二项式定理复习题

第2讲 二项式定理1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，它表示第r ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C rn (r ∈{0,1,2，…，n })2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C mn ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.【套路修炼】考向一 通项公式的运用【例1】（1）(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)（2）⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为 。

（3））(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 。

（4）展开式中x 2的系数为 。

【答案】（1）10 （2）-20 （3）30 （4）-1280【解析】（1）T r ＋1＝C r5(2x )5－r·(x )r＝25－r C r5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10（2）∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.（3）法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.（4）根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：化简得到-1280 x2【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出【举一反三】1．展开式中项的系数是（）A．270 B．180 C．90 D．45【答案】A【解析】∵，∴展开式中项的系数为 270，故选：A．2．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14 B．28 C．56 D．112【答案】A【解析】因为在的展开式中，，令则，∴，再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A 3．在的展开式中，含项的系数为A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，含项的系数为.故选：B4．的展开式中的系数是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26【答案】B【解析】展开式中的系数中的与展开式中项相乘，但展开式中没有项中的与展开式中项相乘，所以的系数是，故选B项.考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【解析】根据所给的等式求得常数项，令，则在所给的等式中，令，可得： ①令，则 ②用①②再除以可得用①②再除以可得在中，令，可得【举一反三】1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【套路总结】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【答案】D【解析】令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项即为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中1x的系数与x 的系数的和.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x5－2k·(－1)k.令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中1x的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项为80－40＝40.2．若x 4(x ＋4)8＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 12(x ＋3)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝（ ）. A ．4 B ．8C ．12D ．11【答案】D【解析】 当x ＝﹣2时，x +3＝1．等式化为：（﹣2）4•28＝a 0+a 1+a 2+…+a 12．∴a 0+a 1+a 2+…+a 12＝…①当x ＝﹣4时，x +3＝﹣1．等式化为：（﹣4）4•08＝0＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…+a 12…②上述①②两等式相相减有：a 1+a 3+…+a 11＝（+0）＝，log 2（a 1+a 3+…+a 11）＝．故答案为：D ．3．已知二项式展开式中含项的系数为，则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】二项式展开式中含项，根据二项式的展式的公式得到，令.此时的系数为故答案为：A.4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于A．B．C．D．【答案】C【解析】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，，故选C。

