江苏省苏州市2013届高三调研测试数学试卷

江苏省常州市2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题2013．1参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 已知复数1i z =-+（为虚数单位），计算：z zz z⋅-= ▲ ． 3． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ．5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ． 6． 函数(1)()coscos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ． 7． 函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ．8． 已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数上，若曲线在点A和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++= ▲ ．9． 已知向量a ，b 满足()22,4a b +=- ，()38,16a b -=-，则向量a ，b 的夹角的大小为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 ▲ ．102321Pr int n S n While S S S n n End While n++ ≤ ←←0←←4(第题)11．已知函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM PN ⋅的最大值为 ▲ ． 14．已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ， 2AB ==，3CD =，直线P A 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是P A ，PB 的中点． （1）求证：MN ∥平面PCD ；（2）求证：四边形MNCD 是直角梯形； （3）求证：DN ⊥平面PCB ．17．（本小题满分14分）上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=.（1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =． （1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．2013届高三教学期末调研测试数学Ⅱ（附加题）2013．121．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系． D ．选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．23．(本小题满分10分)空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. （1）求1234,,,a a a a ；（2）写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．0 2．i - 3.4. 11 5．8156．2 7．(,2]-∞ 8．7 9．p 10．()1、()3、()411．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．2324n n ⋅-- 13． 4+ 14．56⎧⎫⎨⎬⎩⎭二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 16．证明：（1）因为点M ，N 分别是P A ，PB 的中点，所以MN ∥AB ．…………………2分因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD ．又CD ⊂平面PCD ， MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD . ……4分 （2）因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD ，又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥PD ，又AD PD D = ，所以CD ⊥平面PAD ．……………6分 因为MD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥MD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．……………………………………8分 （3）因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD = 60 ． …………………………9分在Rt △PDA 中，AD =，PD =，PA =，MD =在直角梯形MNCD中，1MN =，ND =，3CD =，CN ==，从而222DN CN CD +=，所以DN ⊥CN ． …………………………11分在Rt △PDB 中，PD = DB ， N 是PB 的中点，则DN ⊥PB ．……13分 又因为PB CN N = ，所以DN ⊥平面PCB ． …………………14分17．解：（1）设AF y =，则x y l +=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当b >时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎭上，'0S <，S 递减，故当x =时，2max S =. 18．解：（1） 2250AF BF += ，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23. （2）存在满足条件的常数λ，47=-l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b =，左焦点()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=- ，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭. 三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------.故21407kk -=，从而存在满足条件的常数λ，47=-l .19．解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分 （2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=．设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =， 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =（舍去负根）.35a d =+ ，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈ ，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =，所以，最大的3a =………16分 20．解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>，所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分 （2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时，则2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x--=--=，令'()0f x =，得00x =>（负根舍去）， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分 （ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =，得1x =x a =<舍），a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增. ………………………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，若280a ∆=-≤，即0a <≤, 则'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；若280a ∆=->，即a >则由'()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在上单调增；在)+∞上单调减. …………………………………………8分综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是 ，()f x 单调递增区间是)+∞；当1a ≤≤时, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当a >时, ()f x 单调递减区间是(0, )和)a ，()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，所以1a ≠； ………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立． 令ln ()xh x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=． 