行星运动、万有引力定律·典型例题精析
[例题1]如图6－1所示，在与一质量为M，半径为R，密度均匀的球体距离为R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1．当从球M 中挖去一个半径为R/2的小球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，则F1与F2的比是多少？
[思路点拨] F1为一个匀质实心球对质点的万有引力，可用万有引力定律的公式直接求得，其中r为匀质球球心到质点的距离．F2是一个不规则物体对质点的万有引力，但由于挖去部分为一匀质实心球，所以可先计算挖去部分对质点的万有引力，然后根据力的叠加原理用F1减去挖去部分的万有引力即可得F2．
实球M的引力F1可看成两个力的叠加：剩下的部分对m的引力F2与半径为R/2的小球对m的引力F′2的和，即F1＝F2＋F′2．
因为半径R/2的小球体的质量
[小结]万有引力定律的表达式适用于计算两质点之间的引力，若两物体不能看成质点时，应把物体进行分割，使每一小块的线度都小于两者间的距离，然后用叠加的方法求出引力的合力．需要说明的是对于两个均匀的球体来说，不管它们相距远近，万有引力定律的表达式都适用，表达式中的r 是指两个球心间的距离．
的．这是因为对形状不规则物体当物体间距离较近时不可视为质点．[例题2] 月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的
1/3.8．如果分别在地球上和月球上都用同一初速度竖直向上抛出一个物体(阻力不计)，求：
(1)两者上升高度的比；
(2)两者从抛出到落地时间的比．
[思路点拨] 由于地球和月球的质量和半径的不同，而造成地球和月球表面的重力加速度的不同．因此应首先算出月球表面上的重力加速度，然后再根据运动学的公式计算．
[解题过程]设质量为m的物体在月球上的重力加速度为g′，则有
物体在地球上的重力加速度为g，则有
(1)÷(2)得
设在地球上上抛的高度为h，在月球上上抛的高度为h′．根据运动学公式可得
设在地球上抛出到落地需要的时间为t，在月球上所需的时间为
t′．根据运动学公式可得
[小结]由于万有引力的作用，星球表面上的物体都要受到星球对物体的引力，当物体随星球转动所需要的向心力比万有引力小得多的时候，
球半径的平方成反比
