第３３卷第１期２０１９年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３３N o ．１J a n ．２０１９收稿日期:２０１８Ｇ１０Ｇ２２作者简介:冯宇星(１９９４Ｇ),女,山西沁县人,在读硕士,研究方向:生物数学．E Ｇm a i l :１１４２３２２２０７＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０１９)０１Ｇ００１５Ｇ０５捕食者无密度制约的H o l l i n g Ⅲ型捕食系统的定性分析冯宇星(兰州交通大学数学系,甘肃兰州７３００７０)摘要:研究食饵种群具有L o g i s t i c 型密度制约但捕食者种群无密度制约的H o l i n g Ⅲ型捕食系统,利用等倾线的基本性质,分析了正平衡点的存在性,通过构造L y a p u n o v 函数给出了系统的全局渐近稳定性的充分条件,采用B e n d i x s o n 环域定理和张芷芬极限环唯一性定理,证明了该系统在某一特定的条件下存在唯一稳定的极限环,最后利用M a t l a b 通过数值模拟验证了理论分析的合理性．关键词:H o l l i n g Ⅲ型捕食系统;全局渐近稳定性;极限环;M a t l a b 中图分类号:O １７５．２６㊀㊀㊀文献标志码:A0㊀引言捕食Ｇ食饵在生态学中具有非常重要的意义,近年来倍受生物数学界的关注．１９５９年,数学家H o l l i n g 在实验的基础上,对不同类的物种提出了两种不同的功能反应函数,即H o l l i n g Ⅰ和H o l l i n g Ⅱ．相对于前两种H o l l i n g 型功能性反应函数,H o l l i n g Ⅲ型反应函数能更加准确地反映消耗率在不同资源密度下的变化情况,目前对前两种的研究比较多见[１Ｇ３],对于第三种功能反应函数模型的研究相对较少．文献[４]讨论了具有H o l l i n g Ⅰ型捕食系统平衡点的局部稳定性和全局稳定性,文献[５]讨论了具有H o l l i n g Ⅱ型捕食系统平衡点的全局稳定性和极限环的存在性．在此基础上,本文考虑一类捕食者无密度制约的H o l i n g Ⅲ型捕食系统,主要分析正平衡点的全局浙近稳定性,以及极限环的存在唯一性．1㊀模型的建立为了研究食饵在群体防御状态下捕食者与食饵之间的相,W o l k o w i c z [６]首次提出了食饵内部受密度制约β(x ,k )的捕食系统:d x d t＝x β(x ,k )－y m (x ),d y dt ＝y [－d ＋n (x )],ìîíïïïï(１)其中:x ㊁y 分别表示食饵与捕食者的种群密度;k 表示食饵的环境容纳量;d 是捕食者的死亡率．函数β(x ,k )表示食饵的相对增长率,函数m (x )㊁n (x )分别是捕食者的响应函数和食饵向捕食者的转化率,且一般情况下m (x )＝c n (x ),c 是转化系数,通常假设m (x )在[０,＋ɕ)上连续可微且满足m (０)＝０,m ᶄ(x )＞０,l i m x ң＋ɕm (x )＜＋ɕ．文献[６]研究了系统(１)极限环的存在性和奇异分支产生的条件,但并没有考虑到极限环的唯一性以及正平衡点的全局稳定性．现在将系统(１)具体化,取β(x ,k )为L o g i s t i c 型函数,β(x ,k )＝r １－x k æèçöø÷;取m (x )为H o l l i n g Ⅲ型功能反应函数,m (x )＝x ２１＋λx ２．研究系统如下:d x d t ＝r x １－x k æèçöø÷－x ２y １＋λx ２,d y dt ＝y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷．ìîíïïïï(２)根据生物意义,以上参数和函数均非负且系统仅在如下区域:R ２＋＝{(x ,y )|x ȡ０,y ȡ０}．2㊀平衡点的定性分析本节对系统(２)的平衡点进行定性分析,把系统(２)化成下面的形式:d x d t ＝x r １－x k æèçöø÷－x y １＋λx ２éëêêùûúúʒ＝㊀㊀M (x ,y ),d y d t ＝y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷ʒ＝N (x ,y )．ìîíïïïïïï(３)注意到M (x ,y )在x ＝０处不连续,但容易判断x ＝０是它的可去间断点,因此补充定义:当xң０时,y ң＋ɕ．这样系统(３)就等价于系统(２),系统(３)的平衡点应满足x r １－x k æèçöø÷－x y １＋λx ２éëêêùûúú＝０,y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷＝０．