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人教版七年级数学上册第三章 一元一次方程知识点复习
人教版七年级数学上册第三章 一元一次方程知识点复习
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������ ������
������.由3 ‒ 2 = 1,得2������ ‒ 3������ = 6
8.解下列方程:
(1)14(������
+
1)
=
1
3(������
‒
1);
(2)������
+ 2
4
‒
������
+
5
=
������
+ 3
3
‒
������
‒ 6
2。
3.3 列一元一次方程解应用题
1
3
������.方程 ‒ 3������ = 2的解是������ = ‒ 2
6.用等式性质求下列方程的解。
(1)3������ ‒ 1 = 2 + ������;
(2)12������
+
1 3
=
2������
‒
12。
3.2 解一元一次方程
知识点 1.一元一次方程 1.定义 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程。 2.标准形式
第三章 一元一次方程知识点复习
3.1 方程的有关概念
知识点 1.等式 用等号(“ = ”)来表示相关相等关系的式子叫做等式。
知识点 2.等式的性质 性质 1:等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等,即如果������ = ������,那么������ ± ������ = ������ ± ������。 性质 2:等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等,即如果������ = ������,那么������������ = ������������;如 果������ = ������(������ ≠ 0),那么������������ = ������������。
5.方程(2������ ‒ 2) ‒ (������ + 2) = 3,去括号正确的是( )
������.2������ ‒ 2 ‒ ������ ‒ 2 = 3
������.2������ ‒ 2 ‒ ������ + 2 = 3
������.2������ + 2 ‒ ������ ‒ 2 = 3
其中一定正确的有( )
������.1个
������.2个
������.3个
������.4个
2.已知等式(������ ‒ 4)������ = ������ ‒ 4且������ ≠ 1,求2������2 ‒ (3������ ‒ ������2 ‒ 2) + 1的值。
3.下列所给的四个式子:①������ ‒ 2 = 8;②������2 = 1;③������ ‒ ������ ‒ 1 = 0;④1 + 7 = 8中,方程的个数是( )
知识点 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤 (1)审:弄清题意和题目中的数量关系。 (2)设:用字母表示题目中的一个未知量。 (3)找:找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 (4)列:根据这个相等关系列出方程。
(5)解:解所列的方程,求出未知数的值。 (6)验:检验方程的解是否符合问题的实际意义。 (7)答:写出答案。
方程������������ + ������ = 0(其中������是未知数,������、������是已知数,并且������ ≠ 0)叫做一元一次方程的标准形式。
知识点 2.移项 1.定义 把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。 2.示例 解方程3������ ‒ 2 = 2������ + 5时,可在方程的两边先加2,再减2������,得3������ ‒ 2 + 2 ‒ 2������=2������ + 5 + 2 ‒ 2������,即变形为3������ ‒ 2������ = 5 + 2。
������.2������ ‒ 2 + ������ ‒ 2 = 3
6.四位同学解方程������
‒ 3
1
‒
������
+ 6
2
=
4
‒ 2
������,去分母后分别得到下面四个方程:
①2������ ‒ 2 ‒ ������ + 2 = 12 ‒ 3������;
②2������ ‒ 2 ‒ ������ ‒ 2 = 12 ‒ 3������;
������.3������ = 7 + 2可以由3������ + 2 = 7移项得到
������.1 ‒ ������ = 2������ ‒ 1移项后得1 ‒ 1 = 2������ + ������
10
������.由5������ = 10,得������ = 5 ,这种变形叫做移项
������.2 ‒ 7������ = 1 ‒ 5������移项后得2 ‒ 1 = 7������ ‒ 5������
知识点 3.去括号与去分母 解一元一次方程的最终目的是要得到“������ = ������”这一结果。为了达到这一目标,方程中有括号就要根据去括号法 则去掉括号,即为去括号;方程中有分母的,根据等式性质2去掉分母,即为去分母。
知识点 4.解一元一次方程的一般步骤
步骤
具体做法
去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数
数
利息 = 本金 × 利率 × 期数 储蓄问题 本息和 = 本金 + 利息
本息和 = 本金 × (1 + 利率 × 期数)
由题可知
分清利息 和本金和
浓度问题 溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量
知识点 3.一元一次方程应用题的常见类型 题中涉及的数量关系及公式
和、差、 增长量 = 原有量 × 增长率
倍、分问 现有量 = 原有量 + 增长量
题
现有量 = 原有量 ‒ 降低量
等积变形 问题
长方体体积 = 长 × 宽 × 高 圆柱体体积 = ������������2ℎ (ℎ为高,������为底面圆半径)
去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号
移项
把含有未知数的项移到方程的一边,其他各项都移到方程的另 一边(记住移项要变号)
合并同类项 把方程化为������������ = ������(������ ≠ 0)的形式
系数化为1
在方程的两边都除以未知数的系数������,得到方程的解������
=
4.方程3������ + 6 = 2������ ‒ 8移项后正确的是( )