因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >． 因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()xg x x x=+，则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-，则1()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分2013届高三教学调研测试（二） 数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ． 因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ．B ．选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x +=，222:220C x y x y +--=即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离d > ∴曲线12C C 与相离．D ．选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E （X ）=123+214+3114+4184=10.723．解：（1）12342,4,8,15a a a a ====；（2）31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++ 31[(1)5(1)6)]6k k =++++，即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++.。

【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．苏州2013届高三期初21A.选修4-1：几何证明选讲如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E , ∠BAC的平分线与BC 交于点D。

求证：ED2＝EB·EC.证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以∠CAE=∠CBA．又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD 所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE 所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．又EA2=EC•EB，所以ED2=EB•EC．B．选修4-2：矩阵与变换求矩阵M＝1426-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．解：f （λ）=（λ+1）（λ-6）-8=λ2-5λ-14=（λ-7）（λ+2） 由f （λ）=0可得：λ1=7，λ2=-2． （4分）由(7+1)x-4y=0和-2x+(7-6)y=0可得x=1，y=2，所以属于λ1=7的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21由(2+1)x-4y=0和-2x+(2-6)y=0，可得x=4，y=-1，所以属于λ1=-2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-4． （10分）C ，选修4-4：坐标系与参数方程在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ+4π)=223和ρsin 2θ=4cos θ直线l 与曲线C 交于点.A,B,C ，求线段AB 的长．化为直角坐标方程为 x-y-3=0．曲线C 的极坐标方程ρsin 2θ=4cos θ，即ρ2sin 2θ=4ρcos θ，化为直角坐标方程为 y 2=4x ，联立得到x 2-10x+9=0,解得x 1=9，x 2=1D ．选修4-5：不等式选讲对于实数x ，y ，若｜x －1｜≤1，｜y －2｜≤1，求｜x －y ＋1｜的最大值解法一：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴|x-y+1|=|（x-1）-（y-2）|≤|x -1|+|y-2|≤1+1=2， （当且仅当 x=2，y=3，或x=0，y=1时取等号），BAC故|x-y+1|的最大值为2．解法二：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴-1≤x -1≤1 且-1≤y -2≤1， 即-1≤x -1≤1 且-1≤2-y≤1．相加可得-2≤x -y+1≤2，即|x-y+1|≤2，故|x-y+1|的最大值为2．苏州2014届高三期初21A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，， PC 平分，交⊙O 于点C ．求证：为等腰直角三角形．证明：由得为直径，所以． 由，得，同理． 又因为PC 平分，所以． 所以，故． 从而，为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A =，B =，求矩阵．解：设矩阵A 的逆矩阵为，则=， 90APB ∠=︒APB ∠ABC ∆90APB ∠=AB 90ACB ∠=︒AC AC =APC ABC ∠=∠BPC BAC ∠=∠APB ∠CPA CPB ∠=∠BAC ABC ∠=∠BC AC =ABC ∆2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-A B ab c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦即=， 故，从而A 的逆矩阵为=．所以==．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线C 和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．解：由得曲线C 的直角坐标方程为．由得曲线的直角坐标方程为．曲线C 表示以为圆心，5为半径的圆；曲线表示以为圆心，2为半径的圆． 因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， 所以圆C 和圆的位置关系是内含．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设实数a ，b 满足，求证：．22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,0,0,12a b c d ====1-A 10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1-A B 1021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦225ρ=C '4cos ρθ=C '225ρ=2225x y +=4cos ρθ=C '22(2)4x y -+=()0,0C '()2,0C 'a ≠b 4422a b ab a b +>+（）证明：作差得＝＝＝．因为，所以a ，b 不同时为0，故，， 所以，即有．苏州2015届高三期初A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE AB ⊥于E ，AC 与DE 、BD 分别相交于M 、N ,求证：AM MN =．解：,AD BD D ⊥是AC 的中点，∴∠DAC =∠ABD ,从而∠DAC =∠ADE , ∴AM=DM ················5分 又∠DNM =∠DAE =∠BDE ∴DM=MN∴ AM=MN ············10分442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+--33()()a b a b --222()()a b a ab b -++2223()[()]24b a b a b -++a ≠b 223()024b a b ++>2()0a b ->2223()[()]024b a b a b -++>4422a b ab a b +>+（）B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ··············3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ··6分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．········10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程如图，边长为2的正六边形ABCDEO ，以OC 为极轴建立极坐标系，求CD 边所在直线的极坐标方程．解：设过O 垂直于Ox 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.则)0,4(C 且直线CD 的倾斜角为32π， 直角坐标方程为：0343=-+y x . ···············5分所以CD 边所在直线的极坐标方程为：034sin cos 3=-+θρθρ（或 32)3sin(=+πθρ 或32)6cos(=-πθρ）D ．选修4—5：不等式选讲 已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++. 证明：因为x ，y ，z 均为正数．所以， 同理可得，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． 苏州2016届高三期初A ．