江苏省盐城市建湖县第二中学2015-2016学年高二数学5月阶段考试试题时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．命题“x R ∃∈，022≤--x x ”的否定是 ▲ ． 2．设复数z 满足3i z i =-+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ ． 3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ．4．“2>x ”是“042>-x ”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xO y 中，已知中心在坐标原点的双曲线C 经过点(1,0)，且它的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同，则该双曲线的标准方程 为 ▲ ．8．已知点(),P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩所表示的平面区域内，则y x z +=2 的最大值为 ▲ ．9．已知322322=+，833833=+，15441544=+，….，=（,a b 均为正实数），则a b += ▲ ． 10．（理科学生做）已知nxx )2(3-展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中第6题的常数项为 ▲ ．（文科学生做）已知平面向量,a b 满足||2=a ，||2=b ，|2|5+=a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为 ▲ ． 11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）（文科学生做）设函数2()x xe a ef x x -+=是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．设正实数,,x y z 满足22390x x y y z -+-=，则当x y z 取得最大值时，xy的值为 ▲ ．13．若函数()(1)xf x m x e =-在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．设点P 为函数ax x x f 221)(2+=与2()3l n 2g x a x b =+)0(>a 图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） （理科学生做）设某地区O 型血的人数占总人口数的比为12，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为O 型血的概率；（2）记O 型血的人数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望.（文科学生做）给定两个命题，p ：对任意实数x 都有210a x a x ++>恒成立；q ：28200a a +-<．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）（理科学生做）设数列{}n a 满足13a =，2122n n na a n a +=-+. （1）求234,,a a a ；（2）先猜想出{}n a 的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.（文科学生做）已知函数()s i n ()f x A x ωϕ=+（0,0,A ωϕπ>><）的一段图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调增区间； （3）若3[,]84x ππ∈-，求函数()f x 的值域.17．（本小题满分14分）（理科学生做）如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,A B B B 的中点，且A C B C ==12A A =.（1）求直线1B C 与1A D 所成角的大小； （2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.（文科学生做）设函数2()(2)1x af x a x +=≠+. （1）用反证法证明：函数()f x 不可能为偶函数；（2）求证：函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减的充要条件是2a >.1819．（本小题满分16分）ABC A 1B 1C 1ED 第17题第18题如图所示，在平面直角坐标系xO y 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其中b =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足A P P Cλ=，B P P Dλ=，其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=. （1）求椭圆E 的离心率； （2）求a 与b 的值； （3）当λ变化时，A B k 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 20．（本小题满分16分）设函数32()3fxx x a x =-+()a R ∈. （1）当9-=a 时，求函数()f x 的极大值；（2）若函数()f x 的图象与函数x x x ln )(-=ϕ的图象有三个不同的交点，求a 的取值范围；（3）设()|()|gx f x =，当0a >时，求函数()g x 的单调减区间．第19题建湖县第二中学高二数学独立练习参考答案时间：120分钟 2016.05.21一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．命题“x R ∃∈，022≤--x x ”的否定是 ▲ ． 【知识点】命题的否定’【答案解析】2,20xR x x ∀∈-->解析 ：解：∵命题“x R ∃∈，022≤--x x ”是特称命题,∴否定命题为：2,20xR x x ∀∈-->. 