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分式运算的几种技巧
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目, 计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 、整体通分法
2
例1计算：--a- 1 a- 1
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算
算更加简便•通常我们把整式看作分母是 1
.如能把（-a-1 ）看作一个整体，并提取“ 的分式•
二、先约分后通分法
【解】
a- 1 2 2
a
a
1 = - (a+1) = —
a- 1 a- 1 2
(a+1)(a- 1) = a - (a+1)(a- 1)_
1
a-1 a-1 a-1
a- 1 使用一般方法有时
”后在通分会使运
x+1
计算 X 2X x 2- 2x x 2- 4
分析: 多。
直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许 x(x-2)
解：原式=(x 1)(x 2) + (x-2)(x 2) = x 2 +
x 2 = x 2
三、分组加减法
1 2 2 例 3 计算 a _2 + a 1 - a -1 分析：
本题项数较多，分母不相同 分子为常数、相同或倍数关系，
这样才能使运算简便。
1 1
2 2 解：原式=（a -2- a 2）+（ a
1 - a -1）
1 a
2 .因此，在进行加减时，可考虑分组 •分组的原则是使各组运算后的结果能出现
4 « 12
=a 2 -4 + a 2-1 = (a 2_4)(a 2 _1)
四、分离整数法
x 2 x 3 x -5 x -4
例4 计算——
x 1 x 2 x -4 x-3
方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时， 某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(2^-(x+2)+1 +(x -4)-1-(x -3)-1
x+1 x + 2 x- 4 x- 3 1111
=(1+ )- (1+ )+(1- )-(1- )
x + 1 x + 2 x- 4 x- 3 1111 = - - +
x +1 x + 2 x - 4 x- 3
般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分; 在解
八、公式变形法
1 例&已知a?-5a+仁0,计算a 4+—4 a
五、逐项通分法
1
1
例5计算：」
1
---------- a _x a +x a
2x
4x 3 2
2
4
4
x a —x
分析：若一次通分，计算量太大, 题简单化。
注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问
同类方法练习题:
1
计算—
x -1
2
4 x 2
1 x 4
1
六、裂项相消法
例6计算:
1
+ ---------------- + ------------------ + a(a+1) (a+1)(a + 2) (a + 2)(a+3)
+ ------------------ (a+9)(a+10)
分析：本题的
10个分式相加，无法通分，而式子的特点是:
每个分式的分母都是两个连续整数的积
（若
a 是整数），联想到
1 1 1
丄 二丄-丄，这样可抵消一些项.
a （a +1） a a +1
1
解：原式=（丄-
a
1 1 1 1 1 1 a+1)+(a+1- a+2)+(a+2- a+3)+'" +(a+9 - a+10)
1
a a +10 a(a +10)
10
七、整体代入法 例7.已知1
+ 1
=5求
2x _
5xy 2y
的值
x y
x +2xy +y
1 1
解法
1
：T — + — =5 xy 丰 0,.所以
x y
2 2
1 1
5 2( )-5
2x-5xy +2y _ y x ____ x y _______ 2乂
5_5_5 1 111 5 ：： 2 7
2 2 5 27 y x x y
x 2xy y 解法 2:由 1 + 1 =5 得，-一 =5,
x y xy
x+y=5xy
.2x _5xy 2 y 2(x y) _5xy x 2xy y
2 5xy - 5xy 5xy 5
7xy = 7
(x y) 2xy 5xy 2xy
1 1
练习：若丄-丄=5，
x y
求3x
5x y 7
y
的值. x _3xy _y
1 解：由已知条件可得 a 工0, • a+ =5
a
4
1
2
〔2
1 2 2
2 2
…a+ 4 =(a + 2 ) -2=[( a+ ) -2] -2=(5 -2) -2=527
a a a
2 2 1
练习：(1)已知x+3x+仁0,求x + 2的值.
- 1 2 15
=a + —2 +1=(a+
) -1=- a
—
49
2
a 1
15
九、设中间参数法 b +c 例9•已知圧= a 解：设山=
a 把这3个等式相加得
—，计算: c a b
=k ，则
c (a b)(b c)(c a)
abc
b 2(a+b+c)= (a+b+c)k b+c=ak ； a+c=bk ； a+b=ck ；
^若 a+b+c=0 , a+b= -c,贝V k= -1 若 a+b+c 丰 0,贝U k=2
(a b)(b c)(c a) ak bk ck 3 =k abc abc 当k=-1时，原式=-1 当k=2时，原式=8 练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2 ,
则也N = x +y 2x - 3y 4z
x y z （2）已知 ，则
4 5 6 3z 十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项） 例 10.已知-―^一=7 , a —a +1 2
七 a 求4 2
a a 1
的值 解：由条件知0, •••
1 8 a+ =—
a 7
练习: 2 a a 4 a 2 1
1
已知a+ =5.贝V
a 特殊值法（选填题） —+-^ + c
bc b 1
a 、
b 、
c 的值， 例11.已知abc=1,则
ab +a +1 分析：由已知条件无法求出 解：令 a=1, b=1 ,
c=1，则
1 1
原式=
1
1
ca c 1
可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值.
1 1 1
+ --------------- + --------------- = — + — + — =1 1 111 1 111 1 111 3 3 3
说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果.
a 4 a 2 1
2
1
49