选修 4—1：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 已知：如图，点 A ，P ，B 在⊙O 上，︒=∠90APB , PC 平分APB ∠，交⊙O 于点 C ． 求证： ABC ∆为等腰直角三角形．证明：∵PC 平分APB ∠，∴BPC APC ∠=∠, 又∵ABC APC ∠=∠,,BPC BAC ∠=∠∴,BAC ABC ∠=∠∴ABC ∆为等腰三角形,∵︒=∠90APB ,∴AB 是圆的直径，∴︒=∠90ACB ,∴ABC ∆为等腰直角三角形B ．选修 4—2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=6241M 的特征值和特征向量.12()x y x y yz zx z y x z+=+≥22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥111x y z yz zx xy x y z++++≥解：特征多项式1458)6)(1(6241)(2--=--+=---+=λλλλλλλf)2)(7(+-=λλ，由f (λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝2-，将λ1＝7代入特征方程组，得⎩⎨⎧=+-=-02048y x y x ，即y ＝2x ，可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡21为属于特征值λ1＝7的一个特征向量， 同理，λ2＝2-时，特征方程组是⎩⎨⎧=--=--08204y x y x ，即y x 4-=，所以可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14为属于特征值λ2＝2-的一个特征向量．综上所述，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=6241M 有两个特征值λ1＝7，λ2＝2-； 属于λ1＝7的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21，属于λ2＝2-的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14.C ．选修 4—4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，求圆ααα(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)上的点到直线⎩⎨⎧+=-=ty tx 322(t 为参数)的最小距离.解：圆的方程是422=+y x ，直线方程是083=-+y x ，圆心到直线的距离是21054=>=r d ，所求最小距离是=-r d 21054- D ．选修 4—5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 解不等式：2|32|≥++x x解：∵x x -≥+2|32|，∴x x -≥+2|32|，∴x x -≥+232或)2(32x x --≤+，∴31-≥x 或5-≤x ，所以不等式的解集是|{x 31-≥x 或5-≤x }苏州2017届高三期初A ．选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠=︒，且19PD PB ==，，求EC ．解：弦切角60PAE ABC ∠=∠=︒，又PA PE =，所以PAE △为等边三角形，由切割线定理有29PA PD PB =⋅=， ………5分 所以3AE EP PA ===，2ED EP PD =-=，6EB PB PE =-=， 由相交弦定理有：12EC EA EB ED ⋅=⋅=，1234EC =÷=．…10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α为矩阵114a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及2A ． 解：由条件可知1221411a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴2224a λλ+=⎧⎨-+=⎩，解得2a λ==． ……… 5分因此1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以212121101414514A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦． …10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21-A 题）自极点O 任意作一条射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得12OM OP ⋅=，求动点P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．解：设(,)P ρθ，M (,)ρθ'，∵12OM OP ⋅=，∴12ρρ'=．∵cos 3ρθ'=，∴12cos 3θρ⋅=．则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=． ∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ， 得24cos ρρθ=．∴2240x y x +-=．D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 解：证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|． 又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥． 10分苏州2018届高三期初A.[选修4-1:几何证明选讲]如图，圆O 的直径A5 = 4, C 为圆周上一点，BC = 2,过C 作圆O 的切线l ,过A 作l 的垂线AD, AD 分别与直线l 和圆O 交于点D, E,求线段AE 的长.连接OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE.∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∴∠CBO ＝∠COB ＝60°，又直线l 切⊙O 于C ，∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°， ∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°， 而∠OAC ＝∠ACO ＝∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝AB ＝4.B.[选修4-2:矩阵与变换] 在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x,5)在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42,31M 对应的变换下得到点Q(y-2,y)，求M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .解：∵点（x ，5）在矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321对应变换作用下得到点（y-2，y ），[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标系中，设直线l 过点A )6,3(π,B(3,0)，且直线l 与曲线C ：θρcos a = (a>0)有且只有一个公共点，求实数a 的值. 解：依题意，点A （，）、B （3，0）的直角坐标为A （，），B （3，0）， 从而直线l 的普通方程为 x+y-3=0．曲线C ：ρ=acos θ（a ＞0）的直角坐标方程为+y 2=． 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以=，解得a=2（负值已舍）．[选修4 - 5:不等式选讲] 已知x, y, z 均为正数，求证：zy x xy zx y yz x 1111++≥++ .证明：因为x ，y ，z 都是为正数，同理可得1当且仅当x=y=z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，z y x xy zx y 1111++≥++。

