若A（﹣1，3），B（1，0），则d（A，B）=5；②若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；④在平行四边形ABCD中，一定有d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵A（﹣1，3），B（1，0），则d（A，B）=|1﹣（﹣1）|+|0﹣3|=2+5=5，故①正确；②设直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），设C点坐标为（x0，y0），∵点C在线段AB上，∴x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，不妨令x1＜x0＜x2，y1＜y0＜y2，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=x0﹣x1+y0﹣y1+x2﹣x0+y2﹣y0=x2﹣x1+y2﹣y1=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故②正确；③在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=|AB|，故③不一定成立；④在平行四边形ABCD中，设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），则d（A，B）=d（C，D），d（A，D）=d（C，B），∴d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D），即④正确；∴命题正确的是①②④，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷相应位置．13．（4.00分）设l表示空间中的一条直线，α，β表示两个不重合的平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为正确的命题：l⊥β．【解答】解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β．故答案为⊥．14．（4.00分）若不论m取何实数，直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标是（﹣2，1）．【解答】解：直线l：mx+y﹣1+2m=0可化为m（x+2）+（y﹣1）=0由题意，可得，∴x=﹣2，y=1，∴直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点（﹣2，1）．故答案为（﹣2，1）．15．（4.00分）已知函数f（x）=3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=3．【解答】解：∵b﹣a=1，a，b∈N*，f（1）=4﹣5=﹣1＜0，f（2）=6＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴a+b=3．故答案为：316．（4.00分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的．有如下结论：①∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°；②∠A1C1D=∠A1C1D1+∠D1C1D；③A1C1与BC1所成的角是30°；④若BC=m，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水．其中正确的结论是①④（请填上你所有认为正确结论的序号）．【解答】解：补全正方体如图所示：①在正视图的等腰直角三角形DC1D1中，∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，故①正确；②由于∠A1C1D=60°，∠A1C1D1+∠D1C1D=45°+45°=90°，故②错；③连接A1D．∵A1D=A1C1=DC1，∴△A1C1D是正三角形．故∠A1C1D=60°．即∠A1C1D的真实度数是60°，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥C1﹣B1CD1的体积．又V C1﹣B1D1C=V C﹣B1C1D1=×1•1•1=（m3）．∴用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛m3体积的水，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卷相应位置．17．（12.00分）某长方体截去一个三棱锥后，形成的几何体的平面展开图如图1所示．（1）请在图2上补画出该几何体的直观图，并说明它是几面体；（2）求该几何体的体积．【解答】（本小题满分12分）解：（1）该几何体的直观图如图：…（4分）该几何体为七面体、…（6分）（2）该几何体的体积：V=V长方体﹣V三棱锥=4×2×2﹣=…（12分）18．（12.00分）在平面直角坐标系中，给定点P（m，n），其中，（1）求过P且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线l1的方程；（2）若直线l2平行于过点A（m﹣2，n﹣2）和B（0，2）的直线，且这两条直线间的距离为，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由m=log327=3，n=2=1．∴P（3，1）．设直线l1的方程为：x﹣2y+a=0，由l1过点P（3，1）．解得：a=﹣1，故直线l1的方程为：x﹣2y﹣1=0．（2）由已知A（1，﹣1）和B（0，2），∴k AB==﹣3．故直线AB的方程为：y=﹣3x+2，即：3x+y﹣2=0，设直线l2：3x+y+b=0，两平行线l2与AB的距离d==，解得：b=﹣2±．故直线l2的方程为：3x+y﹣2±=0．19．（12.00分）已经集合A={x|（8x﹣1）（x﹣1）≤0}；集合C={x|a＜x＜2a+5}（1）若，求实数t的取值集合B；（2）在（1）的条件下，若（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．【解答】解：由已知集合A={x|（8x﹣1）（x﹣1）≤0}={x|≤x≤1}…（2分）（1）若，即|≤（）t≤1，即2﹣3≤2﹣2t≤20…（4分）则﹣3≤﹣2t≤0，即0≤t≤，故集合B=[0，]…（6分）（2）在（1）的条件下，A∪B=[0，]…（8分）由（A∪B）⊆C，即[0，]⊆（a，2a+5），∴，…（11分）解得：﹣≤a≤0…（12分）20．