陕西省中考数学试题研究类型1二次函数与特殊三角形判定练习
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陕西省中考数学试题研究类型1二次函数与特殊三角形判定练习
类型1 二次函数与特殊三角形判定
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx－3a(a>0)经过点A(－1，0)、C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第1题图
(1)解：∵二次函数y＝ax2＋bx－3a的图象经过点A(－1，0)、C(0，3)，
∴根据题意，得a－b－3a＝0－3a＝3，
解得a＝－1b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)证明：由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4得，点D的坐标为(1，4)，点B的坐标为(3，0)，
如解图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥DE于点F，
∵D(1，4)，B(3，0)，C(0，3)，
∴OC＝OB＝3，DE＝4，BE＝2，CF＝DF＝1，
∴CD2＝CF2＋DF2＝2，BC2＝OC2＋OB2＝18，BD2＝DE2＋BE2＝20，
∴CD2＋BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
第1题解图
(3)解：存在．
抛物线y＝－x2＋2x＋3对称轴为直线x＝1.
i)如解图，若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设点P1的坐标为(x，y)，根据勾股定理可得P1C2＝x2＋(3－y)2，P1D2＝(x－1)2＋(4－y)2，
∴x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2，
即y＝4－x.
又∵P1(x，y)在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，
∴4－x＝－x2＋2x＋3，
即x2－3x＋1＝0，
解得x1＝3＋52，x2＝3－52<1(舍去)，
∴x＝3＋52，
∴y＝4－x＝5－52，
即点P1的坐标为(3＋52，5－52)．
ii)如解图，若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，此时点P2的坐标为(2，3)．
∴符合条件的点P的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．
2. 如图，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.
(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
(2)以AC为斜边向上作等腰直角△ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
(3)若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出m的值．
第2题图
解：(1)∵抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过原点(0，0)，与x轴的另一个交点为(2，0)，
∴c＝04＋2b＋c＝0，
解得c＝0b＝－2，
∴抛物线C1的解析式为 y＝x2－2x，
则y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；
(2)∵将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为y＝(x－1－m)2－1，
∵抛物线C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，
∴A(m，0)、B(m＋2，0)、C(0，m2＋2m)，
设抛物线C2的对称轴与x轴的交点为点E，
如解图①，过点C作CH⊥DE于点H，
第2题解图①
∵△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴∠CDA＝90°，CD＝AD，
又∵∠CHD＝∠DEA＝90°，
∴∠CDH＋∠ADE＝∠ADE＋∠DAE，
∠HCD＋∠HDC＝∠HDC＋∠ADE，
∴∠CDH＝∠DAE, ∠HCD＝∠EDA，
∴△CHD≌△DEA，
∴HD＝ AE ＝1, DE＝ CH＝m＋1，
∴EH＝HD＋DE＝m＋2，
由OC＝HE得m2＋2m＝ m＋2，
解得m1＝1，m2＝－2(舍去)，
∴抛物线C2的解析式为y＝(x－1－1)2－1＝x2－4x＋3；
(3)m＝33.
【解法提示】如解图②，连接BC、BP，由抛物线的对称性可知AP＝BP，
第2题解图②
∵△PAC是等边三角形，
∴AP＝BP＝CP，∠APC＝60°，
∴C、A、B三点在以点P为圆心，PA长为半径的圆上，
∴∠CBO＝12∠CPA＝30°，
∴BC＝2OC，
由勾股定理得OB＝BC2－OC2＝3OC，
∴3()m2＋2m＝m＋2，
解得m1＝33，m2＝－2(舍去)．
∴m＝33.