高考数学复习（60） 二项式定理1.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 解析：因为展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 10x 2r x －(10－r)＝(－1)r C r10x310+2－r，令－10＋32r ＝2，得r ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8C 810＝45. 答案：452．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________． 解析：由二项式系数的性质，得n ＝10， 所以T r ＋1＝C r10(x)10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 552－r ， 令5－52r ＝0，则r ＝2，从而T 3＝4C 210＝180. 答案：1803.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ·(－2y)r ＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r .当r ＝3时，展开式中x 2y 3的系数为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－2)3＝－20.答案：－204.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－2n展开式中的常数项是70，则n ＝________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－2n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2n ，所以T r ＋1＝C r 2n (－1)r x 2n －2r，又因为展开式的常数项为70，令2n －2r ＝0得，n ＝r ，所以C n2n ＝70，又C 48＝70，所以n ＝4.答案：45．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字作答) 解析：令x ＝0，则a 0＝(－2)5＝－32，令x ＝1，则a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31. 答案：316．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x的项为________．解析：由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r4(5x)4－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r4x 342－r，令4－3r 2＝1，得r ＝2，T 3＝150x.答案：150x二保高考，全练题型做到高考达标1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 解析：二项式的展开式通项为T r ＋1＝C r5(x)5－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x -1556r ，令15－5r ＝0，得r ＝3，故A ＝T 4＝C 35(－1)3＝－10.答案：－102.⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T k ＋1＝C k4(x 3)4－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 4(－2)k x 12－4k， 令12－4k ＝0，解得k ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r8·x8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r， 令8－2r ＝0，得r ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38. 答案：383．(x 2－x ＋1)3展开式中x 项的系数为________．解析：由(x 2－x ＋1)3＝(x 2－x ＋1)(x 2－x ＋1)·(x 2－x ＋1)，所以(x 2－x ＋1)3展开式中的x 项为只要三个因式中一个取－x ，另两个取1，所以系数为－3.答案：－34．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________.解析：在已知等式两边对x 求导，得5(2x －3)4×2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：105．若⎝⎛⎭⎪⎫9x －13x n (n ∈N *)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为________．解析：由题意可得C 2n ＝36，所以n ＝9.所以⎝⎛⎭⎪⎫9x －13x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －13x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9·99－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r ·x 392－r，令9－3r2＝0，得r ＝6.所以展开式中的常数项为C 69×93×⎝ ⎛⎭⎪⎫－136＝84.答案：846．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 210展开式中的常数项为180，则a ＝________. 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 210展开式的通项为C r 10(x)10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2r ＝a r C r 10x 552－r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，又a 2C 210＝180，故a ＝±2.答案：±27．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 … …解析：由杨辉三角知，第1行中的数是C 01、C 11； 第2行中的数是C 02，C 12，C 22； 第n 行中的数是C 0n ，C 1n ，C 2n ，…，C nn .设第n 行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3， 则C 13n ∶C 14n ＝2∶3，即3C 13n ＝2C 14n ， 所以3·n ！13！－！＝2·n ！14！－！所以n －13＝21，所以n ＝34. 答案：348．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________． 解析：令x ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为(3－1)n ＝128＝27，故n ＝7.则二项式的通项T r ＋1＝C r 7(3x)7－r·(－x －23)r ＝(－1)r ·37－r C r7x 573－r，令7－53r ＝－3，得r ＝6，故展开式中1x3的系数是(－1)6·37－6C 67＝21.答案：219．已知函数f(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n(n≥3)． (1)求展开式中x 2的系数； (2)求展开式中系数之和．解：(1)展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1＝＋－3×2×1＝＋－6.(2)展开式中的系数之和为 f(1)＝2＋22＋23＋ (2)＝－2n1－2＝2n ＋1－2.10．(2018·淮安高三调研)设n≥3，n ∈N *，在集合{1,2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a ，较小元素之和记为b.(1)当n ＝3时，求a ，b 的值；(2)求证：对任意的n≥3，n ∈N *，b a为定值．解：(1)当n ＝3时，集合{1,2,3}的所有元素个数为2的子集为{1,2}，{1,3}，{2,3}，所以a ＝2＋3＋3＝8，b ＝1＋1＋2＝4.(2)证明：当n≥3，n ∈N *时，依题意， b ＝1×C 1n －1＋2×C 1n －2＋3×C 1n －3＋…＋(n －2)×C 1n －－＋(n －1)×C 1n －－，a ＝2×C 11＋3×C 12＋4×C 13＋…＋(n －1)×C 1n －2＋n×C 1n －1 ＝2×1＋3×2＋4×3＋…＋(n －1)×(n－2)＋n×(n－1)．则a 2＝C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1， 所以a ＝2C 3n ＋1.又a ＋b ＝(1＋2＋3＋…＋n)×C 1n －1＝＋2×(n－1)＝3C 3n ＋1，所以b ＝C 3n ＋1.从而b a ＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知(x ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有x 2项，n ∈N *，且5≤n≤8，则n ＝________.解析：因为(x ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n ＝(x 2＋2x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n ，则当第1个括号取x 2时，第2个括号不能有常数项，而当n ＝8时，展开式中含有常数项C 28；当第1个括号取2x 时，第2个括号不能含有x 项，而当n ＝5时，展开式中含有x 项C 15x ；当第1个括号取1时，第2个括号不能含有x 2项，而当n ＝6时，展开式中含有x 2项C 16x 2.由上可知n ＝7.答案：72．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r， 令6－2r ＝0，得r ＝3，则T 4＝C 36·(－1)3＝－C 36； 令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)；令6－2r ＝－2，得r ＝4，则T 5＝C 46(－1)4x －2， 所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为 1×(－C 36)＋C 46＝－20＋15＝－5. 答案：－53．在集合A ＝{1,2,3,4，…，2n}中，任取m(m≤2n，m ，n ∈N *)个元素构成集合A m .若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m 为A 的偶子集，其个数记为f(m)；若A m 的所有元素之和为奇数，则称A m 为A 的奇子集，其个数记为g(m)．令F(m)＝f(m)－g(m)．(1)当n ＝2时，求F(1)，F(2)，F(3)的值； (2)求F(m)．解：(1)当n ＝2时，集合A ＝{1,2,3,4}， 当m ＝1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f(1)＝2，g(1)＝2，F(1)＝0；当m ＝2时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，f(2)＝2，g(2)＝4，F(2)＝－2；当m ＝3时，偶子集有{1,2,3}，{1,3,4}，奇子集有{1,2,4}，{2,3,4}，f(3)＝2，g(3)＝2，F(3)＝0.(2)当m 为奇数时，偶子集的个数f(m)＝C 0n C mn ＋C 2n C m －2n ＋C 4n C m －4n ＋…＋C m －1n C 1n ， 奇子集的个数g(m)＝C 1n C m －1n ＋C 3n C m －3n ＋…＋C m n C 0n ， 所以f(m)＝g(m)，F(m)＝f(m)－g(m)＝0. 当m 为偶数时，偶子集的个数f(m)＝C 0n C mn ＋C 2n C m －2n ＋C 4n C m －4n ＋…＋C m n C 0n ， 奇子集的个数g(m)＝C 1n C m －1n ＋C 3n C m －3n ＋…＋C m －1n C 1n ，所以F(m)＝f(m)－g(m)＝C 0n C mn －C 1n C m －1n ＋C 2n C m －2n －C 3n C m －3n ＋…－C m －1n C 1n ＋C m n C 0n .一方面，(1＋x)n(1－x)n＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n)·[C 0n －C 1n x ＋C 2n x 2－…＋(－1)n C n n x n]， 所以(1＋x)n(1－x)n中x m的系数为C 0n C mn －C 1n C m －1n ＋C 2n C m －2n －C 3n C m －3n ＋…－C m －1n C 1n ＋C m n C 0n ； 另一方面，(1＋x)n(1－x)n＝(1－x 2)n，(1－x 2)n中x m的系数为(－1)2m C 2n n ，故F(m)＝(－1)2m C 2n n综上，F(m)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2m C 2nn ，m 为偶数，0，m 为奇数.。

