2.4函数的零点的教学设计

2.4函数的零点

【学情分析】

本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．

初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

【学习内容分析】

本节课是在学生学习了《一次函数和二次函数》的基础上，学习函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求函数零点的近似值》做准备．本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。

函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标。

由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，并且满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还体现了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

【课程目标】

一.知识与技能目标

通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，

二.过程与方法目标

体现从特殊到一般的认识规律,通过合作探究理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力,体现数型结合的思想。

三.情感、态度和价值观目标

在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神.

【教学重点和难点】

一.教学重点

1.了解函数零点的概念

2．准确掌握函数零点与相应方程的根的关系

3．了解函数零点的个数及存在性原理

二．教学难点

1．了解函数与方程的根关系的应用。

2．探究函数零点的个数及存在性原理

【教学方法】

以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】

一、课前延伸

1、知识链接，温故知新

求方程x 2－2x －3＝0的实数根，并画出函数y ＝x 2－2x －3的图象 通过学生熟悉一元二次方程入手，让学生建立数型结合的思想。观察函数图像与x 轴的交点与相应方程根的关系。

2、情景导引，体验概念

探究一元二次方程

)0(02>=++a c bx ax 的根与相应二次函数)0(2>++=a c bx ax y 图象与x 轴交点的关系？

说明：通过完成以上两个题目,让学生从具体到一般函数图像与x 轴交点与相应方程根的关系。这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫，使用方法是课前发下去，学生自己解答，上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。

3、自主学习，了解概念

自学课本第70页，通过二次函数

62--=x x y 的图像与x 轴的交点与相应方程根的关系了解函数的零点的概念。

4、收集问题，把握学情

通过预习，引导学生通过自学，找出那些问题已经掌握，那些问题还有疑惑，有待教师解答。教师通过收集学生的预习学案，批阅之后发

现学生存在的问题，以便准确的把握学情，作为课堂教学的重要依据。

二、课内探究

1、创设情境，导入新课

实际问题情境：在体育测试时，高一的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线

的最高处B 点的坐标为(6，5)

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)该男同学把铅球推出去多远？

说明：学生经过思考，得到结论：要求二次函数与x

轴的交点坐标，只要令y=0,解出相应方程的根即可。

2、 合作探究，形成概念

问题1：课本第70页，通过画二次函数

62--=x x y 的图像,了解当y=0,y>0,y<0相应x 的取值，初步了解函数零点的概念。

问题2：通过预习案中二次函数图像表格中，让学生说出对应二次函数零点。进一步了解零点概念。

小组合作探究,由学生回答做法，教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推广到一般函数零点的定义：一般的，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)=0,则 α叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图像与x 轴的公共点(α,0)点。

3、点拨指导，理解概念