（12.00分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，，，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（1）若G是PC的中点，①求证：PA∥平面GBD②求DG与平面APC所成的角的正切值；（2）若G满足PC⊥面GBD，求的值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）①在底面ABCD中，设AC交BD于O，连接MO，由已知知：AC⊥BD，且O为AC中点，…（1分）在△PAC中，G为PC中点，O为AC中点，∴PA∥GO，PA⊄平面BGD，GO⊂平面BGD，∴PA∥平面BGD．…（4分）解：②PA⊥平面ABCD，DO⊂平面ABCD，∴PA⊥DO，又AC⊥DO，PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，…（6分）故∠DGO为直线DG与平面PAC所成的角，…（7分）在△ABC中，AO=，在Rt△ADO中，DO=2，又GO=PA=，在Rt△DGO中，tan∠DGO==．∴DG与平面APC所成的角的正切值为．…（9分）解：（2）若PC⊥面GBD，则PC⊥GO，由△GCO∽△PAC…（10分）解得：，∴．…（12分）22．（14.00分）已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求a、c的值；（2）设g（x）=f（x）﹣x2+m，若函数y=log m g（x）（m＞0且m≠1）在区间[﹣2，4]上单调递增，求实数m的取值范围；（3）设函数h（x）=log2[t﹣f（x）]，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．【解答】解：（1）由f（1）=5得，a+2+c=5，∴c=3﹣a ①；由6＜f（2）＜11得，6＜4a+4+c＜11 ②；∴①带入②得，∵a∈N*；∴a=1，c=2；（2）依题意有g（x）=2x+2+m，则：y=log m（2x+2+m）在区间[﹣2，4]上单调递增；∴y′=＞0在[﹣2，4]上恒成立；∴；∴m＞1，且m＞﹣2x﹣2在[﹣2，4]上恒成立；﹣2x﹣2在[﹣2，4]上的最大值为2；∴m＞2；∴实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由函数h（x）知：t＞f（x）=x2+2x+2=（x+1）2+1；∴t＞1；令h （x ）=0，则： t ﹣f （x ）=1；即：t=x 2+2x +3=（x +1）2+2；∴当1＜t ＜2时，函数y=t 与抛物线y=x 2+2x +3无交点，即函数h （x ）无零点； 当t=2时，函数y=t 与抛物线y=x 2+2x +3只有一个交点，即函数h （x ）有一个零点；当t ＞2时，函数y=t 与抛物线y=x 2+2x +3有两个交点，即函数h （x ）有两个零点．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
十堰市2015—2016学年度上学期期末调研考试高一数学参考答案及评分细则(2016.1)命题人：陈 强 审题人： 吴顺华 程世平一、选择题（5分×12=60分）12．解析：由题意得第一个图象为函数()f x 图象，第二个为函数()g x 图象，由图可得()0g x =有三个解，分别设为123=-,=0,=x m x x m （m <<112） 由(())0g f x t -=得()f x t m -=-或()0f x t -=或()f x t m -= 即()f x t m =-或()f x t =或()f x t m =+m <<1(1)2（1）由121<<t 及()f x 图象得()f x t =有4个解， （2）由121<<t 及m <<112得12t m <+<，()f x t m =+无解;1122t m -<-<，()f x t m =-有2个，3个或4个解 综上，(())0g f x t -=的解的个数为6个，7个或8个.即a 的可能取值为6，7或8. 故选D 二、填空题（5分×4=20分）13． (7,4)-- 14． 2(,1]3 15． 114a a -≤≤≥或 16． 15[,)2816.∴510222a ≤-<，解得514a <≤，得a φ∈ （2三、解答题（70分，答案仅供参考，其它解法酌情给分）17解：（Ⅰ）由,A C A A B φ==I I 得A 中元素不含2，4，5，6且A 中元素必在集合{1,2,3,4}C =中，故{1,3}A =， ………………3分 故方程20x px q ++=的两个根为1，3由韦达定理得3,4=-=q p . ………………5分(Ⅱ) 由题意得+=(3+4,2+)a kc k k r r ，2-=(-5,2)b a r r………………7分∵（+a kc r r ）//（2-b a r r）∴2(3+4)(5)(2+)0k k --=，解得1613k =- 故实数k 的值为1613-. ………………10分 18解：（Ⅰ）原式平方得2512cos sin -=αα，πθπ<<∴2………………1分 由57cos sin ,2549)cos (sin 2=θ-θ=α-α得：………………4分联立得34tan 53cos 54sin 57cos sin 51cos sin -=θ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=θ=θ⇒=θ-θ=θ+θ. ………………6分（Ⅱ）由tan ()απ+=3得tan 3α= ………………8分 ∴.734332tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos=-⨯+-=-+-=-+-=αααααα原式 ………………12分19解：（Ⅰ）因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以(0)0f = ………………2分 当0x <时，0x ->,由奇函数定义得x x x x x f x f 3)3()()(22--=+-=--= ………………5分 ∴223,0()3,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩………………6分（Ⅱ）由题意知函数2243,0g(x)43,0x x x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ………………7分由错误！未找到引用源。