故答案为：2,20xR x x ∀∈-->． 【思路点拨】由于命题是一个特称命题，故其否定是全称命题，根据特称命题的否定的格式即可. 2．设复数13i =+,则z 的实部为1.故答案为：1． 【思路点拨】由3i z i =-+，两边除以i ，按照复数除法运算法则化简计算． 3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ．从高4．“2>x ”是“042>-x ”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【答案解析】充分不必要解析 ：解：由042>-x ，得x ＞2或x ＜-2．即q ：x ＞2或x ＜-2．∴2>x 是042>-x 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【思路点拨】求出042>-x 成立的条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ ． 【知识点】伪代码.【答案解析】21解析 ：解：由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环 故答案为：21【思路点拨】第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环，故可得结论．7．在平面直角坐标系xO y 中，已知中心在坐标原点的双曲线C 经过点(1,0)，且它的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同，则该双曲线的标准方程28y x =的焦点坐标为（2，0），则双曲线C 的右焦点F （2，0），所以224a b +=，221y b -＝1，即21a =，23b =.∴双曲线的方程为2213y x -=. 故答案为：2213y x -=． 第6题【思路点拨】求出抛物线28y x =的焦点坐标，可得双曲线的一个顶点，设出双曲线方程，代入点的坐标，即可求出双曲线的方程．8．已知点(),P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩所表示的平面区域内，则y x z +=2 的最大值为▲ ．【知识点】简单线性规划．【答案解析】6解析:解：P （x ，y ）在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，如图：所以z=2x+y 的经过A 即y xx 2ìïíïî＝＝的交点（2，2）时取得最大值：2×2+2=6．故答案为：6．【思路点拨】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的位置，求出最大值即可． 9．已知322322=+，833833=+，15441544=+，….，类比这些等式，若=（,a b 均为正实数），则a b += ▲ ． 322=，833833=+，15441544=+，….=(1n +则第5个等式中：a=6，b=a 2-1=35,a+b=41． 故答案为：41．【思路点拨】根据观察所给的等式，归纳出第n 个式子，即可写出结果．10．（理科学生做）已知nxx )2(3-展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 ▲ ． 【知识点】二项式定理.【答案解析】80-解析 ：解：因为展开式中所有项的二项式系数和为：012...232n nnnnnC C C C ++++==，解得5n =，由二项式展开式515rrr r T C -+骣=整理得：()52352r rrr C x---，所以5023r r--=，故3r =，则其展开式中的常数项为：()335280C -=-. 故答案为：80-.【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出n ，然后欲求展开式中的常数项，则令x 的指数5023r r--=可求得结果. （文科学生做）已知平面向量,a b 满足||2=a ，||2=b ，|2|5+=a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为 ▲ ．夹角． ,a b 的夹角为；因为|2|5+=a b ，平方变形得：224425a b a b ++?，解得：54a b?，所以5cos 16a b a b q ×==×. 故答案为：516.【思路点拨】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可.11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答） 【知识点】排列组合及简单计数问题.【答案解析】55 解析 ：解：从8名学生中选出4人，共有4870C =种选法， 其中甲乙同时参加的有2615C =种选法，所以从8名学生中选出4人，甲乙不同时参加的选法有70-15=55种， 故答案为55．【思路点拨】所有选法共有48C种，减去甲乙同时参加的情况26C种即可.（文科学生做）设函数2()x xe a ef x x-+=是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 【知识点】奇函数的定义.【答案解析】1-解析 ：解：因为函数2()x xe a ef x x-+=，所以2()()x x e a e f x x -+-=-， 又因为函数是奇函数，所以()()0fx f x +-=，即220()x x x xe a e e a ex x --+++=-，解得1a =-，故答案为：1-.【思路点拨】利用奇函数的定义()()0fx f x +-=解方程即可. 12．设正实数,,x y z 满足22390x x y y z -+-=，则当x y z 取得最大值时，xy的值为 ▲ ．【知识点】基本不等式.【答案解析】3解析 ：解：因为,,x y z 为正实数，且22390x x y y z -+-=,则2239z x x y y=-+，所以2211393x y x y z x x y y y x===-++-，当且仅当3x y =时等号成立，此时xy=3. 故答案为3.【思路点拨】把原式整理代入x yz并判断出等号成立的条件即可. 