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15章习题参考答案
15-3求各图中点P 处磁感应强度的大小和方向。
[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
()210cos cos 4θθπμ-=
a
I
B 对于导线1：01=θ，22π
θ=，因此a
I B πμ401=
对于导线2：πθθ==21，因此02=B
a
I
B B B πμ4021p =
+= 方向垂直纸面向外。
(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
()210cos cos 4θθπμ-=
a
I
B 对于导线1：01=θ，2
2π
θ=，因此r I a I B πμπμ44001==，方向垂直纸面向内。
对于导线2：21π
θ=，πθ=2，因此r
I a I B πμπμ44002==，方向垂直纸面向内。
半圆形导线在P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的
圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即
r
I
r I B 4221003μμ=
=，方向垂直纸面向内。 所以，r
I
r I r I r I r I B B B B 4244400000321p μπμμπμπμ+=++=++=
(c) P 点到三角形每条边的距离都是
a d 6
3=
o 301=θ，o 1502=θ
每条边上的电流在P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是
()a
I d I
B πμπμ23150cos 30cos 400000=-=
故P 点总的磁感应强度大小为
a
I
B B πμ29300=
= 方向垂直纸面向内。
15-4在半径为R 和r 的两圆周之间，有一总匝数为N 的均匀密绕平面线圈，通有电流I ，方向如图所示。求中心O 处的磁感应强度。 [解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI 圆盘，设单位长度线圈匝数为n
r
R N
n -= 建立如图坐标，取一半径为x 厚度为dx 的 圆环,其等效电流为:
x r
R NI
x j I d d d -==
)
(2d 2d d 000r R x x
NI x
I
B -=
=
μμ
r
R r R NI
r R x x
NI B B R
r
NI
ln
)
(2)
(2d d 0000-=
-==⎰
⎰μμ所以 方向垂直纸面向外.
15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I =5.0A ，圆筒半径 R =m 100.12⨯如图所示。求轴线上一点的磁感应强度。
[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元d l
则I R
l I πd d =
则l d 在O 点所产生的磁场为
22002d 2d d R
l I R I B πμπμ==
又因，θd d R l =
所以，R
I R I B 2002d 2d d πθ
μπμ==
θcos d d x B B =，θsin d d y B B =
半圆筒对O 点产生的磁场为：
00x x ==⎰π
dB B ，R
I
B B 200y y d πμπ
=
=⎰
所以B 只有y 方向分量，即R
I
B B 20y πμ==，沿y 的负方向。
15-6矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共N 匝，通以电流I ，试证明通过螺绕环截面的磁通量为
2
1
0ln 2D D NIh πμ=
Φ [证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元x h S d d = 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r ，
2
212D
r D <<， y
x
dl
dB
θ
θx
x
NI rB 02d μπ==⋅⎰l B
r NI
B πμ20=
S B Φd d =
所以 2
1
02
20ln
2d 2d d 12
D D hNI r h r NI S B D D
πμπμ==
=Φ=Φ⎰⎰⎰ 15-7长直导线a a '与半径为R 的均匀导体圆环相切于点a ，另一直导线b b '沿半径方向与圆
环接于点b ，如图所示。现有稳恒电流I 从端a 流入而从端b 流出。 (1)求圆环中心点O 的B 。
(2)B 沿闭合路径L 的环流⎰⋅L
l d B 等于什么?
[解] (1)43210B B B B B +++= 其中: 04=B R
I
B πμ401=
R I B R I B 231,232303202μμ=
=
,2
3
32l l I I = 故2B 与3B 大小相等,方向相反,所以032=+B B 因而R
I
B B πμ4010=
=,方向垂直纸面向外. (2)由安培环路定理,有:
∑⎰=-
==⋅3
)32(d 00i 0I I I I L μμμl B
15-9磁场中某点处的磁感应强度T 20.040.0j i B -=，一电子以速度
s m 100.1105.066j i v ⨯+⨯=通过该点。求作用在该电子上的磁场力。
[解] 由洛仑兹力公式,有
N 108100
2.04.000.15.0106.114619k k
j i B v F --⨯=⨯-⨯-=⨯=q
15-10在一个圆柱磁铁N 极正上方，水平放置一半径为R 的导线圆环，如图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流I 。在导线处的磁场B 的方向都与竖直方向成α角。求导线环受的
•
120O
R
a
b
a '
b '
1
2
34