ìîíïïïï(４)显然x ＝０,y ＝０,即O (０,０)是系统(３)的平衡点．下面利用等倾线的性质讨论系统(３)的非零平衡点．(i)食饵等倾线h １:y ＝r １－x k æèçöø÷(１＋λx ２)x．注意到,当x ң０时,y ң＋ɕ;当y ＝０时,x ＝k ．因此曲线h １在(０,k ]上是连续的．(i i)捕食者等倾线h ２:－d ＋c x ２１＋λx ２＝０．易知当c －d λ＞０时,x ＝dc －d λ＞０．根据等倾线h １和h ２的性质以及(４)知,系统(２)有平衡点M ０(k ,０)．当条件(H １):k ＞dc －d λ＞０成立时,等倾线h １和h ２相交于第一象限一点M １(x １,y １),其中０＜x １＜k ,y １＞０．定理１㊀若系统(２)满足条件(H １),则有(i )平衡点O (０,０)和M ０(k ,０)是系统(２)的鞍点,不稳定;(i i )若条件(H ２):r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２１)２＜０成立,则M １(x １,y １)是系统(２)稳定的结点或焦点;(i i i )条件(H ３):r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２１)２＞０成立,则M １(x １,y １)是系统(２)不稳定的结点或焦点．证明㊀系统(２)在平衡点(x ∗,y ∗)处的雅可比矩阵为J (x ∗,y ∗)＝r －２k x ∗－２x ∗y ∗(１＋λx ∗２)２－x ∗２１＋λx ∗２２c x ∗y ∗(１＋λx ∗２)２－d ＋c x∗２１＋λx ∗２æèççççöø÷÷÷÷,由(４)和条件(H １)可得d e t J (０,０)＝－d r ＜０,d e t J (k ,０)＝－r －d ＋c k ２１＋λk ２æèçöø÷＜０,故平衡点O (０,０)和M ０(k ,０)是系统(２)的鞍点,不稳定．再计算出J (x ∗,y ∗)在正平衡点M １(x １,y １)处的行列式和迹:d e t J (x １,y １)＝２c x ３１y １(１＋λx ２１)３,t r J (x １,y １)＝r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２)２１．易知d e t J (x １,y １)＞０,故当满足条件(H ２)和(H ３)时结论成立．3㊀正平衡点的全局稳定性为了研究系统(２)正平衡点的全局渐近稳定性和极限环的存在唯一性,本文作如下变换:x ＝x １e u,y ＝y １e u,d t ＝１＋λx ２x ２d τ．仍用t 来表示τ,则可把系统(２)化为广义的L i e n a r d 系统:d u d t ＝－F (u )－φ(v ),d v dt ＝g (u )．ìîíïïïï(５)其中F (u )＝r [１＋λ(x １e u )２](k －x １eu)x １e uk,φ(v )＝y １e v,g (u )＝－d x １eu ＋c －λd x １e u．该变换把M １(x １,y １)变为uv 平面的原点O ᶄ(０,０)且６１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷Ω＝{(u ,v )|－ɕ＜u ＜＋ɕ,－ɕ＜v ＜＋ɕ}．定理２㊀若系统(５)在Ω上有定义且满足条件(H ２),当u ʂ０时,g (u )F (u )＞０,则系统(２)的正平衡点M １(x １,y １)全局渐近稳定．证明㊀根据文献[７]中的定理３．９,容易验证系统(５)不存在全部位于Ω中的闭轨线,构造L y a pu n o v 函数,V (u ,v )＝ʏu０g (u )d u ＋ʏv０φ(v )d v ．注意到φ(v )＞０,ʏu o g (u )d u ȡ０,因此V (u ,v )在Ω中正定及有无穷大下界且d V (u ,v )d t＝g (u )[－F (u )－φ(v )]＋φ(v )g (u )＝－g (u )F (u )ɤ０．集合{(u ,v )|g (u )F (u )＝０}中不包括系统(５)的非平凡正半轨线,因此O ᶄ(０,０)全局渐近稳定,从而系统(２)的正平衡点M １(x １,y １)全局渐近稳定．4㊀极限环的存在唯一性定理３㊀若条件(H ３)且条件(H ４):c ＞d k ,c r (c －λd ＋λk －d k )＋kr λd (d －λ)＜０成立,则系统(２)在第一象限存在唯一稳定的极限环．证明㊀先证极限环的存在性．作直线l １ʒx ＝k ,l ２ʒy ＝r １＋d λc －d k éëêêùûúú．