【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编2：函数一、填空题1 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数,直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ,B ,C ,D .若AB BC =,则实数t 的值为______. 【答案】74- 2 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈,0)(≥x f 且9)()1(22=++x f x f .已知当]1,0[∈x 时,有242)(--=x x f ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛62013f 的值为________. 【答案】53 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数f (x )=32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥,若关于x 的方程f (x )=kx 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是______. 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ,当]1,0[∈t 时,]1,0[))((∈t f f ,则实数t 的取值范围是_____. 【答案】37[log ,1]35 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设函数()ln f x x =的定义域为(),M +∞,且0M >,对于任意a ,b ,(,)c M ∈+∞,若a ,b ,c 是直角三角形的三条边长,且()f a ,()f b ,()f c 也能成为三角形的三条边长,那么M 的最小值为________. 【答案】26 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥,且()()f a f b =,则()bf a 的取值范围是__. 【答案】5[,3)4;7 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数,当x < 0时,f (x )=x + e x(e 为自然对数的底数),则()ln6f 的值为____. 【答案】1ln 66- 8 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(a)>f(b), 则f(-a)_________ f(-b)(填“>”或:“<”)【答案】<9 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++,则55(2)(2)22f f -++--=_____. 【答案】810．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）函数22()log (4)f x x =-的值域为______.【答案】(,2]-∞11．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知关于x 的函数y=2(1)t x t x-+(f∈R)的定义域为D,存在区间[a,b]⊆D,f(x)的值域也是[a,b].当t 变化时,b-a 的最大值=______________. 【答案】23312．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知函数2log ()3x x f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤,则=)]0([f f ____. 【答案】013．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）定义在R 上的函数()f x ,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=,当(2,0)x ∈- 时,()4x f x =,则(2013)f =________.【答案】答案:14. 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用.14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）方程lg(2)1x x +=有______个不同的实数根.【答案】2;15．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知函数21(1),02,()(2),2x x f x f x x ⎧⎪--≤<=⎨-≥⎪⎩, 若关于x 的方程()f x kx =(0)k >有且仅有四个根, 其最大根为, 则函数225()6724g t t t =-+的值域为 . 【答案】41[,1)25--16．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数f (x )=⎩⎨⎧2，x ∈[0，1]x ，x ∉[0，1].则使f [f (x )]=2成立的实数x 的集合为________. 【答案】{x |0≤x ≤1,或x =2};二、填空题17．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由; 若函数3()1x a g x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围;若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值. 【答案】解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0] 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的(2)因为33()311x a a g x x x +-==+++,①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a ++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增. ①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b a h a b ≥⎧⎨≤⎩(*), 而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=。

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编16：不等式选讲 一、解答题 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 【答案】选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 解:因为x>0,y>0,x-y>0,=, 所以 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知为正数,且满足,求证:. 【答案】D.由柯西不等式,得 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）D.(选修4—5:不等式选讲) 已知均为正数,求证:. 【答案】D. 证明:由柯西不等式得 则,即 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）D.选修4—5:不等式选讲设都是正数, 且, 求证:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤. 【答案】解:因为是正数,所以 同理,将上述不等式两边相乘, 得, 因为,所以 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数(). (Ⅰ)当时,已知,求的取值范围;(Ⅱ)若的解集为或,求的值.【答案】 ．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）D.(不等式选讲) 已知x,y,z均为正数.求证:. 【答案】D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.证明:因为x,y,z均为正数,所以, 同理得(当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立),将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得. ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）(不等式选做题) 设x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3. 【答案】证明:由题设x>0,y>0,x>y,可得x-y>0 因为2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+ . 又(x-y)+(x-y) +,等号成立条件是x-y=1 . 所以,2x+-2y≥3,即2x+≥2y+3 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=+-1==因边a+b=2,所以左边-右边=因为a,b都是正实数,所以ab≤=1 所以,左边-右边≥0,即+≥1 方法二:由柯西不等式,得(+)[(2+()2]≥(a+b)2 因为a+b=2,所以上式即为(+)×4≥4.即+≥1 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）D．选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分） 设f(x)=|x-a|,a∈R. ①当-1≤x≤3时，f(x)≤3，求a的取值范围； ②若对任意x∈R，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立，求实数a的最小值． 【答案】 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）D、(不等式选做题) 设a,b,c,d∈R,求证:+≥,等号当且仅当ad=bc时成立.【答案】D、(不等式选做题)证明 由柯西不等式(a+b)(c+d)≥(ac+bd),得≥| ac+bd |≥ac+bd.将上式两边同时乘以2,再将两边同时加上a+b+c+d,有(a+b)+2+(c+d)≥(a+c)+(b+d), 即 (+)≥(), 所以,+≥ 由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知,原不等式中等号当且仅当ad=bc时成立 ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）选修4—5 不等式证明选讲证明:对任意正数a≠b的算术平均A=有B<。