一．命题陷阱：
1．复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱）
2．函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱）
3. 函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）
4. 函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱）
5. 函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱）
6. 方程的根的求解问题
7. 分段函数的零点问题
8. 零点问题中新定义问题
9. 零点与导数、数列等的综合
二、陷阱典例及训练
1．复合函数陷阱（忽视定义域陷阱）
例1.已知函数()
,1 {
1,1
2
lnx x
f x x
x
≥
=
-<
，若()()1
F x f f x m
⎡⎤
=++
⎣⎦有两个零点12
,x x，则
12
x x⋅的取值范围是（）
A. [)
42ln2,
-+∞ B. ()
e,+∞ C. (]
,42ln2
-∞- D. ()
,e
-∞
【答案】D
【解析】如图，
所以()0
f x≥，令()1
t f x
=+，则1
t≥，
又()()()1F x f
f x m =++有两个零点，
则()ln 0f t m t m +=+=有解，则存在解01t ≥， 又()()1201f x f x t ==-，
【陷阱防范措施】注意复合函数性质的使用，并注意定义域限制 练习 1.设函数()4310{
log 0
x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的
实数解,则实数a 的取值范围为（ ）
A. ()
232232---，
B. 32322⎛
⎤- ⎥⎝⎦， C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D. ()
232,-+∞ 【答案】B
【解析】
作出函数()431,0{
log ,0
x x f x x x +≤=>的图象如图，令()f x t =，则方程()()()2230f x a f x -++=化为
()2230t a t -++=，要使关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=，恰好有六个不同的实数根，则方程
()()()
2230
f x a f x
-++=在(]
1,2内有两个不同实数根，
()
()
()2
2 2
2120
2
12
{2
12130
22230
a
a
a
a
∆=+->
+
<<
∴
-+⨯+>
-+⨯+≥
，解得
3
232,
2
a
-<≤∴实数a的取值范围是
3
232,
2
⎛⎤
-
⎥
⎝⎦
，故选B.
【思路总结】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()()
,
y g x y h x
==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为()
,
y a y g x
==的交点个数的图象的交点个数问题 . 练习2．已知函数()
{1
k
x
f x x
lnx x
≤
=-
>
，
，
，若关于x的方程()
()0
f f x=有且只有一个实数解，则实数k的取值范围为（）
A. ()()
100
-⋃+∞
，， B. ()()
001
-∞⋃
，，
C. ()()
1001
-⋃
，， D. ()()
11
-∞-⋃+∞
，，
【答案】A
作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时，1
f x lnx
==
（）有一个解，
则等价为当x≤0时，f（x）=
1
k
x-
=1无解，即若k＞0，满足
1
k
x-
=1无解，
若k＜0，则函数f（x）=
1
k
x-
在x≤0时为增函数，则函数的最大值为0
f k
=-
（），
此时只要满足1
k
-＜，即10
k
-＜＜，即可，