系统(２)在第一象限内沿l １,l ２分别有d l １d tl １＝－k ２y １＋λk ２＜０,d l ２d tl ２＝r １＋d λc －d k éëêêùûúú－d ＋c x ２１＋λx ２éëêêùûúú＜[d ２λr (k －r )＋rc (c －kd )]x ２(c －d k )(１＋λx ２)．当条件(H ４)成立时有d l ２d t l ２＜０,则l １,l ２是系统(２)的无切直线．当轨线与l １相遇时,均从直线l １的右方穿入左方;当轨线与l ２相遇时,均从直线l ２的上方穿入下方,显然直线x ＝０,y ＝０是系统(２)的轨线,这样直线l １,l ２,x 轴,y 轴围成了环域D ,系统(２)的轨线都从环域边界∂D 穿入D ．当条件(H ３)成立时,M １(x １,y １)在D 内不稳定,由B e n d i x s o n 环域定理[８]可知系统(２)在D 内至少存在M １(x １,y １)的一个极限环．再证极限环的唯一性．在系统(５)中令F (u )＝ʏu０f (ξ)d ξ,则f (u )ʒ＝F ᶄ(u )＝r (k r x ２１e ２u －２λx ３１e ３u－k )k x １e u．下面利用张芷芬定理[８]验证L i e n a r d 系统极限环唯一性的条件:(１)当v ʂ０时,v φ(v )＞０;φ(＋ɕ)＝＋ɕ,φ(－ɕ)＝０;φ(v )ɪC (－ɕ,＋ɕ)单调递增且满足L i p s c h i t z 条件;φᶄ(０)＝m y １ʂ０．(２)当u ʂ０时,u g (u )＝u x １e uc m －d １－e －a x １e u æèçöø÷＞０,g (u )ɪC (－ɕ,＋ɕ)且满足L i p s c h i t z 条件;取G (u )＝ʏu０g (ξ)d ξ,则G (ʃɕ)＝＋ɕ;f (u )ɪC (－ɕ,＋ɕ)且满足L i ps c h i t z 条件．(３)令F (u )ʒ＝f (u )g (u)＝r (－k ＋r k x ２１e ２u －２λx ３１e ３u)k (c x １e u －d －λd x ２１e ２u )．记A (u )＝k (c x １e u －d －λd x ２１e ２u),B (u )＝r (－k ＋r k x ２１e ２u －２λx ３１e ３u)．则H ᶄ(u )＝A (u )B ᶄ(u )－A ᶄ(u )B (u )A ２(u )．因此要考虑H ᶄ(u )的符号,只需判断T (u )ʒ＝A (u )B ᶄ(u )－Aᶄ(u )B (u )的符号即可．结合条件(H ３)和(H ４),经过计算可知T (－ɕ)＝０,T ᶄ(u )ȡ０,从而T (u )ȡ０．因此H ᶄ(u )ȡ０,即f (u )/g (u )在(－ɕ,＋ɕ)内不下降且在u ＝０的邻域内部不恒为零．由张芷芬极限环唯一性定理的条件可知系统(５)存在唯一稳定的极限环,从而系统(２)在第一象限存在唯一稳定的极限环．７１第１期冯宇星:捕食者无密度制约的H o l l i n g Ⅲ型捕食系统的定性分析5㊀数值模拟下面用M a t l a b对系统(２)正平衡点的全局渐近稳定性进行数值模拟．取r＝０．６,k＝３,λ＝０ ７,d＝０．３,c＝０．８,且满足定理２,则M１(x１, y１)＝(０．６９,０．４６)．在平衡点附近任意取两个初值进行模拟,结果如图１所示．从图像可以看出,这些轨迹的极限点均为M１(x１,y１),因此M１(x１,y１)在第一象限全局渐近稳定．图１㊀当r＝０．６,k＝３,λ＝０．７,d＝０．３,c＝０．８时,系统(２)的相图,系统(２)的正平衡点(０．６９,０．４６)是全局渐近稳定的下面对系统(２)极限环的存在唯一性进行数值模拟．取r＝０．８,k＝４,λ＝０．３５,d＝０．１５,c＝０．７且满足定理３,则M１(x１,y１)＝(１．０９,０．９５)．在平衡点附近任意取两个初值进行模拟,结果如图２所示,从图像上可以看出极限环是唯一的．6㊀结束语本文对一类无密度制约且具有H o l i n gⅢ型的捕食系统进行了研究．首先利用等倾线的基本性质,分析了系统(３)正平衡点的存在性,同时采用定性理论得到了稳定性的条件;通过构造L y aＧp u n o v函数给出了系统的全局渐近稳定性的充分条件,采用B e n d i x s o n环域定理和张芷芬极限环唯一性定理,证明了该系统在定理３下存在唯一稳定的极限环,最后利用M a t l a b通过数值模拟验证了本文理论分析的合理性．图２㊀当r＝０．８,k＝４,λ＝０．３５,d＝０．１５,c＝０．７时,系统(２)的相图,系统(２)的正平衡点(０．０９,０．９５)是不稳定的,并在正平衡点周围产生了一个稳定的极限环参考文献:[１]刘南根．具H o l l i n g I型功能反应的食铒 捕食系统的极限环[J]．