13．若函数()(1)xf x m x e =-在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【知识点】函数的单调性；不等式恒成立问题.【答案解析】[)1,+∞解析 ：解：因为()(1)xf x m x e=-在(0,)+∞上单调递增，即 ()()10x f x em xm ¢=+->在(0,)+∞上恒成立，令()1g x m xm =+-，即 ()10g x m x m =+->在(0,)+∞上恒成立，故(0)0g ³，则1m ³. 故答案为：[)1,+∞.【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题，然后求解即可.14．设点P 为函数ax x x f 221)(2+=与2()3l n 2g x a x b =+)0(>a 图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为 ▲ ． 【知识点】导数的几何意义；利用导数求最大值.【答案解析】3243e 解析 ：解：设点P 坐标为()00,x y ，则有20002001223ln 2y x ax y a x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，因为以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，所以00()()k f x g x ''==，即20032,a x a x += 0,x a ∴=或03x a =-由)0(>a ，故0x a =，此时2052a y =；所以点P 坐标为25,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2()3l n 2g x a x b=+整理得：2253l n 42a ab a =-，()532l n 3l n 22b a aa a a aa '∴=-+=-，令0b '=，即3l n 0a a a -=，得13a e =，可判断当13a e =时有极大值也是最大值，2211331233533l n 424e e b e e⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=-=， 故答案为：3243e .【思路点拨】设点P 坐标为()00,x y 满足两个函数解析式成立，再借助于斜率相同可解得a ，代入函数()g x ，最后利用导数求最大值即可.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） （理科学生做）设某地区O 型血的人数占总人口数的比为12，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为O 型血的概率；（2）记O 型血的人数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望. 【知识点】n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率；分布列；期望. 【答案解析】（1）38（2）32解析 ：解：（1）由题意，随机抽取一人，是O 型血的概率为12， …………2分 ∴3人中有2人为O 型血的概率为23313()28P C ==. …………6分 （2）ξ的可能取值为0，1，2，3， …………8分∴03311(0)()28P C ξ===， 13313(1)()28P C ξ===， 23313(2)()28P C ξ===，33311(3)()28P C ξ===， …………12分∴3()2E ξ=. …………14分 【思路点拨】（1）代入n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式即可；（2）根据n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式依次求出ξ为0，1，2，3，时的概率，最后求出期望值.（文科学生做）给定两个命题，p ：对任意实数x 都有210a x a x ++>恒成立；q ：28200a a +-<．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 试题解析：解：命题p ：ax 2+ax+1＞0恒成立 当a=0时，不等式恒成立，满足题意） 当a ≠0时，，解得0＜a ＜4∴0≤a ＜4命题q ：a 2+8a ﹣20＜0解得﹣10＜a ＜2∵p q ∨为真命题，p q ∧为假命题∴,p q 有且只有一个为真， 当p 真q 假时04102a a a ≤<⎧⎨≤-≥⎩或得24a ≤<当p 假q 真时04102a a a <≥⎧⎨-<<⎩或得100a -<<所以﹣10＜a ＜0或2≤a ＜416．（本小题满分14分）（理科学生做）设数列{}n a 满足13a =，2122n n na a n a +=-+. （1）求234,,a a a ；（2）先猜想出{}n a 的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想. 【知识点】数学归纳法；归纳推理．【答案解析】（1）2345,7,a a a ===9;（2）21n a n =+，证明见解析. 解析 ：解：（1）由条件2122n n n a a n a +=-+，依次得2211225a a a =-+=， 2322427a a a =-+=，2433629a a a =-+=， …………6分 （2）由（1），猜想21n a n =+. …………7分 下用数学归纳法证明之： ①当1n =时，13211a ==⨯+，猜想成立； ………8分 ②假设当n k =时，猜想成立，即有21k a k =+， …………9分 则当1n k =+时，有2122(2)2(21)122(1)1kk k k k a a k a a a kk k +=-+=-+=+⋅+=++， 即当1n k =+时猜想也成立， …………13分综合①②知，数列{}n a 通项公式为21n a n =+. …………14分 【思路点拨】（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a 2，a 3，a 4； （2）利用（1）猜想数列{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可.