2015-2016学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）不等式（x﹣3）（x+2）＜0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．[﹣3，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）2．（5分）设向量＝（1，2），＝（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣33．（5分）已知α的终边过点（，﹣2），则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝﹣1，S4＝14，则a4等于（）A．2B．4C．6D．85．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝3b，sin B＝，则sin A 等于（）A．B．C．D．6．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）如果实数x，y满足条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．3B．C．4D．58．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝4，c＝2，cos A＝sin1380°，则a等于（）A．7B．2C．2D．29．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．A＝2B．ω＝2C．f（0）＝1D．φ＝10．（5分）在▱ABCD中，AB＝2BC＝4，∠BAD＝，E是CD的中点，则•等于（）A．2B．﹣3C．4D．611．（5分）已知x＞﹣1，y＞0，且x+y＝1，则+的最小值为（）A．3B．4C．D．512．（5分）已知数列{a n}的前n项和为T n，a1＝1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n＝2n﹣1，则T8﹣2等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝n（2n+1），则a2＝．14．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，|﹣|＝2，则•＝．15．（5分）若2cos（θ﹣）＝3cosθ，则tan2θ＝．16．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2＝6﹣2ab，且C ＝60°，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量＝（x，﹣1），＝（x﹣2，3），＝（1﹣2x，6）．（1）若⊥（2+），求||；（2）若•＜0，求x的取值范围．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．19．（12分）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B+b cos A＝c sin C．（1）求cos C；（2）若a＝6，b＝8，求边c的长．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知向量＝（sin x，﹣1），＝（cos x，m），m∈R．（1）若m＝，且∥，求的值；（2）已知函数f（x）＝2（+）•﹣2m2﹣1，若函数f（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．22．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a﹣sin C）cos B ＝sin B cos C，b＝4．（1）求角B的大小；（2）D为BC边上一点，若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长．2015-2016学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）不等式（x﹣3）（x+2）＜0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．[﹣3，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：不等式（x﹣3）（x+2）＜0对应方程为（x﹣3）（x+2）＝0，解方程得x＝3或x＝﹣2；所以该不等式的解集为（﹣2，3）．故选：B．2．（5分）设向量＝（1，2），＝（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣3【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【解答】解：∵＝（1，2），＝（m，m+1），∥，∴，解得m＝1．故选：A．3．（5分）已知α的终边过点（，﹣2），则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【解答】解：∵角α的终边过点（，﹣2），∴r＝3，∴sinα＝﹣，∴sin（π+α）＝﹣sinα＝，故选：D．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝﹣1，S4＝14，则a4等于（）A．2B．4C．6D．8【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝﹣1，S4＝14，∴4×（﹣1）+＝14，解得d＝3，∴a4＝﹣1+3d＝﹣1+3×3＝8．故选：D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝3b，sin B＝，则sin A 等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵a＝3b，sin B＝，∴由正弦定理：，可得：sin A＝＝3×＝．故选：B．6．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin2（x﹣），∴要得函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，反之，要得函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位．故选：C．7．（5分）如果实数x，y满足条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．