数学年刊:中文版,１９８８,９A(４):５４Ｇ６０．[２]苏华,戴斌祥．一类具有阶段结构的H o l l i n gⅡ型捕食系统的一致持久性[J]．经济数学,２００６,２３(３):２９３Ｇ２９６．[３]廖云洞,李波．一类离散的H o l l i n gＧI型捕食与被捕食系统的F l i p分岔[J]．数学理论与应用,２００９,２９(３):６２Ｇ６５．[４]王战伟,王彩霞．具R i c k e r增长率的H o l l i n gⅠ型捕食系统的性态分析[J]．高校应用数学学报,２００８,２３(２):１４０Ｇ１４４．[５]张丽．两类具有H o l l i n gⅡ型功能反应的捕食Ｇ被捕食系统的定性分析[D]．长沙:湖南大学,２００６．[６]WO L K OW I C Z G S K．B i f u r c a t i o n A n a l y s i s o fa P r e d a t o rＧP r e y S y s t e m I n v o l v i n g G r o u p D e f e n c e[J]．S i a mJ o u r n a l o n A p p l i e d M a t h e m a t i c s,１９８８,４８(３):５９２Ｇ６０６．[７]蔡燧林,钱祥征．常微分方程定性理论引论[M]．北京:高等教育出版社,１９９４．[８]马知恩,周义仓．常微分方程定性与稳定性方法[M]．北京:科学出版社,２００１．[责任编辑:赵慧霞] (下转第２５页)８１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷e a r s i z e Ｇs t r u c t u r e d p o p u l a t i o nd y n a m i c s [J ]．J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s a n dA p p l i c a t i o n s ,２００８,３４２(２):１３８８Ｇ１３９８．[５]雒志学,王绵森．具有年龄结构的线性周期种群动力系统的最优收获控制问题[J ]．数学物理学报,２００５,２５A (６):９０５Ｇ９１２．[６]赵春,王绵森,何泽荣,等．一类周期种群系统的适定性及最优控制[J ]．应用数学,２００４,１７(４):５５１Ｇ５５６．[７]孙宏雨,赵春．具有年龄结构两竞争种群系统的适定性和最优控制[J ]．应用数学学报,２０１０,３３(６):１０３７Ｇ１０４８．[８]何泽荣,刘荣,刘丽丽．周期环境中基于个体尺度的种群模型的最优收获策略[J ]．应用数学学报,２０１４,３７(１):１４５Ｇ１５９．[９]何泽荣,刘荣,刘丽丽．模拟周期环境和尺度结构的种群系统的最优收获率[J ]．数学物理学报,２０１４,３４(３):６８４Ｇ６９０．[１０]冯变英,李秋英．一类基于个体尺度的种群模型的适定性及最优不育控制策略[J ]．系统科学与数学,２０１６,３６(２):２７８Ｇ２８８．[责任编辑:赵慧霞]W e l l Ｇp o s e d n e s s o fC o m p e t i t i v eP o p u l a t i o nS ys t e m sw i t hS c a l e S t r u c t u r e i nP e r i o d i cE n v i r o n m e n tL I A N GL i Ｇy u ,HUY o n g Ｇl i a n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :I nt h i s p a p e r ,t h ew e l l Ｇp o s e d n e s so f c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o ns ys t e m w i t hs c a l es t r u c t u r e i n p e r i o d i c e n v i r o n m e n t i ss t u d i e d ．B y e s t a b l i s h i n g c o r r e s p o n d i n g h y p o t h e s e sa n da p p l y i n g th ek n o w l Ｇe d g e o fv o l t e r r a i n t e g r a l e q u a t i o na n do p e r a t o rs p e c t r a l r a d i u s ,t h eu n i q u e n e s so f t h ee x i s t e n c ea n d n o n Ｇn e g a t i v e o f t h es o l u t i o n so f c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o ns y s t e m sa r e p r o v e d ．