2014年高三一模客观压轴题汇编（3） （黄浦、杨浦、浦东、虹口、崇明、奉贤）填空题1.（2014年黄浦一模理13）设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,，由不等式βαβα⋅≤⋅ 恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当βα‖，即bm an =时等号成立）恒成立.己知+∈R y x ,，且不等式3x y k x y +<⋅+恒成立，利用柯西不等式,可求得实数k 的取值范围是答案：()10+∞，详解：因为+,,0x y R x y ∈∴+>，由3x y k x y +<⋅+恒成立，得，3y xk x y x y>+++恒成立，令()=1,3=,y xx y x y αβ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，,||||10w αβαβ=⋅≤⋅=当且仅当 3=9y xy x x y x y⋅=++,即时等号成立，此时max 10w =，于是max 10k w >=, 所以，实数k 的取值范围是()10+∞，.教法指导：本题是新定义题型，运用类比思想，学会化归，不等式恒成立问题，参变分离转化成函数 求最值问题，注意等号成立的条件即可. 变式练习：（2014年黄浦区一模文科13）设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,，由不等式βαβα⋅≤⋅ 恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当βα‖，即bm an=时等号成立）恒成立.己知+∈R y x ,，若3y xk x y x y>+++恒成立，利用柯西不等式,可求得实数k 的取值范围是答案：()10+∞，2.（2014年黄浦一模理14）用己知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a annn ,11，则数列{}n a 的前2016项的和2016S 的值是___________． 答案：1017072详解：当*21()n k k N =-∈时，22121k k a a k --=- ① 当*2()n k k N =∈时，2+12+2k k a a k = ②当*21()n k k N =+∈时，222121k k a a k ++-=+ ③ 由①②得2121+1k k a a -+=，即任意两个连续奇数项之和为定值1， 所以()()()135720132015+++=504.a a a a a a +++由②③得*222+41k k a a k k N +=+∈，即任意两个连续偶数项之和是等差数列，()()()()()()246820142016+++=41+1+43+1++41007+1=1016568.a a a a a a +++⨯⨯⨯所以，数列{}n a 的前2016项的和2016=1016568+504=1017072S .教法指导：本题的切入点是()1n-，所以分奇偶讨论，然后利用分组求和，最终转化为等差数列求和问题，使问题得以解决，注意分类思想的扑捉. 变式练习：（2014年黄浦区一模文科14）己知数列{}na 满足421-=a ，()()*+∈=-+N n n a a nnn ,11，则数列{}n a 的前2013项的和2013s 的值是___________．答案：10130003.（2014年杨浦一模理13）用设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ． 答案：59详解：这是道古典概型，事件A ：直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，{}222231,9,1,2,3d b a a b a b =≤≥-∈+即，，下面分类讨论：当1a =时，291=83b b ≥-∴=，共1种情况符合题意；当2a =时，294=53b b ≥-∴=，共1种情况符合题意； 当3a =时，299=01,2,3.b b ≥-∴=，共3种情况符合题意. 由加法原理，该事件A 共5种情况，总事件共33=9⨯种情况. 所以，直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是5.9教法指导：本题考察直线与圆的位置关系，古典概率问题.注意审题，加法原理使问题得到解决. 变式练习：（2014年杨浦区一模文科13）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01） 答案：0.304.（2014年杨浦一模理14）用已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>， 总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 . 答案：②、③详解：对于①：()()1=121F f a =+，但是，()1||1||2f a =+，而当210a +<时，()()1|1|=21F f a ≠-- ①错误；对于②：21,0,()21(0)=11,0.2x xxa x f x a a a x ⎧⋅+>⎪=⋅+≠⎨⎛⎫⋅+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，()()f x f x -=-是偶函数，(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩设0x >，则0x -<，()()()()F x f x f x F x -=--=-=-, 所以，函数()F x 是奇函数，②正确；对于③：当0a <时，()F x 在(),0-∞上和()0+∞，分别单调递减函数，若0mn <，0m n +>，则,m n >- 且m 与n -同号，所以()()()F m F n F n <-=-,()()0F m F n +<成立， ③正确.教法指导：本题考察分段函数的奇偶性，单调性，利用数形结合，本题解决更直观，快些，注意画图时， 注意对a 进行分类讨论.变式练习：（2014年杨浦区一模文科14）函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为 ． 答案：2.5.（2014年浦东一模理13）用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、 满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．