高中数学线性规划题型总结模板.doc
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高考线性规划归类解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
2 x y 2
例 1、设变量 x 、 满足约束条件 x y 1 ，则 z 2 x 3 y
y
x y 1
的最大值为 。
解析：如图 1，画出可行域， 得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1
的交点 A(3,4) 处，目标函数 z 最大值为 18
点评 ：本题主要考查线性规划问题 , 由线性约束条件画出可
行域 , 然后求出目标函数的最大值 . ，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
x 1,
例 2、已知 x y 1 0, 则 x2 y2 的最小值是 .
2x y 2 0
解析 ：如图 2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2 y2 表示
可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知 A（ 1，2）是满足条
件的最优解。 x2 y 2 的最小值是为 5。
点评： 本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关
系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
x 0
例 3、在约束条件 y 0 下，当 3 s 5 时，目标函数 z 3x 2 y
y x s y 2x 4 的最大值的变化范围是（）
图 1
图 2
C
A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
解析：画出可行域如图 3 所示 , 当 3 s 4 时 , 目标函数 z 3x 2y 在 B(4 s,2 s 4) 处取
得最大值 , 即 zmax 3(4 s) 2(2s 4) s 4 [7,8) ; 当 4 s 5 时 , 目标函数 z 3x 2 y 在
点 E(0, 4) 处取得最大值 , 即 zmax 3 0 2 4 8 , 故 z [7,8] , 从而选 D;
点评 ：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数 Z 关于 S的函
数关系是求解的关键。
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例 4、已知双曲线 x2 y2 4 的两条渐近线与直线 x 3 围成一个三角形区域 , 表示该区域
的不等式组是（）
x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
(A) x y 0 (B) x y 0 (C) x y 0 (D) x y 0
0 x 3 0 x 3 0 x 3 0 x 3
解析：双曲线 x2 y2 4 的两条渐近线方程为 y x ，与直线 x 3 围成一个三角形区域
（如图 4 所示）时有 x y 0 。
x y 0
0 x 3 点评 ：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
1 x y 4
。若目标函数 z ax y （其中 a 0 ） 例 5 已知变量 x ， y 满足约束条件 2 x y 2
仅在点 (3,1) 处取得最大值，则 a 的取值范围为 。
解析： 如图 5 作出可行域， 由 z ax y y ax z 其表示为斜率为 a ，纵截距为ｚ的
平行直线系 , 要使目标函数 z ax y （其中 a 0 ）仅在点 (3,1) 处取得最大值。则直线
y ax z 过Ａ点且在直线 x y 4, x 3 （不含界线）之间。即 a 1 a 1. 则 a 的
取值范围为 (1, ) 。
点评： 本题通过作出可行域，在挖掘 a与z 的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直
线间的斜率变化关系， 建立满足题设条件的 a 的不等式组即可求解。 求解本题需要较强的基
本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
x y 2 0
例６在平面直角坐标系中，不等式组 x y 2 0 表示的平面区域的面积是（） (A) 4 2
y 0
(B)4 (C) 2 2 (D)2
x y 2 0
解析：如图６，作出可行域， 易知不等式组 x y 2 0 表示的平面区域是一个三角形。 容
y 0
易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２） ， B(2,0),C(-2,0). 于是三角形的面积为：
S 1 | BC | | AO | 1 4 2 4. 从而选Ｂ。
2 2
点评 ：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 七、研究线性规划中的整点最优解问题
5x 11y 22,
例 7、某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名， x 和 y 须满足约束条件 2x 3y 9, 则
2x 11.
z 10x 10 y 的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７， 作出可行域， 由 z 10 x 10 y y x z 1 z ，它表示为斜率为 ，纵截距为
10 10
的平行直线系 , 要使 z 10x 10y 最得最大值。当直线 11 9 z 取得最大 z 10x 10y 通过 A( , )
2 2
值。因为 x, y N ，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４） ，
Ｃ（４，４） ，经检验直线经过Ｂ点时， Zmax 90.
点评： 在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