F i n a l l y,t h e m o n o t o n i c r e s u l t s o f t h e s y s t e ms o l u t i o no nb i r t h r a t e a n dm o r t a l i t y ar e o b t a i n e d ．K e y wo r d s :p e r i o d i c e n v i r o n m e n t ;s c a l e s t r u c t u r e ;c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o n ;w e l l Ｇp o s e d n e s s (上接第１８页)Q u a l i t a t i v eA n a l y s i s o fH o l l i n g ⅢP r e d a t o r Ｇp r e y S y s t e m w i t h o u tD e n s i t yR e s t r i c t i o no nP r e d a t o r sF E N GY u Ｇx i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,w es t u d y t h e p r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e m o fH o l l i n g Ⅲw i t hl o g i s t i cd e n s i t y co n Ｇs t r a i n t s b u tw i t h o u t d e n s i t y c o n s t r a i n t so f p r e d a t o r p o p u l a t i o n ．B y u s i n g t h eb a s i c p r o p e r t i e so f i s o Ｇc l i n e ,w e a n a l y z e t h e e x i s t e n c e o f p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t s ．B y c o n s t r u c t i n g L y a pu n o v f u n c t i o n ,w e g i v e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m．B y u s i n g B e n d i x s o n s r i n g f i e l d t h e o r e ma n dZ h a n g Z h e n g f e n s l i m i t c y c l eu n i q u e n e s s t h e o r e m ,w e p r o v e t h a t t h e s y s t e m h a s a u n i q u e s t a b l e l i m i t c y c l e u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s ．F i n a l l y ,t h e r a t i o n a l i t y o f t h e t h e o r e t i c a l a n a l ys i s i n t h i s p a p e r i s v e r i f i e db y n u m e r i c a l s i m u l a t i o nu s i n g Ma t l ab ．K e y wo r d s :H o l l i n g Ⅲp r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e m ;g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y ;l i m i t c y c l e s ;M a t l a b ５２第１期梁丽宇:周期环境中具有尺度结构的竞争种群系统的适定性。
