2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析
1、（2018年高考数学全国卷I理科22）
（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．
故：，解得：k=或0，（0舍去）
故C1的方程为：．
2、（2018年高考数学全国卷II理科22）
（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线
l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：．
直线l的参数方程为（t为参数）．
转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则：，
由于（1，2）为中点坐标，
所以：，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．
3、（2018年高考数学全国卷III理科22）
（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），
∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；
当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=ta nα•x+，
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，
∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，
∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，
∴或，
综上α的取值范围是（，）．
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），
设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），
联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，
，
=﹣+2，
=，=﹣，
∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．
4、（2018年高考数学天津卷理科12）
（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交
于A，B两点，则△ABC的面积为．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；
直线化为普通方程是x+y﹣2=0，
则圆心C到该直线的距离为d==，
弦长|AB|=2=2=2×=，
∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．
5、（2018年高考数学北京卷理科10）
（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．【解答】解：圆ρ=2cosθ，
转化成：ρ2=2ρcosθ，
进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，
把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．
由于直线和圆相切，
所以：利用圆心到直线的距离等于半径．
则：=1，
解得：a=1±．a＞0则负值舍去．
故：a=1+．
6、（2018年高考数学江苏卷理科23）
在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，
∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．
∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，
∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．
圆心C到直线l的距离为d=，
∴直线l被曲线C截得的弦长为2．
6、（2018年高考数学全国卷I文科22）
（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．
故：，
解得：k=或0，（0舍去）
故C1的方程为：．
7、（2018年高考数学全国卷II文科22）
（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：．
直线l的参数方程为（t为参数）．
转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则：，
由于（1，2）为中点坐标，
所以：，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，
即：直线l的斜率为﹣2．
