两平面的平行判定和性质（含解析）
例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ． 求证：平面//11D AB 平面BD C 1． 证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，
∴B C A D 11//， 又 ⊂B C 1平面BD C 1， 故 //1A D 平面BD C 1． 同理 //11B D 平面BD C 1． 又 1111D B D A D = ， ∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．
说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．
典型例题二
例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．
典型例题一
例1 已知)3,0(A ，)0,1(-B ，)0,3(C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形．
分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题． 解：如图，
设),(y x D ，若CD AB //，则CD AB k k =，BC AD =，
即⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=-+--=+-②①.1613)3(,30
1003222y x x y 由①、②解得)5
3
,516(
D ． 若BC AD //，则⎪⎩⎪⎨⎧==,,
BC AD k k BC AD
即⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+-=--④③.31)3(,003
2222y x x y 由③、④式解得)3,2(D ．
故D 点的坐标为)5
3
,516(
或)3,2(． 说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解．(2)在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况．此题中AB 、BC 的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况．
典型例题二
例2当a 为何值时，直线01)1()2(1=--++y a x a l ：与直线02)32()1(2=+++-y a x a l ：互相垂直？
分析：分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解．或利用结论“设直线1l 和2l 的方程分别是01111=++C y B x A l ：，02222=++C y B x A l ：，则21l l ⊥的充要条件是02121=+B B A A ”
（其证明可借助向量知识完成）解题． 解法一：由题意，直线21l l ⊥．
(1)若01=-a ，即1=a ，此时直线0131=-x l ：，0252=+y l ：显然垂直；
(2)若032=+a ，即2
3
-=a 时，直线0251=-+y x l ：
与直线0452=-x l ：不垂直； (3)若01≠-a ，且032≠+a ，则直线1l 、2l 斜率1k 、2k 存在，
a a k -+-
=121，3
21
2+--=a a k ． 当21l l ⊥时，121-=⋅k k ，即1)3
21
()12(-=+--⋅-+-a a a a ， ∴1-=a .
综上可知，当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．
解法二：由于直线21l l ⊥，所以0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解得1±=a ． 故当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．
说明：对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线1l 、2
l 的斜率分别为1k 、2k ，则a a k -+-
=121，3
21
2+--=a a k ． 由21l l ⊥，得121-=⋅k k ，即1)3
21
()12(-=+--⋅-+-a a a a ．
解上述方程为1-=a ．从而得到当1-=a 时，直线1l 与2l 互相垂直．
上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在
的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误．
典型例题三
例3 已知直线l 经过点)1,3(P ，且被两平行直线011=++y x l ：和062=++y x l ：截得的线段之长为5，求直线l 的方程．
分析：(1)如图，利用点斜式方程，分别与1l 、2l 联立，求得两交点A 、B 的坐标（用k 表示），再利用5=AB 可求出k 的值，从而求得l 的方程．(2)利用1l 、2l 之间的距离及l 与
1l 夹角的关系求解．(3)设直线l 与1l 、2l 分别相交于),(11y x A 、),(22y x B ，则可通过求出
21y y -、21x x -的值，确定直线l 的斜率（或倾斜角）
，从而求得直线l 的方程．
解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3=x ，此时与1l 、2l 的交点分别为
)4,3('-A 和)9,3('-B ，截得的线段AB 的长594=+-=AB ，符合题意，
若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为1)3(+-=x k y ．
解方程组⎩
⎨⎧=+++-=,01,1)3(y x x k y 得⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-114,12
3k k k k A ，
解方程组⎩⎨⎧=+++-=,
06,1)3(y x x k y 得⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-119,17
3k k k k B ．
由5=AB ，得2
2
2
51191141731
23=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k k k k k ． 解之，得0=k ，即欲求的直线方程为1=y ．
综上可知，所求l 的方程为3=x 或1=y ． 解法二：由题意，直线1l 、2l 之间的距离为1
2
52
61=
-=
d ，且直线l 被平等直线1l 、2l 所截得的线段AB 的长为5（如上图）
，设直线l 与直线1l 的夹角为θ，则2
252
25
sin ==θ，故∴︒=45θ．
由直线011=++y x l ：的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点)1,3(P ，故直线l 的方程为3=x 或1=y ．
解法三：设直线l 与1l 、2l 分别相交),(11y x A 、),(22y x B ，则：
0111=++y x ，0622=++y x ．
两式相减，得5)()(2121=-+-y y x x ． ① 又25)()(221221=-+-y y x x ②
联立①、②，可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-5021
21y y x x
由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°．
故所求直线方程为3=x 或1=y ．
说明：本题容易产生的误解是默认直线l 的斜率存在，这样由解法一就只能得到0=k ，从而遗漏了斜率不存在的情形．
一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长a 的直线，当a 小于两平行直线之间距离d 时无解；当d a =时有唯一解；当d a >时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角θ后，再求直线l 的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程．
典型例题四
例4 已知点()31
，-A ，()13，B ，点C 在坐标轴上，且
90=∠ACB ，则满足条件的点C 的个数是（ ）
． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
