大陆和台湾高中数学教材统计习题难度比较许团（南充科技职业学院经济管理系637260）李秀萍（四川省简阳中学641400）覃淋（首都师范大学数学科学学院100048）教材是教师教授和学生学习的主要依据,其重要性不言而喻.近年来，中小学数学教材的比较研究已成为数学教育研究一个热点1.一般而言,数学教材由正文、例题和习题三部分有机组成.习题的编排在一定程度上能反映教材的特征和教材编写者对课程标准的理解和认识，因而对数学教材中习题的研究是教材研究的一个重要方面.目前中小学数学教材研究大都集中在代数、几何等方面，很少涉及统计;少数一些相关文献，也主要集中在概率，或是将统计和概率放在一起进行研究.现代社会是一个信息化的社会,大部分信息都以量化的形式进行传播，强调用数据说话，统计学正是收集和分析带随机性误差的数据的一门科学囚•随着新课程改革的持续深入进行，统计越来越受到重视.《义务教育数学课程标准（2011年版）》将发展学生的“数据分析观念”作为数学课程的重要目的之一.《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了六大“数学核心素养”:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析,其中的数据分析能力是针对统计的.同时，统计也是很多国家中小学数学课程的重要组成部分闪.美国著名统计学家C.R劳认为4:“在终极的分析中，一切认识都是历史;在抽象的意义下,一切科学都是数学;在理性的基础上，所有的判断都是统计学.”统计的重要性可见一斑.统计作为我国课程改革中变化较大的内容之一，其思维方式和传统的代数、几何、概率等内容有所不同，是需要更多关注的一个研究领域.很多研究表明，教师对统计和概率的认识并不完全正确，理解也不够深刻，在教学中得到的重视程度也还不够5.基于此，本研究选择了统计习题作为研究主题，通过统计习题难度测量模型，对中国大陆和中国台湾高中数学教材中统计习题的难度进行比较研究，希望为我高学新教材统计的提参考意见.1研究对象及研究工具1.1研究对象考虑教材的使用范围及教材是否能体现所在地区课程标准的理念,结合教材的出版时间，确定了表表1样本教材及基本信息1中所列的数学教材690.地区教材样本出版时间习题数量中国大陆人民教育出版社:普通高中课程标准实验教科书A版:数学3（必修）；选修232012126中国台湾南一书局，林福来等编:数学$;选修数学甲版（上册）2013116统计的“教材正的，的习题以及章末复习题.中国台湾高中数学教材中的练习包括课堂讨论、随堂练习、课堂活动三类.一个题目如有多个小题,按题目中小题数目计算;一个题有连续多个问题，但没有分成（1）、（2）、（3）……,仍作一个题目计算.另外，统计习题数目时包括了属于正态分布内容的习题.1.2统计习题难度测量模型结合“标准”中对统计的要求、统计习题的特征以及所研究教材的编排特点，选择了文献［10］中建立的难度测量模型，具体见表2.对于习题难度的详细计算方法可以参见文献［10］,这里不再重复.基于统计习题难度模型，采用定量分析与文本质性分析相结合的方法进行比较.2结果分析2.1统计结果依照表2给出的统计习题难度模型，统计教材中各难度因素处于各水平的习题数量,得到表3.2.2结果分析这里先对每一个习题难度影响因素进行定量分析和定性描述，然后结合5个难度因素从综合难度上进行比较分析.（1）习题背景因素上的差异从表3可以看到，中国大陆和中国台湾教材中，不涉及实际背景的习题分别占17.46%, 26.73%，与个人生活有关的习题分别占16.67%,32.76%,属于“公共常识”的题目分别占49.20%,3&79%,属于“科学情境”的习题分别占16.67% 1.72%表2习题难度测量模型水平1平2水平3水平41.习题背景无个人生活公共常识科学情境2.习题运算无简单计算（1步）复杂计算（2步及以上）3.认知要求概念性记忆水平概念性理解水平迁移性理解水平综合性探究水平4.习题类型标准性题性探索性题问题性题5.