3B．C．4D．5【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝1+2×2＝5故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝4，c＝2，cos A＝sin1380°，则a等于（）A．7B．2C．2D．2【考点】GO：运用诱导公式化简求值；HR：余弦定理．【解答】解：∵b＝4，c＝2，cos A＝sin1380°＝sin300°＝﹣sin60°＝﹣，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+12﹣2××（﹣）＝52，∴解得：a＝2．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．A＝2B．ω＝2C．f（0）＝1D．φ＝【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：根据函数的图象可知，A＝2，T＝+＝π，∴ω＝＝2，再根据f（）＝2sin（2×+φ）＝0，且0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+），∴f（0）＝2sin＝2×＝1，综上，D选项错误．故选：D．10．（5分）在▱ABCD中，AB＝2BC＝4，∠BAD＝，E是CD的中点，则•等于（）A．2B．﹣3C．4D．6【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（3，）．∴＝（5，），＝（1，﹣）．∴•＝5×1﹣＝2．故选：A．11．（5分）已知x＞﹣1，y＞0，且x+y＝1，则+的最小值为（）A．3B．4C．D．5【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵x＞﹣1，y＞0，且x+y＝1，∴+＝（+）（x+1+y）＝[5++]≥•（5+4）＝，当且仅当＝，+的最小值为．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为T n，a1＝1且a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n＝2n﹣1，则T8﹣2等于（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：由a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n＝2n﹣1，当n≥2时，a1+2a2+4a3+…+2n﹣2a n﹣1＝2n﹣3，两式相减得：2n﹣1a n＝2，∴a n＝（）n﹣2，当n＝1时，a1＝1，不满足满足，∴a n＝∴T8＝1+1+++…+＝2+，T8﹣2＝，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝n（2n+1），则a2＝7．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵S n＝n（2n+1），分别令n＝1，2，可得：a1＝S1＝3，a1+a2＝2×（2×2+1）＝10．则a2＝7．故答案为：7．14．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，|﹣|＝2，则•＝．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：根据条件，＝＝＝4；∴．故答案为：．15．（5分）若2cos（θ﹣）＝3cosθ，则tan2θ＝﹣4．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【解答】解：∵2cos（θ﹣）＝3cosθ，∴2（cosθ+sinθ）＝3cosθ，求得tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣4，故答案为：﹣4．16．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2＝6﹣2ab，且C＝60°，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝6﹣2ab，可得：c2＝a2+b2﹣6+2ab，又∵C＝60°，由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab，∴﹣ab＝2ab﹣6，解得：ab＝2，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量＝（x，﹣1），＝（x﹣2，3），＝（1﹣2x，6）．（1）若⊥（2+），求||；（2）若•＜0，求x的取值范围．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）若⊥（2+），则•（2+）＝0，即2•+•＝0，即2x（x﹣2）﹣6+x（1﹣2x）﹣6＝0，则﹣3x﹣12＝0，则x＝﹣4，则＝（﹣6，3），||＝＝＝＝3；（2）若•＜0，则x（x﹣2）﹣3＜0，即x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，即x的取值范围是（﹣1，3）．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，∴2q3＝16，解得q＝2，∴．（2）∵a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，∴，，∴，解得b1＝2，d＝2，∴b n＝2+（n﹣1）×2＝2n．S n＝＝n2+n．19．（12分）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B+b cos A＝c sin C．（1）求cos C；（2）若a＝6，b＝8，求边c的长．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（1）∵a cos B+b cos A＝c sin C，∴由正弦定理得sin A cos B+cos A sin B＝sin C sin C，则sin（A+B）＝sin C sin C，由sin（A+B）＝sin C＞0得，sin C＝，∵C是锐角，∴cos C＝＝；（2）∵a＝6，b＝8，cos C＝，∴由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝36+64﹣2×6×＝36，解得c＝6．