2019届人教版高中数学必修一知识点总结

（2019新教材）人教A 版必修第一册知识点第一章集合与常用逻辑用语〖1.1〗集合的概率（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，*N 或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集∅.〖1.2〗集合间的基本关系（2）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.〖1.3〗集合的基本运算〖1.4〗充分条件与必要条1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；〖1.5〗全称量词与存在量词1、全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；名称记号意义性质 示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）AA A =（2）A ∅=∅（3）A B A ⊆A B B ⊆ BA并集 A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）AA A =（2）A A ∅=（3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =第二章 一元二次函数、方程和不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．3、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈； ②2(0,0)＞＞a b ab a b +≥4、含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法 判别式24b ac ∆=- 0∆>0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a -±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅第三章 函数的概念与性质〖3.1〗函数及其表示1、函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．2、区间的概念及表示法（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．3、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤零（负）指数幂的底数不能为零．⑥若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑦对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．4、求函数的值域或最值①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2a y xb y xc y++=，则在()0()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．5、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．yxo〖3.2〗函数的基本性质 【3.2.1】单调性1、用定义法证明函数单调性的一般步骤（1） 取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=-> （2） 作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．（3） 定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．（4） 下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 2、复合函数与单调性若函数u=g(x)在区间[a,b ]上是单调函数，函数y=f(u)在[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上也是单调函数，那么复合函数y=f [g(x)]在区间[a,b ]上是单调函数，其单调性的规律是： 函数单调性 u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数 y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数 y=f[g(x)]增函数减函数减函数增函数上述规律可简记为“同増异减”。

如果把原命题“如果 ，那么 ”结论的否定作条件，把条件的否 定作结论，那么就可得到一个新命题， 我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果 ，那么 ”；
如果 A 、 B 是两个命题， A B ， B A ， 那么 A 、 B 叫做等价命题； 原命题与逆否命题是等价命题； 不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有 三类： p 或 q ， p 且 q ，非 p ；
有两相等实根
x1
x2
b 2a
x x x1或x x2
x
x
b 2a
x x1 x x2
无实根 R
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
1.函数的概念
设 A , B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x ，按照某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有
唯一确定的的数 y 和它对应，那么就称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
作“ A 交 B ”，即 A B x x A 且 x B ；
由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A 、B 的并集，记作 A B ，读作“ A 并 B ”，
即 A B x x A 或 x B ；
在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常 用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；
y f (x) , x A.
其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合
设U 为全集， A 是U 的子集，则由U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做集合 A 在全集U 中的补集，

对数函数
定义：对数函数是指函数 y=logₐx (a>0,a≠1)，其中 a 是底数，x 是自变量。
性质：对数函数在其定义域内是单调增函 数或减函数，取决于底数 a 的取值。
图像：对数函数的图像通常在第一象限 和第四象限，当底数 a>1 时，图像在第 一象限；当 0<a<1 时，图像在第四象限。
应用：对数函数在实际生活中有着广泛的 应用，如计算复利、解决声学和光学问题 等。
幂函数
定义：幂函数是 形如$y=x^n$ 的函数，其中 $n$是实数。
性质：幂函数的 图像可以通过其 指数$n$的性质 进行分类，例如 当$n>0$时，函 数为增函数；当 $n<0$时，函数
为减函数。
幂函数的图像： 幂函数的图像可 以通过描点法或 图象变换法进行
绘制。
幂函数的性质： 幂函数具有一些 重要的性质，例 如当$x>0$时， $x^n>0$；当
函数的表示方法：函数的表示方法有多种，如解析式表示、表格表示、图象表示等，这些表示方 法各有优缺点，可以根据具体情况选择合适的表示方法。
函数的实际应用：函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等，掌握函数 的性质和表示方法对于解决实际问题非常有帮助。
函数的表示方法
解析法：用数学表达式表示函 数关系
01
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02
集合与函数
集合的表示与性质
集合的表示方 法：列举法、
描述法
集合的确定性： 集合中的元素 必须是确定的， 不能模棱两可
集合的无序性： 集合中的元素 没有顺序之分
集合的互异性： 集合中的元素
互不相同
集合的运算
并集：将两个 集合中的所有 元素合并到一

2019新教材)人教A版数学必修第一册知识点1.1 集合的概率集合是由元素组成的，这些元素具有确定性、互异性和无序性。

常用的数集有自然数集N，正整数集N+，整数集Z，有理数集Q和实数集R。

集合中的元素与集合之间有两种关系，即属于和不属于，用符号“∈”和“∉”表示。

集合可以用自然语言法、列举法、描述法和图示法来表示。

集合可以分为有限集、无限集和空集。

1.2 集合间的基本关系集合间有三种基本关系：子集、真子集和集合相等。

子集表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合，真子集是指一个集合是另一个集合的子集但不相等，集合相等是指两个集合中的元素完全相同。

1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。

交集是指两个集合中共同的元素构成的集合，而并集是指两个集合中所有元素构成的集合。

补集是指在全集中不属于该集合的元素构成的集合。

1.4 充分条件与必要条件命题是可以判断真假的陈述句，真命题是指判断为真的语句，假命题是指判断为假的语句。

充分条件是指如果A成立，则B也成立，必要条件是指如果B不成立，则A也不成立。

意一个元素x，都有唯一的元素y与之对应，且y∈B，则称f为从A到B的一个函数，记作f：A→B，x↦y=f(x)。

②x∈A称为自变量，y=f(x)∈B称为因变量或函数值，f(x)的值域为函数f的所有可能的函数值的集合。

2、函数的表示①显式表示法：y=f(x)；②参数表示法：y=f(x,k)；③分段表示法：y={f1(x)（x∈D1），f2(x)（x∈D2）}；④隐式表示法：F(x,y)=0，y=f(x)；⑤函数图象表示法：y=f(x)的图象。

3.2〗函数的性质1、奇偶性①奇函数：f(–x)=–f(x)；②偶函数：f(–x)=f(x)；③一般函数：不具有奇偶性。

2、周期性若存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期性，T称为函数f的周期。

3、单调性①单调递增：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)<f(x2)；②单调递减：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1f(x2)；③严格单调递增：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)≤f(x2)；④严格单调递减：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)≥f(x2)。