知识综合1个23个及以上表3教材中各难度因素的统计结果难度因素水平中国大陆中国台湾题量百分比题量百分比习题背景无2217.46%3126.73%个人生活2116.67%3832.76%公共生活6249.20%453879%科学情境2116.67%2 1.72%习题运算无8063.49%211810%简单计算3426.99%3429.31%复杂计算129.52%6152.59%认知要求概念性记忆水平00119.48%概念性理解水平7055.56%6455.17%迁移性理解水平4434.92%3933.62%综合性探究水平129.52%2 1.73%习题类型标准性题004 3.45%训练性题9676.19%10086.82%探索性题2217.46%1210.35%问题性题8 6.35%00知识综合1个6249.21%5446.55% 2个4535.71%3832.76% 3个及以上1915.08%2420.69%在背景因素上统计结果的折线图如图1所示.从图1可以发现,在“无背景”水平上，台湾教材所占高于大陆教材•在“科学情境”水平上，大陆教材几乎达到了17%，远高于台湾教材.在“个人生活”水平，人教A版不到17%,远低于台湾教材所占比例•在“公共常识”水平，大陆教材差不多达到了一半，台湾教材39%.与原人教版，新版大陆教材在背景因素上有了较大的提咼,,和“标准"的大力强调有关•人教版背景的设置较，几半的“纯”数学题•但可以看到，在人教A版教材中，四种水平的布匀，属于“公”的属于“个人”和“科学情境”背景的习题3倍还多.和台湾教材相比，属于“科学情境”背景的•而对学言，这类背景在几乎没•如人教A版中的习题:#，影响农收成的因素有气候、土质、田间管理水平等•如果你农村调、成，要在麦收季节对你的小麦估产调，你何设计调查方案?$的背景属于学情，大学几情境•学时，会有较大的难度，同时背景离学生的实际情境较远，教材设置，导致学为:为了强调的数学“编造”的，反：利于培养学生的（2）运算因素上的比较大陆教材涉及运算、简单运算、复杂运算的占为63.49%,26.99%,9.52%；台湾南一版教材占为18.10%，29.31%,52.59%.在运算因素上的统计图2•图2运算因素上的比较由图2知,两套教材在运算因素上的差异主要表现在无运算水平和复杂运算水平，在简单运算水平大•大陆教材“统计”部分的运算占比高达63%,运算的10%.台湾教材反，无运算的20%,复杂运算的超过了50%.从具体看，大陆教材计算的大率部分,计算随的概率，随机变量的分布列、期望和方差较的运算性回归的；和随机变量的方差的计算，而它通过计算器（机"得•如人教A版必修3习题2.3A组的第3、4题及B组的第1题,都是要求学生求出线性回归方程，计算量较大，但通过计算器'计算大陆教材运算占远低于台湾教材.这不得我们深思，在“统计与概率”的教学，计算为一种计算，而忽略了计算机其的，如计算拟•虽信息技学教学了极大的便利，但计算器和计算机为代表的信息技术，若:为一种教学的段,基本计算技的，取学思维的过程.⑶"的两套教材性记忆水平习题分别占0%，9.48%，处于性理平的占|分别为55.56%,55.17%,属于性理平的占34.92%,33.62%，属于综合性平的占9.52%,1.73%.”素上的统计W38图3认知要求因素上的比较W3，两教材素平分布比较一致,的性理平的,强调对、公式、 的理解，而单的记忆•其次,性理平上,两套教材大，说明两个版本的高学教材学运学去 关的问种一致性种程度明了国际数学教育改革的趋势是大致的一一强调数学的性,学生通学去实际•和人教版高学教材，性理和综合性探究水平上，人教A版都稍高于原人教版教材.说明新教材更强调学运学去解关的，说明了我学教育正在由强调对“双基”的强调基础 和基本技能的与学的者•（4"的两套教材中标准性占0%,3.45%,训练性占为76.19%,86.82%,探索性占17.46%,10.35%，问题性占为6.35%,0.”难度因素上的统计图4所示.+中国大陆*中国台湾100.00%80.00%60.00%40.00%20.00%0.00%标准性题训练性题探索性题问题性题图4素的较图4反了两教材素的水平分布情况似，者性上.