《平面与平面垂直的性质》习题

乏公仓州月氏勿市运河学校9-5线面、面面垂直的判定与性质

根底稳固强化

1.(文)(2021·海淀区期末)m、n是两条不同的直线，α、β

A．假设m∥α，α∩β＝n，那么m∥n

B．假设m∥n，m⊥α，那么n⊥α

C．假设m⊥α，m⊥β，那么α∥β

D．假设m⊥α，m⊂β，那么α⊥β

[答案] A

[解析] 选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确．

(理)两条不同的直线m、n，两个不同的平面α、β

A．假设m⊥α，n⊥β，α⊥β，那么m⊥n

B．假设m∥α，n∥β，α∥β，那么m∥n

C．假设m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥n

D．假设m∥α，n⊥β，α⊥β，那么m∥n

[答案] A

[解析]

 m⊥αα⊥β⇒m∥β或m⊂β n⊥β⇒m⊥n，故A正确；

如图(1)，m⊥α，n⊥α满足n∥β，但m∥n，故C错；

如图(2)知B错；

如图(3)正方体中，m∥α，n⊥β，α⊥β，知D错．

2．(文)(2021·区模拟)设α、β、γ是三个不重合的平面，l

①假设α⊥β，β⊥γ，那么α⊥γ；②假设l上两点到α的距离相等，那么l∥α；③假设l⊥α，l∥β，那么α⊥β；④假设α∥β，l⊄β，且l∥α，那么l∥β.

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

[答案] D [解析] 对于①：假设α⊥β，β⊥γ，那么可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：假设l上两点到α的距离相等，那么l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．

(理)

如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1C与底面成45°角，AB＝BC＝2，那么该棱柱体积的最小值为( )

A．43 B．33

C．4 D．3

[答案] C

[解析] 由得平面A1ABB1⊥平面ABC且交线为AB，故A1在平面ABC上的射影D在AB上．由A1C与底面成45°角得A1D＝DC，∵BC⊥AB，∴当CD最小即CD＝BC时A1D最小，此时Vmin＝12×AB×BC×A1D＝12×2×2×2＝4.应选C.

平面与平面垂直的判定基础练习题含答案解析

1 / 4 2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题（含答案解析）

1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )

A．相等 B．互补

C．相等或互补 D．不能确定

解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．

2．在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )

A．平面PAB⊥平面PAD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．平面PBC⊥平面PCD

D．平面PCD⊥平面PAD

解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．

3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )

A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β

C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ

解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，

∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l. 平面与平面垂直的判定基础练习题含答案解析

2 / 4 4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

解析：选C.可画出对应图形(图略)，

则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，

∴BC∥平面PDF，故A成立；

由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，

∴DF⊥平面PAE，故B成立；

又DF⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．

5．(2013·德州高一检测)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有(

平面与平面垂直的判定及性质

1、在三棱锥BCDA中，如果BCDADBDBCAD,,是锐角三角形，那么( )

A、面ABD面ADC； B、面ABD面ABC；

C、面BCD面ADC； D、面ABC面BCD。

2、下列命题中

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②二面角平面角的范围是90,0；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系；④异面直线ba,分别和一个二面角的两个面垂直，则ba,组成的角与这个二面角的平面角相等或互补，其中正确的是( )

A、①③ B、②④ C、③④ D、①②

3、如果二面角l中，内一点A到面的距离是点A到棱l的距离的一半，则l的平面角为( )

30、A 60、B 30、C或150 D、60或120

4、矩形ABCD的两边PAADAB,4,3面ABCD，且354PA，则二面角PBDA的度数为( )

30、A 45、B 60、C 75、D

5、以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( ) 30、A 45、B 60、C 90、D

6、过正方形ABCD的顶点A作线段AP面ABCD，且ABAP，则面ABP与面CDP所成角的二面角的度数是( )30、A 45、B 60、C

90、D

7、如图，二面角EF的大小为120，A是它内部的一点， ,,ACABCB,为垂足，则BAC

8、ABC是等腰直角三角形，PaBCAC,是ABC所在平面

外一点，,2aPCPBPA求证：面PAB面ABC

9、如图，四边形ABCD是正方形，SA面ABCD，SCBK

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 

35 第 18 讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握 两个性质定理及定理的应用. ¤知识要点： 1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直®线线平行） 2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表 示为：若ab ^ ， l ab = I ，a a Ì ，al ^ ，则a b ^ .（面面垂直®线面垂直） ¤例题精讲： 【例1】 把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面， 另一条直角边AC与桌面所在的平面a 垂直， a是a 内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？ 解：

注：若 BC 与 a垂直，同理可得 AB 与 a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重 要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的 各对平面. 解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BCÌ平面ABC， ∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC. ∵ BC Ì平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC. （2）平面 PAC⊥平面ABCD；平面 PAC⊥平面 PBC；平面 PAD⊥平面 PBD；平面 PAB⊥平面 ABCD；平 面PAD⊥平面ABCD. 【例3】三棱锥PABC - 中，PAPBPC == ,PO ^ 平面ABC，垂足为O，求证： O为底面△ABC的外心. 证明：连接OA、OB、OC， ∵ PO ^ 平面ABC， ∴ ,, POOAPOOBPOOC ^^^ . 在△PAO、△PBO、△PCO中， 90 POAPOBPOC Ð=Ð=Ð=°, PAPBPC == , PO边公共. ∴ POAPOBPOC D@D@D . ∴ OAOBOC == , 所以，O为底面△ABC的外心. 点评：若已知三条侧棱与底面所成角相等时，即 PAOPBOPCO Ð=Ð=Ð ，按同样的方法“证全等”可以 证出. 上述结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射 影为底面多边形的外心. 【例 4】三棱锥PABC - 中，三个侧面与底面所成的二面角相等，PO ^ 平面 ABC，垂足为 O，求证：O 为底面△ABC的内心. 【证】作PDAB ^ 于D，PEBC ^ 于E，PFAC ^ 于F，连接OD、OE、OF. ∵ PO ^ 平面ABC，∴ ,, POODPOOEPOOF ^^^ ， ,, POABPOBCPOAC ^^^ . 又 ∵ ,, PDABPEBCPFAC ^^^ , ∴ ,, ABPDOBCPEOACPFO ^^^ 平面 平面 平面 . 得 ,, ODABOEBCOFAC ^^^ , ∴ ,, PDOPEOPFO ÐÐÐ 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得 PDOPEOPFO Ð=Ð=Ð ， ∵ PO边公共， ∴ PDOPEOPFO D@Ð@Ð ，得 ODOEOF == ， 又 ∵ ,, ODABOEBCOFAC