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【解答】解：（1）等差数列{a n}公差为d，首项为a1，∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32＝a1a7，即（a1+2d）2＝a1（a1+6d），化简得d＝a1，或d＝0（舍去）．当d＝a1，由等差数列S3＝3a2，∴a2＝3，得a1＝2，d＝1．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+（n﹣1）＝n+1，即a n＝n+1，数列{a n}的通项公式a n＝n+1；（2）由（1）可知：a n＝n+1，b n＝（a n﹣1）2n＝（n+1﹣1）2n＝n•2n，∴b n＝n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n＝2+2×22+3×23+…+n×2n，2T n＝22+2×23+3×24+…+n×2n+1，两式相减：得﹣T n＝2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，＝2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴T n＝（n﹣1）2n+1+2．数列{b n}的前n项和T n，T n＝（n﹣1）2n+1+2．21．（12分）已知向量＝（sin x，﹣1），＝（cos x，m），m∈R．（1）若m＝，且∥，求的值；（2）已知函数f（x）＝2（+）•﹣2m2﹣1，若函数f（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：（1）时，；又；∴3sin x+cos x＝0；∴cos x＝﹣3sin x；∴（2）﹣2m2﹣1＝2m2﹣1＝根据题意，方程有解；即m＝有解；∵；∴∴；∴m的取值范围为．22．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a﹣sin C）cos B ＝sin B cos C，b＝4．（1）求角B的大小；（2）D为BC边上一点，若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：（1）∵（a﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴a cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，在△ABC中，由正弦定理可得：＝，∴＝1，∴tan B＝＝，B∈（0，π），∴B＝．（2）∵S△DAC＝2＝sin∠DAC，∴sin∠DAC＝，∵0＜∠DAC＜，∴∠DAC＝．在△DAC中，DC2＝﹣2×cos＝28．∴DC＝2．。
三明市2015—2016学年第二学期普通高中期末质量检测高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题：1-3 DAB 4-6 CBC 7-9 ABB 10-12 CCD二、填空题:13. 3 14.π6 15. 2． 三、解答题：17． 解：（Ⅰ）∵直线l 与直线10x y +-=平行，∴直线l 的斜率1k =-． ……………2分又∵直线l 过点(3,1)，∴直线l 的方程为1(3)y x -=--，即40x y +-=． ……………………4分 （Ⅱ）设直线l ：40x y +-=与x 轴、y 轴交点分别为点,A B ，则点(4,0) , (0,4)A B ∴直线l 与x 轴、y 轴所围成的平面图形为△OAB ，则△OAB 绕y 轴旋转一周得到的几何体为圆锥， ……………………6分 ∴2164=π44=π33V ⨯⨯⨯圆锥（）． ………………8分 18． 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵35a =，611a =，∴1125,511,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ ∴12(1)21n a n n =+-=-． ……………………2分 设等比数列{}n b 的公比为q ，∵13=1,9b b =，∴219q ⨯=，又∵1q >，∴3q =，∴1113n n n b b q --==． ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-，13n n b -=，∴1213n n n n c a b n -=-=--， ……………………5分 1231n n n S c c c c c -=++++01221(13)(33)(53)(233)(213)n n n n --=-+-+-+--+--21+21131()(13)2132n n n n n --=-=+--． ……………………8分 01221[135(23)(21)](333+33)n n n n --=++++-+--++++19． 解：(Ⅰ)∵在△ABC 中，45A = ，105C = ，则30B =， 根据正弦定理：sin sin a c A C =，∴6sin 45sin 30b=，∴b =． …………………4分(Ⅱ) )∵在△ABC 中，45A = ，6a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22362cos 45b c bc =+- ，∴2236b c +=+． …………………6分 又∵222b c bc +≥，∴362bc +≥， …………………7分∴18(2bc ≤==+，∴11sin 18(21)22ABC S bc A ∆=≤⨯=,当且仅当b c ==, △ABC面积取得最大值为1)．………9分20． 解：（Ⅰ）设圆C 的方程是220x y Dx Ey F ++++=，因为(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 三点都在圆C 上，代入上面方程得到方程组0,20,42200,F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得8D =-，6E =，0F =，所以圆C 的方程是22860x y x y +-+=． …………………4分 （Ⅱ）设直线0x y m -+=与圆C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，线段AB 的中点为 00(,)M x y ，由220,860,x y m x y x y -+=⎧⎨+-+=⎩消去y 得22()86()0x x m x x m ++-++=， 即2222(1)60x m x m m +-++=， ……………………6分 由224(1)8(6)0m m m --+>，得77m -<<， ……………………7分 由根与系数的关系得121x x m +=-， 所以01211()(1)22x x x m =+=-，01212111()(2)(1)222y y y x x m m =+=++=+，由M 在圆225x y +=上，所以2211(1)(1)544m m -++=，则29m =，综上可得3m =-． ……………………9分21．