2019届江苏高三数学一轮复习讲义+课时作业第四章三角函数第19讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试要求 1.同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α(B级要求)；2.π2±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式(B 级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修4P23习题11改编)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________.解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案 33.(2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15. 答案 154.(2018·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________.解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29， ∴sin θ－cos θ＝23或－23.又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.答案 －235.(2017·泰兴中学检测)已知3sin α＋4cos α＝5，则tan α＝________. 解析 由3sin α＋4cos α＝5，两边平方得9sin 2α＋24sin αcos α＋16cos 2α＝25， 即9sin 2α＋24sin αcos α＋16cos 2α＝25(sin 2α＋cos 2α)， 从而16sin 2α－24sin αcos α＋9cos 2α＝0. 故(4sin α－3cos α)2＝0， 所以4sin α＝3cos α， 故tan α＝34. 答案 34知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式考点一同角三角函数基本关系式及其应用【例1】(1)(教材改编)已知cos θ＝35，且3π2<θ<2π，那么tan θ的值为________.(2)(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________.解析(1)因为θ为第四象限角，所以tanθ<0，sin θ<0，sin θ＝－1－cos2θ＝－45，所以tanθ＝sin θcos θ＝－43.(2)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝3 2.答案(1)－43(2)32规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)(2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋2sin αcos α＝________.(2)(2018·苏州模拟)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析(1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－1 3，1cos2α＋2sin αcos α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sin αcos α＝1＋tan2α1＋2tan α＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103.(2)由sin θ－2cos θ＝－25及sin2θ＋cos2θ＝1得：(2cos θ－25)2＋cos2θ＝1⇒5cos2θ－85cosθ－2125＝0⇒cosθ＝35或cosθ＝－725，因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sinθ＝－2425，∴sinθ＋cos θ＝－31 25.答案(1)103(2)－3125考点二诱导公式的应用【例2】(1)(2018·连云港模拟)计算：sin 116π＋cos103π＝________.(2)(2017·宿迁模拟)已知f(x)＝sin()2π－x·cos⎝⎛⎭⎪⎫32π＋xcos（3π－x）·sin⎝⎛⎭⎪⎫112π－x，则f(－21π4)＝________.解析(1)∵sin 116π＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π＋56π＝－sin5π6＝－12，cos 103π＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＝cos4π3＝－12，∴sin 116π＋cos103π＝－1.(2)f (x )＝－sin x ·sin x－cos x ·（－cos x ）＝－tan 2 x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21π4＝－tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－21π4＝－tan 234π＝－1. 答案 (1)－1 (2)－1规律方法 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【训练2】 (1)(2018·扬州中学开学考试)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1，2)，则cos(π－α)的值是________.(2)(2017·南通一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2(π3－x )的值是________.解析 (1)由已知及三角函数定义可得cos α＝55， 由cos(π－α)＝－cos α得cos(π－α)＝－55. (2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59. 答案 (1)－55 (2)59考点三 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 (1)(2018·泰兴模拟)设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值为________；(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 (1)由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. 答案 (1)m ＋1m －1(2)－223 规律方法 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响，注意常见互余与互补的角：①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等. ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等.【训练3】 (1)(2017·南通调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. (2)(教材改编)化简：tan （3π－α）sin （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos （2π＋α）＝________.解析 (1)由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(2)因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α. 所以原式＝－tan αsin α（－cos α）＋－sin α（－sin α）－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 答案 (1)0 (2)1一、必做题1.(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝________. 解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513， 故tan α＝sin αcos α＝－125. 答案 －1252.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝________.解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15， ∴sin α＝－55. 答案 －553.(必修4P19例1改编)sin(－585°)的值为________.解析 sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225° ＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22. 答案 224.(教材改编)已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________.解析 原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案 125.(2017·泰州模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________.解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 答案 26.(2017·如东中学期中)若sin α＝2cos α，则sin 2α＋2cos 2α的值为________. 解析 由sin α＝2cos α得tan α＝2，因此sin 2α＋2cos 2α＝sin 2α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan 2α＋1＝4＋24＋1＝65.答案 657.若f (cos x )＝cos 3x ，那么f (sin 30°)的值为________.解析 因为sin 30°＝sin(90°－60°)＝cos 60°，所以f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos(3×60°)＝cos 180°＝－1. 答案 －18.(2018·扬州中学质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案 －139.(1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)； (2)求值： 设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6的值. 解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.10.(2016·淮阴中学期中)已知tan α是关于x 的方程2x 2－x －1＝0的一个实根，且α是第三象限角. (1)求2sin α－cos αsin α＋cos α的值；(2)求cos α＋sin α的值.解 ∵2x 2－x －1＝0，∴x 1＝－12，x 2＝1，∴tan α＝－12或tan α＝1，又α是第三象限角，所以tan α＝1. (1)2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×1－11＋1＝12.(2)∵⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝1，sin 2α＋cos 2α＝1且α是第三象限角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－22，cos α＝－22，∴sin α＋cos α＝－ 2. 二、选做题11.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 019)的值为________.解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3， ∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝－3. 答案 －312.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________. 解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m 4. 又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 1－ 5。