浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)【名校笔记+课后习题+考研真题】第1章 概率论的基本概念【圣才
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第1章概率论的基本概念
1.1复习笔记
一、随机事件
1．事件间的关系（见表1-1-1）
表1-1-1事件间的关系
2．事件的运算
设A，B，C为事件，则有：
（1）交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；
（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；
（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩
C）；
（4）德摩根律：ABAB；ABAB。
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二、频率与概率
概率的性质
（1）若A⊂B，则
P（B－A）＝P（B）－P（A）与P（B）≥P（A）
（2）（逆事件的概率）P（＿A）＝1－P（A）；
（3）（加法公式）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
推广：对于任意n个事件A1，A2，…，An，
1
1212
111
()()()()(1)()
n
n
niijijkn
iijnijkn
PAAAPAPAAPAAAPAAA
UULULL
三、等可能概型（古典概型）
计算公式
1
()({})
j
k
i
j
kA
PAPe
nS
包含的基本事件数
中基本事件的总数
四、条件概率
1．乘法定理
（1）乘法公式：若P（A）＞0，则P（AB）＝P（B|A）P（A）。
（2）若P（A1A2…An－1）＞0，则有
121211122211
()(|)(|)(|)()
nnnnn
PAAAPAAAAPAAAAPAAPA
LLLL
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2．全概率公式和贝叶斯公式
（1）全概率公式
P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|Bn）P（Bn）
（2）贝叶斯公式
1
(|)()
(|),1,2,,
(|)()
ii
i
n
jj
j
PABPB
PBAin
PABPB
L
注：全概率公式和贝叶斯公式的最简单形式
()(|)()(|)()PAPABPBPABPB
()(|)()
(|)
()
(|)()(|)()
PABPABPB
PBA
PA
PABPBPABPB
五、独立性
1．两个事件独立
（1）P（AB）＝P（A）P（B）
（2）两个定理
①若P（A）＞0，A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B），反之同样。
②若事件A与B独立，则A与＿B独立，＿A与B独立，
＿A与＿
B独立。
2．三个事件独立
设A，B，C是三个事件，如果满足等式
()()()
()()()
()()()
PABPAPB
PBCPBPC
PACPAPC
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则称A，B，C两两独立，若()()()()PABCPAPBPC也成立，则A，B，C相互独
立。
3．n个事件独立
设A1，A2，…，An是n（n≥2）个事件，∀1≤i＜j＜k＜…≤n，
1212
......
......
ijij
ijkijk
nn
PAAPAPA
PAAAPAPAPA
PAAAPAPAPA
则A1，A2，…，An相互独立
1.2课后习题详解
1．写出下列随机试验的样本空间S：
（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如
连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验
的样本空间为
S＝{i/n|i＝0，1，2，…，100n}
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（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为
S＝{10＋k|k＝0，1，2，…}
或写成S＝{10，11，12，…}。
（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次
与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为
S＝{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，1110，1111}
（4）取一直角坐标系，则有S＝{（x，y）|x2＋y2＜1}，若取极坐标系，则有
S＝{（ρ，θ）|ρ＜1，0≤θ＜2π}
2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：
（1）A发生，B与C不发生；
（2）A与B都发生，而C不发生；
（3）A，B，C中至少有一个发生；
（4）A，B，C都发生；
（5）A，B，C都不发生；
（6）A，B，C中不多于一个发生；
（7）A，B，C中不多于两个发生；
（8）A，B，C中至少有两个发生。
解：以下分别用Di（i＝1，2，…，8）表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件，一
个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为
＿
A发生。
（1）A发生，B与C不发生，表示A，＿B，＿C同时发生，故D1＝A＿B＿C或写成D1＝A－B
－C；
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（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，＿C同时发生，故D2＝AB＿C或写成D2＝
AB－C；
（3）①方法1由和事件的含义知，事件A∪B∪C即表示A，B，C中至少有一个发
生，故D3＝A∪B∪C；
②方法2事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事
件，因此，
3
DABC
；
③方法3事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有
两个发生或三个事件都发生，因此，D3又可写成
D3＝A
＿B＿C∪＿AB＿C∪＿A＿BC∪AB＿C∪A＿BC∪＿
ABC∪ABC
（4）D4＝ABC；
（5）D5＝
＿A＿B＿
C；
（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个
发生，因此，D6＝
＿A＿B＿C∪A＿B＿C∪＿AB＿C∪＿A＿
BC；
又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即
＿A＿B，＿B＿
C，
＿A＿C中至少有一个发生，因此又有D6＝＿A＿B∪＿B＿C∪＿C＿
A；
又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立
事件，而事件G可写成G＝AB∪BC∪CA，因此又可将D6写成
6
DABBCCAABBCCA
（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个
发生或A，B，C中恰有两个发生，因此
D7＝
＿A＿B＿C∪A＿B＿C∪＿AB＿C∪＿A＿BC∪AB＿C∪A＿BC∪＿
ABC
又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即
＿A，＿B，＿
C中