剩余的 2 个因式中 1 个选 y ，
剩余最后 1 个x y 2中选 2，
转化思想 计数原理
即 C53x3C21 ( y)2 40x3 y2 .
计数原理
考点一 展开式中的通项问题
角度3 三项展开式问题 跟踪训练：
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.
方法1： (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.
＝（1－x）5[1－（1－x）4]＝（1－x）5－（1－x）9
1－（1－x）
x
(1－x)5 中 x4 的系数为 C45＝5，(1－x)9 中 x4 的系数为 C49＝126.
考点一 展开式中的通项问题
角度2 两个二项式之积
例2
(2023·湖南名校大联考)
x3
2
2x
1 x2
6
的展开式中的常数项为
Tr＋1＝Cr6y6－r
－2 x2
r＝(－2)rCr6y6－rx－2r，
可知 r＝4 时，系数最大(－2)4C46＝240，对应项为 240x－8y2.
归纳总结，形成结构
展开式的通项
公4式.解法决、这分些类问题思的想、 计数方原法理有、哪赋些？值法
求特定项
2.复二习项了式哪系些数概、念、 公项式的、系性数质？
.
方法提炼
赋值法是解 决此类问题 的基本方法.
考点二 二项式系数的和与各项系数和问题
拓展训练：
1.若 1 x 10 a0 a1x a2x2 则 a10x10, a1 2a2 10a10

二项式定理1. 求()x x2912-展开式的： （1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）x 9的系数。

分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C 95126=；（2）T C x xx 39227212129=⋅⋅-=()()，故第3项的系数为9； （3）T C x x C x r rrr r r r +--=⋅⋅-=-⋅192991831212()()()，令1839-=r ，故r ＝3，所求系数是()-=-12212393C 2. 求证：51151-能被7整除。

分析：5114921494924922151515105151150515150515151-=+-=+⋅++⋅+-()C C C C ，除C 51515121-以外各项都能被7整除。

又C C C C C 5151513171717017171161716171721217117771⋅-=-=+-=++++-()()显然能被7整除，所以51151-能被7整除。

3. 求9192除以100的余数。

分析：919019090909292920929219192919292=+=++++()C C C C由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 929192929082818210081+==⨯+ 故9192除以100的余数为81。

4.（2009北京卷文）若4(1,a a b +=+为有理数），则a b +=A ．33B ． 29C ．23D ．19 【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵(4123401234444441C C C C C +=++++112417=++=+由已知，得17a +=+171229a b +=+=.故选B .5.（2009北京卷理）若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （ ）A ．45B ．55C ．70D ．80 【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵(5123450123455555551CCC CCC+=+++++1202041=+++=+由已知，得41a +=+，∴412970a b +=+=.故选C . 6. 已知()x xn -124的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。