解：（Ⅰ）∵2a =，则2()232f x x x =-+，由()1f x >，得22321x x -+>，则22310x x -+>，∴(21)(1)0x x -->，解得1,12x x <>或， ∴不等式的解集为1|,12x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或． …………………4分 （Ⅱ）由题意对任意[1,3]x ∈-，都有()0f x ≥成立，即min ()0f x ≥在[1,3]x ∈-上成立．⑴当0a =时，则()2f x x =-+在[1,3]-上单调递减，∴min ()(3)10f x f ==-<，与min ()0f x ≥相矛盾，∴0a =不合题意，舍去． ………………5分 ⑵当0a >时，函数2()(1)2f x ax a x =-++的对称轴为102a x a +=>， ①当1132a a +-<<时，即15a >时，()f x 在1[1,]2a a +-上单调递减，在1[,3]2a a+上单调递增， 2min1(1)()()2024a a f x f a a ++==-≥，解得33a -≤≤+，此时135a <≤+ ②当132a a+≥时，即15a ≤时，()f x 在[1,3]-上单调递减， min ()(3)610f x f a ==-≥，16a ≥, 此时1165a ≤≤． …………………7分 ⑶当0a <时，函数2()(1)2f x ax a x =-++的对称轴为12a x a+= ①当112a a+≤时，即1a ≤时，∴ 0a <， m i n ()(3)610f x f a ==-≥，即 16a ≥ ，与0a <相矛盾，舍去． ②当112a a+>时，即1a >时，与0a <相矛盾，舍去．综上所述：实数a 的取值范围是：1[,36a ∈+． …………………9分22．解法一：（Ⅰ）证明：取PD 的中点H ，连结,AH HF ，∵点F 为线段PC 的中点，点H 为线段PD 的中点∴HF =12DC ，HF //12DC ， 又∵点E 为线段AB 的中点，底面ABCD 是正方形， ∴AE =12DC ，AE //12DC ， ∴HF =AE ，HF //AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH //EF又∵AH PAD ⊂面，EF PAD ⊄面，∴EF ∥平面PAD .……………………4分（Ⅱ）∵2AD PD ==，PA =，∴222AD PD PA +=，∴AD PD ⊥，又∵AD CD ⊥，且PD DC D = ，PD ，CD ⊂平面PCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又∵AD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PCD ． ……………………6分 过点P 作平面ABCD 的垂线PG ，则垂足G 在CD 的延长线上，又∵120PDC ∠= ，则60PDG ∠= ∴112GD PD ==． ……………………7分 ∴四棱锥P ABCD -的俯视图如图所示： ……………………9分解法二：（Ⅰ）取CD 的中点H ，连结,EH FH ，∵点F 为线段PC 的中点，点H 为线段CD 的中点， ∴HF //PD ，又∵PD PAD ⊂面，FH PAD ⊄面，∴FH ∥平面PAD ，同理EH ∥平面PAD 又∵FH ÇEH H =∴平面FEH ∥平面PAD ，又∵EF ⊂平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ． ……………………4分 （Ⅱ）同解法一．。
开封市回民中学2015-2016年度第二学期期末考试试卷高一数学一、选择题（每小题4分，共40分） 1、下列命题正确的是（ ）A 、第二象限角必是钝角B 、终边相同的角一定相等C 、相等的角终边必相同D 、不相等的角终边必不相同 2、-300°化为弧度是 （ ）A.34π-B.35π- C ．32π- D ．65π-3、若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z)的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限4、sin 210= ( )A ．21B ．21- C ．23 D ．23-5、已知角α的终边过点()34，-P ，则ααcos sin 2+的值是（ ） A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或52- D ． 526、在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cm D.50π3cm 7、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 8、已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是（ ） A .若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B .若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C .若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D .若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>9、设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10. 设A 是△ABC 的一个内角，且sinA ＋cosA ＝23，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰的直角三角形D ．等腰的直角三角形二、填空题（每小题4分，共16分）11、若θθθ则,0cos sin >在第 象限12．若sin α=-23, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是____________。