明，在儒化影响下的东亚较强调对“双基”的,种程度上解释了为亚洲学际性测试（TIMSS,PISA, IEAP等）中拿高分.但明我们的学强于欧美，如相关表明：中国学计算题、常规和受限远高于美国学生，但放于美国学生.A版教材与原人教版教材比较，探索性题目增加了，这说明我国高学教材学生为•教材加了较放性的，如人教A版教材中的：“校学调 学期有关学计划的意见.你自愿担任调，并打算在学抽取10%的同学作为・（1）你怎抽样，以保证的代表性？（2）在抽你？（3）这影响？（4）你打算怎?$学生综合运的，要学利学去 实际的&对学言,有较大的难度，但学生分析问和的•（5）综合素的较大陆教材的126单的占49.21%，两占35.71%,3个及占15.08%；台湾教材种水平的占比例分别为46.55%,32.76%,20.69%.在知识综合因素上的统计结果如图5所示.1个2个T 一中国大陆T 一中国台湾3个及以上60.00%50.00%40.00%30.00%20.00%10.00%0.00%图5知识综合因素上的比较从图5可以看出，两套教材的倾向是一致的，仅有1 的的,其次 2的 ，最少的3个及的 •同时，在1个和2的习题所占，大陆教材稍高于台湾教材+ 3个及的 占 ，台湾教材高于大陆教材.2.3综合难度比较分析前面根据5个统计习题的难度影响因素对两套 教材的统计 了比较，为察教材统计的综合难度，计算了各难度因素的加权平均得到表4.表4 教材习题各难度因素的加权均值和综合难度教材习题冃景习题 运算认知 要求习题 类型知识 综合综合难度中国大陆 2. 65 1.46 2. 54 2. 30 1. 66 2. 122中国台湾2. 162. 342.282. 071. 742. 118直观起见，作出了如图6的雷达图.这个五边形图直观地反映出* 背景) 和素上，大陆教材的加权平 高于台湾教材+综合因素上，两套教材特别明显，台湾教材略高于大陆教材•在运算因素上，台湾教材远高于大陆教材•从加权平看，两套教材背景和 运算两 素 较大•此外,&大陆教材 5 难度 素 平 &相差达到了 1 19.而台湾教材仅0. 60,相较而言，在5个难度因素上比较平衡.图6两套教材统计习题综合难度比较从图6可以看到，大陆教材在习题背景和认知要求两 素上高于台湾教材，尤其 背景因素上• ” 背景看，大陆教材中大部公和科学情境两种水平，离学 人 实际较远• ” 素上，人教A 版要略高于台湾教材•在运算因素上,大陆教材远低于台湾教材.3 结论与建议通过对大陆人教A 版高中数学教材和中台湾南一版高 学教材中统计 的难度的比较，得下结论：(1"背景看，大陆教材属于“公共常识”背景的&的人教版教材& 背景的了 •但 学 于现实，存在于现实，“公 ”和“科学情境”背景 学生平时较的& 学 的实际 情 较远&学生觉得为了强调的数学 “编造”的 ，不利于学生的：意•因此，大陆教材可以借鉴台湾教材，在：当增加贴近学 人 的 •(2) 在运算因素上，大陆教材超过60%的习题都是无运算 ；加权 远低于台湾教材,这似乎 和 的我国教材符合•” 和《标准( 强调对统计思想的体 关，但是强调对学思想方法的体味着 低对学生计算的 ，而应该 者之间找平衡点.(3) 在认知要求和习题类型因素上，两套教材表现出的倾向性似•两套教材中， 素的于概念性理 平的；从看，大 性，台湾教材中“训练性题”接近90%.!" 综合因素上，两套教材表现出的倾向性比较一致,都是随 的增加,占比• 统计表明 &两 教材 大部1-2 & 及 的台湾教材有大约20%，大陆教材 3个及的 占 为15.08%.” 昌，高 学教材 得 较 & 教材 超的及 的「10・因此，的设置要注 学 间的联系，在教材中增加 综合性较高的 •这样帮助学生对学产体的；帮助学生形成“数学割的体”的正确观念.(5)习题的 ，应考虑各难度因素之间的平衡•研究表明,两套教材都没 5 难度因素 间的平 & 综合 素的加权其5个因素要小很多，在认知上要求都比较高.大陆教材中背景和运算两个难度因素之间的加权均值相差达到了1.19.