答案：96.详解：设A,B,C 为{}1,2,3,4的三个子集，如图所示，因为A B C =∅I I 所以S =Φ不含任何元素，因为1A B B C C A ===I I I ，所以123,,M M M 中各有一个元素，将{}1,2,3,4中的元素排入，有333434C P P =种方法，由题意知，还剩下的一个元素，可以安排在 ,,P Q R ，也可以不排入，共有131+=4P 种方法，由分步原理得344=96P .教法指导：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问题得到解决，当然也 可以用列举法，{}1,2,3,4有15个非空子集，显然A,B,C 中A 为含有1个或者4个元素的子集不符合题意， A 为含有2个或者3个元素的子集，列举即可求解.对于新定义题型，要善于讲陌生问题化归为熟悉模型， 注重基本原理的运用. 变式练习：（2014年杨浦区一模文科13）用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、 满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交． 由集合{}1,2,3的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ． 答案：6.6.（2014年杨浦一模文理14）已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f = ． 答案：6. 详解：()()()()313f f n n f f =∴=，()()**11f N f k N ∈∴=∈设,由()f x 单调增函数知，()()()()3=11=,f f f k f k =≥ 所以()1f 只可能取1,2,3.i) 当()1=1f 时，()()()3=11=1,f f f =矛盾，舍去;ii) 当()1=2f 时，()()()()3=121=2,ff f f =≥符合单调递增条件，{}()*[()]3()()[()]3f f n n f n N n f n f f f n f n =∈=，将换成得，;所以()()(3)=3,33(1)6f n f n f f ==于是，(1)(2)(3)f f f <<符合单调性，(3)=6f ∴； iii ）当()1=3f 时，()()()()3=13=1,f f f f =与单调性矛盾，舍去，综上所述，(3)=6f .教法指导：本题主要考察抽象函数的单调性，注意定义域和值域都是正整数，通过复合运算使问题得到 解决，给学生做适当的拓展，注意探究更一般的结论.7.（2014年虹口一模文理12）已知函数x x f 10)(=，对于实数m 、n 、p 有)()()(n f m f n m f +=+，)()()()(p f n f m f p n m f ++=++，则p 的最大值等于 ．答案：2lg2lg3-.详解： 由()()()f m n f m f n +=+得，101010m nm n +=+，从而11112101010m n m n+=+≥， 即104m n +≥，当且仅当m n =时等号成立.由()()()()f m n p f m f n f p ++=++，得1101101pm n +=+-，由104m n+≥得411002lg 2lg33p p <≤∴<≤-，，p 的最大值等于2lg2lg3-. 教法指导：本题主要考察函数与不等式的综合应用，注意不等式中“一正二定三相等”的条件，通过等价变形，分离变量，转化成函数求最值问题，化归思想，将二元函数两个变元看做一个整体考虑解决问题.8.（2014年虹口一模文理13）已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a ．答案：4032-详解： 易知当*2,n k k N =∈为偶数时，2()4sin 0f n k k π==，所以()()()()()()()()20141232014222222221235720132015123579201320151223579201320154032S a a a af f f f ff=++++=++++++⎡⎤⎣⎦=+-+-+-+-=++++++-⎡⎤⎣⎦=-教法指导：本题是一道数列与三角比结合的题目，利用三角函数周期性，化繁为简，转化成等差数列求和，使问题得到解决，注意项数计算个别学生需要给予指导，更进一步的，数列与三角比结合的题目给予拓展. 变式练习1：（2012年上海高考理科18）设1sin 25n n a n π=，12...n n S a a a =+++（n N *∈），在12100,,...,S S S 中， 正数的个数是 ． 答案：100 变式练习2：（2012年上海高考文科18）若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中， 正数的个数是 ． 答案：869.（2014年崇明一模文理14）已知,1->t 当[]2,+-∈t t x 时，函数||4||x x y x =的最小值为4-，则t 的取值范围是答案：[0,222]-详解：函数图像如下图所示，x 的区间是关于1x =对称的，当t 从-1渐渐变大时，x 的范围从x=1开始，慢慢向两边扩大，如下图，第三幅图向第四幅图变化的时候，函数的最小值为-4，第三幅图是t=0的时候，第四幅图是244x x -+=-的时候，解得222x t =-=-，所以t ∈[0,222]-教法指导：本题图像是固定的，要注意区间是如何变化的，并且区间是关于x=1对称的，结合图像帮助 理解，需要动态的思考选择题1.（2014年黄浦高三一模文理18）己知C z z z ∈321,,，下列结论正确的是（ ）.)(A 若0232221=++z z z ，则0321===z z z)(B 若0232221>++z z z ，则 232221z z z ->+ )(C 若232221z z z ->+ ，则0232221>++z z z )(D 若11z z -=（z 为复数z 的共轭复数），则1z 纯虚数.答案：C详解：对于)(A 举反例：1233,4,5z i z i z ===时，2221230z z z ++=成立，但是0321===z z z 不成立，)(A 错误;对于)(B 举反例：2221230z z z ++>成立，有大小关系，说明222123z z z ++是实数，但是2212z z +和23z -不一定为实数，比如，222222123123=6+,1,70z z i z i z z z +=-++=>，但是，虚数不能比较大小，6+1+i i >-表达错误，所以，)(B 错误;对于()C 若222123z z z +>- ，说明不等式左右都是实数，当然可以移项，2221230z z z ++>成立，()C 正确; 对于()D 举反例：1=0z 时，11=z z -成立，但1z 是实数，不是纯虚数，()D 错误.