[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性

系统稳定
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
2. 劳斯稳定判据
直至其余 项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析 法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列 为零
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
练习 系统特征方程为
判别系统的稳定性。
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均 为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于 原点对称的根。
能恢复原来的平衡状态。
5.1 系统稳定性的基本概念
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。

∆1 = a 1 > 0
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1

其中： a 1 a n n 2 i b i a a 1 a n (2 i 1 ) n 1 n
1a n 1 a n (2 i 1 ) c i b b 1 i 1 1 b

按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1）， 第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。

稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离
原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在 一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平 衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统 是不稳定系统。

系统输出的一般表达：
C () t Ct () Ct () t s s s

C s s ( t ) 为稳态分量（见第二章） C t s ( t ) 为暂态分量， 稳定的概念亦可理解为： 当输入发生变化时，如果系统的输出经过一 段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该 系统是稳定的。 所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出 的暂态分量是否满足：
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据

若开环传递函数中含有 个积分环节时， 绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从 频率对应的点开始，逆时针方向用虚线 补画一条半径为无穷大，角度为90的圆 弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括 补画的虚线部分。
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据

例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数 分别为
结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，
k 系统将永远按振幅为a，频率为 的余弦波振动， m
永远不能恢复到原始静止平衡状态。
例２：
m y cy Ky f( t )
.. .
y (0 ) a ,y (0 ) 0
A m

10 (1 + s )(1 + 2s )(1 + 3s )
奈氏轨迹穿过 ( −1, j 0 ) 点，所以系统临界稳定。 （3） G (s )H (s ) =
10 s (1 + 0.1s )(1 + 0.2 s )
2
6
∵ N = −2, P = 0, N ≠ P ∴ 系统不稳定
7-10 试根据下列开环频率特性分析相应系统的稳定性。
as + 1 s2
α s +1
s2
ϕ (ω ) = - 180 + tan −1 αω
γ = 180 + ϕ (ωc ) = 45
180 + tan −1 αωc − 180 = 45
α =1
4
7-8 判别图(题 7-7)(a)， （b）所示系统的稳定性。
解(a)
2
图(题 7-8
0.1( s + 1) GB ( s ) = 3 s + 0.19 s 2 + 0.2 s + 0.1 D ( s ) = s 3 + 0.19s 2 + 0.2s + 0.1
P 2
(3) G ( jω )H ( jω ) =
10 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j 0.2ω )
2
∵在 ( 0, ωc ) 之间， N ' = −1, P = 0, N ' ≠ ∴系统不稳定。 (4) G ( jω )H ( jω ) =
P 2
2 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j10ω )
0
α ( 2 + K ) − (1 + K ) =0 使第三行全为零 α