求轨迹方程的常用方法：
题型一 直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。
例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。
解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈
AN AM ⊥
∴1-=⋅AN AM k k
∴12
0322230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2
3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。
变式1
已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。
（1） 求动点M 的轨迹C 的方程；
（2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜
率。
题型二 定义法
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。
例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2
2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。
42=a
∴2=a ，4=c
∴1222=-=a c b
故动圆圆心M 的轨迹方程为112
42
2=-y x 变式2
在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，
求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为
重心，则有239263
BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，
其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．
∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22
1(0)16925
x y y +=≠ 题型三 相关点法
此法的特点是动点),(y x M 的坐标取决于已知曲线C 上的点)','(y x 的坐标，可先用y x ,来表示','y x ，再代入曲线C 的方程0),(=y x f ，即得点M 的轨迹方程。
例3 如图，从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程
分析：从题意看动点P 的相关点是Q ，Q 在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。 解：设动点P 的坐标为),(y x ，点Q 的坐标为),(11y x ，则点N 的坐标为)2,2(11y y x x -- N 在直线2=+y x 上，
∴22211=-+-y y x x …①
又 P Q 垂直于直线2=+y x ，
∴11
1=--x x y y ，即011=-+-x y y x …② 由①②解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=123211212311y x y y x x …③ 又点Q 在双曲线122=-y x 上，∴12
121=-y x …④
③代入④，得动点P 的轨迹方程为0122222
2=-+--y x y x
变式3已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．
解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②
又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，
即所求曲线方程是2434(0)3
y x x y =++≠．
题型四 参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标y x ,，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。
例4已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使有向线段OP OP '，
满足4OP
OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，，
则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭
，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta
=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠． 这就是所求点M 的轨迹方程．
变式4设椭圆方程为142
2
=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点B A ，，O 是坐标原点，l 上的动点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)2
1,21(，当l 绕点N 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||的最小值与最大值.
分析：（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出2121,y y x x ++，进而表示出点P 坐