综上，选：C教法指导：本题的关键在于区别实数与虚数数的区别和联系，实数可以比较大小，虚数不能比较大小； 指导学生用类比的思想方法， 比较实数与复数的区别和联系，相同之处与不同之处.2.（2014年杨浦高三一模理18）定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ）.)(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．答案：B详解：2222441log 14()(1)log =4log log 1x x x f x x x x x x ⎧⎛⎫+≥+ ⎪⎪⎪⎝⎭=+⊗⎨⎛⎫⎪<+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，()()2414=log 04x xx x ⎧+>⎪⎨⎪<≤⎩，，,如图所示，令()()=0g x f x k =-，问题转化为函数()y f x =与函数y k =有两个交点，则(1,2)k ∈，选：B. 教法指导：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解;可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k 的取值范围等. 变式练习：（2014年虹口一模文理14）函数x x f πsin 2)(=与函数31)(-=x x g 的图像所有交点的橫坐标之和为 ．答案：17. 如图所示3.（2014年杨浦一模文18）若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式． 给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ；③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .答案：C.详解：①(,,)a b c abc σ=显然是轮换式； ②222(,,)a b c a b c σ=-+不是，举个反例即可， 比如，(2,1,0)=3(0,2,1)=3(2,1,0)σσσ-≠，，不符合轮换式定义.③2(,,)cos cos()cos A B C C A B C σ=⋅--(,,A B C 是ABC ∆的内角）．由++=A B C π，得()=+C A B π-，代入2(,,)cos cos()cos A B C C A B C σ=⋅--图1P图2P化简得(,,)2cos cos cos A B C A B C σ=是轮换式. 所以①③正确，选C.教法指导：本题是新定义题型，培养学生阅读理解能力，审题能力，此题还是比较容易的 .4.（2014年浦东一模文理18）如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点，若OC mOA nOB u u u r u u r u u u r=+，则（ ）（A ）01m n <+< （B ）1m n +> （C ）1m n +<- （D ）10m n -<+< 答案：B.详解：取特殊情况，在单位圆中，当OA OB ⊥u u r u u r时，取点C 是弧AB 中点时， 有2222OC OA OB =+uuu r uu r uur ，则222122m n +=+=>，选B.教法指导：本题考察向量分解定理，是选择题，当然可以采用一般问题特殊化方法.然而，亦可以采用向量的平行四边形法则，设AB 与OC 交于点M,因为三点共线，所以1111,1,OM m OA n OB m n =++=uuu r uu r uur||||OC OM >u u u r u u u r，所以1m n +>.用这种一般化的方法也可以解决此题，但是相比之下，特殊值法优解，培养学生一题多解，对比思想方法解决问题.5.（2014年虹口一模文理18）如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块， 容器内盛有a 升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P ，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P . 以下命题正确的是( )．.A 圆锥的高等于圆柱高的21； .B 圆锥的高等于圆柱高的32；.C 将容器一条母线贴地，水面也恰过点P ； .D 将容器任意摆放，当水面静止时都过点P ． 答案：C详解：根据题意，设圆柱底面积为S ,则圆锥的体积1=2V a Sh =锥锥，圆柱的体积15=22V a a a a Sh ++==柱柱，所以332=552a h a h =锥柱，A 和B 错误. 将容器一条母线贴地，可求得5=4V a 半圆柱，1=4V a 半圆锥，=V V a -半圆柱半圆锥等于水的体积，所以水面也恰过点P ,C 正确；因为35h h =锥柱，在图2中取下底面圆周上一点M ，与点P 连线， 延长交母线于N ，N 为母线五等分点，以点N 、P 、M 所在截面是个椭圆面，及下底面构成的 几何体是伪圆锥，是所在圆柱体积的一半，其体积14=25V S h a ⋅=柱伪斜锥，以椭圆面水平， 恰好水面过点P ，再将圆锥向母线着地方向旋转，水面会下降，不过点P,所以D 错误. 综上，选：C.教法指导：本题考点是圆柱与圆锥体积的计算，认识圆柱与圆锥的基本特征，体积的等量关系， 让学生进一步认识数学与实际的联系，建立数学模型解决问题.6（2014年崇明一模文理18）已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点， 那么PB PA ⋅的最小值等于( )A ．24+-B ．23+-C ．224+-D ．223+- 答案：D详解：如图所示，根据题意，设单位圆的两切线长为l , ||=1,PO d BPA α>∠=，在直角三角形BPO 中， 有2212sincos 12sin 122d dααα==-=-，， ()2222222=cos 11332 2.PA PB l d d d d α⎛⎫⋅=-⋅-=-++≥-+ ⎪⎝⎭当且仅当222=d d即4=21d >时等号成立,选：D. 教法指导：本题考查圆与直线相切关系，运用基本不等式求最值，注意数量关系的转化，通过设元法， 建立数学模型，使问题得到解决.。