因此，教材中习题的选择和编写应该与数学内容紧密结合，充分考虑其特殊性，注重各个难度因素之间的平衡.实际上，保持各个习题难度因素之间的平衡是一个比较难的问题，很多高中数学教材的习题设置都没有处理好这一问题.在习题的编写和设置中，如何保持各个难度因素之间的平衡是一个值得深入研究的课题，而各个习题难度因素应该达到怎样的一个平衡状态,也是一个需要深入研究的课题.参考文献覃淋.中日高中数学教材“统计与概率”内容比较研究［J0.内江师范学院学报,2018,33（2）:37-41.［20陈希孺.机会的数学［M0.北京：清华大学出版社,2000./0美国州核心数学课程标准:历史、内容和实施［M0.北京:人民教育出版社,2016.［40 C.R劳.统计与真理:怎样运用偶然性［M0.北京：学出版20048［50覃淋.高中数学教材“统计与概率”内容的比较研究［D0.北京:首都师范大学,2017.［60普通高中课程标准实验教科书A版•数学（必修3）［M0北京:人民教出版2009［70普通高中课程标准实验教科书A版•数学（选修2-3））M0.北京:人民教育出版社,2009.［0林福来.普通高级中学•数学（第二册））M0.台南：南一■书局，2013.［90林福来.普通高级中学•选修数学（甲版）（上）［M0台南:南书2013［100覃淋.高中数学新旧教材统计习题难度比较［J0.牡丹江师范学院学报（自然科学版）,2018（1）:77-81.（上接第50页）的定义，平面a与平面'之间的距离PK1+PK Z）就是平面％与圆柱相交的椭圆的长轴长2a.在圆柱O O E）的轴截面中，sin0=—，从而2a——.2a sin0拓展若将本题中的“圆柱”变为“圆锥”球0102的半径分别为R1L2,则平面a与平面'之间的距离为sin0点评本题有着悠久的数学文化背景和丰富的圆锥曲线知识.追溯圆锥曲线的起源,2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262—前190）采用平面切割圆锥的方法得到圆、椭圆、双曲线、抛物线.并且，在其《圆锥曲线》著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学教科书中关于圆锥曲线的全部性质和结果.事实上，现在教材中的第一定义是阿波罗尼斯《圆锥曲线》中的一个命题［10.另外，比利时数学家旦德林（Dandelin,1794-1847）在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果.举世闻名的旦德林双球就以他的名字命名.旦德林在圆锥里上下各塞进相离内切球，球面与切截平面的切&平面与圆锥的截圆锥•旦德林双球将圆锥曲线的截线定义和轨迹定义如此神奇地融为一体，真是让人叹为观止.同时，圆锥曲的定:截的切的与两平面的交的为心率对此问题的探究，一方面可以利用圆锥曲线的丰富学、学化的教另方面&在研究问题的过程中，平面与空间不断转换,线面相切与面面相切相互交织，平面距离与空间距离不断转化，数学抽象、直观想象能力能够得到有效的训练与提升.以上几个“隐形椭圆”的例子只是冰山一角.事实上，球的斜投影、一些星体的运行轨道、某些动点的轨迹（如帕普斯在《数学汇编》中研究的“三线轨迹”和“四线轨迹”20等问题）等等都会“显露”出椭圆来.从高观点上看，数学的研究对象之间存在着某种内在的联系，一边是“显山露水”的,另一边是“藏而不露”的，两者之间似乎有一根无形的丝线，将它们密切地牵连在一起，从一边沿着这条丝线抽丝剥茧，便可顺利地到达另一边.在教学中，需要教师精心设计，精选问题，启发学生善于捕捉提供的信息,发挥联想，加强联系，积极联动，将思维游走在“丝线”上，去揭示隐藏起来的椭圆、圆等.在此过程中,培养学生的认知能力、合作能力、创新能力等数学关键能力.参文［0陈慧，邹佳晨.圆锥曲线之起源与发展简史［0.数学教学,2016（5）.［20汪晓勤.平面解析几何的产生（一）一一古希腊的三线和四线轨迹问题［J0.中学数学教学参考（高中）,2007（9）8。