������.2������ + 3������ = 6 ‒ 8
������.3������ ‒ 2������ = ‒ 8 + 6 ������.3������ ‒ 2������ = ‒ 6 ‒ 8
������.3������ ‒ 2������ = 8 ‒ 6
③2(������ ‒ 1) ‒ (������ + 2) = 3(4 ‒ ������);
④2(������ ‒ 1) ‒ 2(������ + 2) = 3(4 ‒ ������)。
其中错误的是( )
������.②
������.③
������.②③
������.①④
7.下列解方程过程中,变形正确的是( )
知识点 2.设未知数的几种方法 设未知数的方法有三种: (1)直接设未知数:题目求什么就设什么为未知数。 (2)间接设未知数:对于一些应用题,如果直接设所求的量为未知数,可能不容易列方程,这时可以间接 地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数,进而求出所求的量。 (3)设辅助未知数:如果前两种方法都行不通,可设某个量为辅助未知数,辅助未知数仅作为题目中量与 量之间关系的一种桥梁,一般情况下,解方程时不需要求出这个量。
������. 2 = 3 ‒ 1
1
������.������ ‒ 2 = 2������ + 4
2.若关于������的方程(������ ‒ 1)2������2 + (4������ + 3)������ + 3������ ‒ 5 = 0是一元一次方程,则������的值为
。
3.下列说法正确的是( )
年龄增长
年龄问题 大小两个年龄差不会变
由题可知
一年一 岁,人人
如此
工作量 = 工作效率 × 时间 工程问题 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间
工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率
两个或几个工作效率不同的对象所完成的工 作量的和等于总工作量
一般情况 下,把总 工作量设
为1
利润率问 题
商品利润
商品的利润率 =
等量关系 由题可知 变形前后体积相等
相遇
问题 路程 = 速度 × 时间
行
时间 = 路程 ÷ 速度
程
速度 = 路程 ÷ 时间
追及
问
问题
题
快车行驶路程 + 慢车行驶路程 = 原距离 快车行驶路程 ‒ 慢车行驶路程 = 原距离
航行 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 问题 逆水速度 = 静水速度 ‒ 水流速度
������ ������
变形依据 等式性质2 去括号法则、分配律
等式性质1
合并同类项法则 等式性质2
课堂练习
1.下列各式中是一元一次方程的是( )
������
������.1 ‒ 2 = 2������ ‒ 3
������.5������2 ‒ 4������ = 2������ ‒ 1
������ ‒ 1 ������
������.由4������ ‒ 1 = 3,得3������ = 3 ‒ 1
������
0.3������ + 1
������
3������ + 10
������.由4 + 1 = 0.1 + 1.2,得4 + 1 = 1 + 12
5
������.由 ‒ 5������ = 6,得������ = ‒ 6
������.1
������.2
������.3
������.4
4.在下列各式中:
① ‒ 2 + 7 = 5;②2������ ‒ 3 = 8;③������ = 0;④4������ + 5;
⑤3������2 ‒ 6������ + 5 = 0;⑥5������2 ‒ 7 = 8������;⑦73���6������0���;⑧������2 ‒ 2������ = ������2 + 3 ‒ ������。
等式不一定是方程, 因为等式不一定含有 未知数
方程和等式的关系是 从属关系,且有不可 逆性
5.方程的解与解方程
内容
实质
方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
具体的数值
解方程 求方程的解的过程叫做解方程
变形的过程
①检验一个数是否是方程的解,只要用这个数代替方程中的未知数,如果方程两边
其中等式有:
;
方程有:
。
5.下列说法正确的是( )
������.方程������ ‒ 3 = 1的解是������ = ‒ 2
1
������.方程2������ ‒ 2������ = 6的解是������ = ‒ 4
5
������.方程3������ ‒ 4 = 2(������ ‒ 3)的解是������ = 3
路程 = 速度 × 时间
注意事项 弄清“倍 数”关系及 “多”“少”关
系等
要分清半 径、直径
相向而 行,注意
出发时 间、地点
同向而 行,注意
出发时 间、地点 注意两地 距离,静 水速度不
变
调配对象
调配问题
从调配后的数量关系中找等量关系
流动的方
向和数量
比例分配 问题
全部数量 = 各种成分的数量之和
把一份数 设为������
× 100%
商品进价
利润 = 售价 ‒ 进价(成本价)
由题可知
打几折就 是按原售 价的十分 之几出售
(1)对于
日历中的
数字问题 (包括日 历中的数 字规律)
设������、������分别为一个两位数的个位、 十位上的数字,则这个两位数可表 示为10������ + ������
由题可知
数字问题 要弄清日 历中的数 字规律; (2)设简 间接未知
的值相等,那么这个数就是方程的解;如果不相等,那么这个数就不是方程的解。
温馨提示 ②方程可能无解,可能只有一个解,也可能有多个解。
③等式的基本性质是解方程的依据。
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④方程的解是结果,而解方程得到这个结果的一个过程。
课堂练习
1.下面等式变形:①若������ = ������,则������������ = ������������;②若������������ = ������������,则������ = ������;③若4������ = 7������,则������������ = 74;④若������������ = 74,则4������ = 7������。
知识点 3.方程 含有未知数的等式叫做方程。
知识点 4.方程与等式的区别与联系
概念及其特点
区别
联系
含有未知数的等式叫做方程。一个式子 方程一定是等式,并
方程 是方程,要满足两个条件:一是等式, 且是含有未知数的等 方程是特殊的等式
二含有未知数
式
等式
用等号来表示相等关系的式子叫做等 式。等式的主体是相等关系
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