第十六章 偏微分方程的数值解法
科学研究和工程技术中的许多问题可建立偏微分方程的数学模型。包含多个自变量的微分方程称为偏微分方程(partial differential equation)，简称PDE 。偏微分方程问题，其求解是十分困难的。除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
16.1 几类偏微分方程的定解问题
一个偏微分方程的表示通常如下：
(,,,,)x x x y y y x y A B C f x y Φ+Φ+Φ=ΦΦΦ (16.1.1)
式中，,,A B C 是常数，称为拟线性(quasilinear)数。通常，存在3种拟线性方程： 双曲型(hyperbolic)方程：240B AC ->； 抛物线型(parabolic)方程：240B AC -=； 椭圆型(ellliptic)方程：240B AC -<。
16.1.2 双曲型方程
最简单形式为一阶双曲型方程：
0u u
a t x
∂∂+=∂∂ (16.1.2) 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程：
22222u u a t x
∂∂=∂∂ (16.1.3) 描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为：
222220
0,(,0)()()t u u
a
t x t
x u x x u x x t ϕψ=⎧∂∂=>-∞<<+∞
⎪∂∂⎪⎪
=⎨⎪
∂⎪=-∞<<+∞
⎪∂⎩ (16.1.4)
边界条件一般有三类，最简单的初边值问题为：
22222120
00,0(,0)(0,)(),(,)()0()t u u
a t T x l t x u x l
u t g t u l t g t t T u
x x t ϕψ=⎧∂∂==<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤⎪⎨==≤≤⎪⎪∂=-∞<<+∞⎪∂⎪⎩ (16.1.5)
16.1.3 抛物型方程
其最简单的形式为一维热传导方程：
220(0)u u
a a t x
∂∂-=>∂∂ (16.1.8) 方程可以有两种不同类型的定解问题：
(1) 初值问题：
2200,(,0)()u u
a t x t x
u x x x ϕ⎧∂∂-=>-∞<<+∞⎪
∂∂⎨⎪=-∞<<+∞
⎩
(16.1.6)
(2) 初边值问题：
2212
00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u
a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T
ϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪
=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩
(16.1.7) 其中()x ϕ，1()g t ，2()g t 为已知函数，且满足连接条件：
12(0)(0),()(0)g l g ϕϕ== (16.1.8)
边界条件12(0,)(),(,)()u t g t u l t g t ==为第一类边界条件。
第二类和第三类边界条件为：
10
122()()
()()
x x l
u t u g t x u t u g t x λλ==⎡⎤
∂-=⎢⎥∂⎣⎦
⎡⎤
∂+=⎢⎥∂⎣⎦
0t T ≤≤ (16.1.9)
其中1()0t λ≥，2()0t λ≥。当12()()0t t λλ=≡时，为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。
16.1.4 椭圆型方程
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程
2222(,)u u
u f x y x y
∂∂∆=+=∂∂ (16.1.10)
特别地，当(,)0f x y ≡时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程：
02222=∂∂+∂∂=∆y
u
x u u (16.1.11)
Poisson 方程的第一边值问题为：
2222(,)(,)(,)(,)
(,)x y u u
f x y x y x y u x y x y ϕ∈Γ⎧∂∂+=∈Ω⎪∂∂⎨⎪=Γ=∂Ω
⎩
(16.1.12)
其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΩΓ称为定解区域，(,)f x y ，(,)x y ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为：
(,)
(,)
x y u u x y αϕ∈Γ⎛⎫
∂+= ⎪
∂⎝⎭
n (16.1.13) 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0α=时为第二类边界条件，0α≠时为第三类边界条件。
16.2 差分方法的基本概念
差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。
它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点(网格点)集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组(称为差分格式)。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解(数值解)。
因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： (1) 选取网格；
(2) 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； (3) 求解差分格式；
(4) 讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。
下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程问题的一般过程及差分方法的基本概念。
设有一阶双曲型方程初值问题。
00,(,0)()u
u a t x t x u x x ϕ∂∂⎧+=>-∞<<+∞⎪∂∂⎨⎪=⎩ (16.2.1)
选取网格：
图16.2.1 差分示意图
首先对定解区域{(,),0}D x t x t =-∞<<+∞≥作网格剖分，最简单常用一种网格是用两族分别平行于x 轴与t 轴的等距直线：
k x x k h ==,
(0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±= (16.2.2)
