证明数列是等差或等比数列的方法

专题28高中数学等差等比数列证明专题训练【方法总结】1．等差数列的四个判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．2．等比数列的四个判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．【高考真题】1．(2022·全国甲理文) 记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n＋n ＝2a n ＋1． (1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．【题型突破】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26．(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }为等差数列． 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．3．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 4．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3n ＋1＋3(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n 3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝a n n －a n 3n ，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，求T n ． 7．(2021·全国乙)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n＝2． (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．8．(2014·全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．10．若数列{b n }对于任意的n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．如数列c n ，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n ．(1)求证：{a n }是准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20．11．已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n － 1．(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式． 14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列．15．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，设b n ＝a 2n －1． (1)求b 2，b 3，并证明b n ＋1＝2b n ＋2；(2)①证明：数列{b n ＋2}为等比数列；②若a 2k ，a 2k ＋1,9＋a 2k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．16．(2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4．(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式．17．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n． (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数．(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n项和为T n ，且满足12n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ； (2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．20．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数)．(1)试探究数列{a n＋λ}是不是等比数列，并求a n；(2)当λ＝1时，求数列{n(a n＋λ)}的前n项和T n．。

证明等比数列的方法
等比数列证明使用定义法，等比中项法，数学归纳法，和反证法四种都可以。

根据已知条件不同，可以选择不同的证明方法。

方法/步骤
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方法1：（定义法）若后项a(n+1)与前项a(n)之比为定值q，则数列是等比数列；
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方法2：（等比中项法）若前后三项关系满足：a(n)²=a(n-1)*a(n+1)，则数列是等比数列；
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方法3：（通项公式法）若数列通项公式类似于指数函数a(n)=m*q^(n)，则数列是等比数列；
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方法4：（前n项和特征法）若数列前n项和类似于函数S(n)=-A+A*q^(n)，则数列是等比数列；
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END
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注意事项
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1)我们把q
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2)S是表示无穷等比数列的所有项的.和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和
Sn当n→∞的极限，即S=a/(1-q)
•。

等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。

换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。

1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。

在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。

数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。

等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。

等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。

等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。

在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。

通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。

1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。

我们来看等比数列的负项。

如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。

这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。

等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。

等比数列的任意项也具有一定的性质。

假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。

这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。

等比数列的等比中项也有着特殊的性质。

等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。

这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。

等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。

是等差数列
是等比数列
1、定义：
1、
2、通项：
2、
3、公差：
3、公比：
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则பைடு நூலகம்
称为 与 的等差中项
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则
称为 与 的等比中项
5、
5、
6、 是公差为md的等差数列
6、 是公比为 的等比数列
7、 是公差为 的等差数列
7、 是公比为 的等比数列
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，d为常数
2、通项法： ，k、b为常数
3、前n项和法： ，A,B常数
4、等差中项法：
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，q为常数
2、通项法： ，c、q为常数
3前n项和法： ，k,q常数
4、等差中项法：
9、 是等差数列， 、 是等差数列
9、 是等比数列， 、 、 、 、是等比数列
10、若 ，则用累加法求
10、若 ，则用累乘法求
11、若 、 是等差数列， ，求 用裂项相消法
11、若 是等比数列、 是等差数列， 或 ，求 用错位相减法
一、求 的方法：1、公式法；2、观察归纳法；3、累加法、累乘法；4、特征方程法
二、求 的方法：1、裂项相消法；2、错位相减法；3、倒序相加法；4、分组求和法