（文科学生做）已知函数()s i n ()fx A x ωϕ=+（0,0,A ωϕπ>><）的一段图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调增区间； （3）若3[,]84x ππ∈-，求函数()f x 的值域. （1）由题意知：32,288A T πππ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，∴22T πω==， 又2s i n [2]28πϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，∴242k ππϕπ-=+()k Z ∈, 324k πϕπ=+()k Z ∈，又ϕπ<，∴34πϕ=. ∴函数()f x 的解析式：3()2s i n (2)4f x x π=+. （2）由3222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得588k x k ππππ-≤≤-， 所以()f x 的增区间为5[,]88k k ππππ--，k Z ∈， （3）∵3[,]84x ππ∈-，∴352[0,]44x ππ+∈，∴32s i n (2)[2]4x π+.∴值域为[] 17．（本小题满分14分）（理科学生做）如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,A B B B 的中点，且A C B C ==12A A =.（1）求直线1B C 与1A D 所成角的大小； （2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值. 【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角.【答案解析】（1）6π（2）33解析 ：解：分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又 ,D E 分别是1,A B B B 的中点，∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . …………3分 （1）因为1(0,2,2)B C =-， 1(1,1,2)A D =--， 所以111111c o s ,22B C A B C A D B C A D ⋅===-⋅， …………7分∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6π. …………8分 （2）设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由1C A e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得2200x z x y +=⎧⎨+=⎩, ∴可取(1,1,1)e =--， …………10分又 1(2,2,1)A E =--，所以111c o s ,3||.||3A E e A E e A E e ⋅===-， ……13分∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为33. …………14分【思路点拨】（1）分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得1(0,2,2)B C =-， 1(1,1,2)A D =--，然后利用向量的夹角公式计算可得结果；（2）找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可.（文科学生做）设函数2()(2)1x a f x a x +=≠+. （1）用反证法证明：函数()f x 不可能为偶函数；（2）求证：函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减的充要条件是2a >. 【知识点】反证法与放缩法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【答案解析】（1）见解析（2）见解析解析 ：解：(1)假设函数()f x 是偶函数， …………2分则(2)(2)f f -=，即4413a a-++=-，解得2a =， …………4分 这与2a ≠矛盾，所以函数()f x 不可能是偶函数. …………6分(2)因为2()1x a f x x +=+，所以22()(1)a f x x -'=+. …………8分 ①充分性：当2a >时，22()0(1)a f xx -'=<+， A BCA 1B 1C 1 ED第17题所以函数()f x 在(,1)-∞-单调递减； …………10分 ②必要性：当函数()f x 在(,1)-∞-单调递减时， 有22()0(1)af x x -'=≤+，即2a ≥，又2a ≠，所以2a >. …………13分 综合①②知，原命题成立. …………14分【思路点拨】（1）假设函数f （x ）为偶函数，则f （-x ）=f （x ），代入利用对数的性质，可得矛盾，即可得证；（2）分充分性、必要性进行论证，即可得到结论． 18（则又t a n P H θ，所以93t a n c o s L θθ+， …………6分 若点,P H 重合，则t a n θ，即3πθ=，所以(0,)3πθ∈，从而93t a n c o s L θθ+，(0,)3πθ∈. …………7分（2）由（1）知93s i n3t a n 3c o s c o sθθθθ-++⋅，所以23s i n 13c o s L θθ-'=⋅，当0L '=时，1sin 3θ=， …………11分 令01sin 3θ=，0(0,)3πθ∈，当0(,)3πθθ∈时，0L '>；当0(0,)θθ∈时，0L'<； 所以函数L 在0(0,)θ上单调递减，在0(,)3πθ上单调递增， …………15分所以当0θθ=，即1sin 3θ=时，L 有最小值，此时用料最省. …………16分【思路点拨】（1）通过图形分别求出的值,,,?P H H A H B H C ，然后写出解析式并注明定义域即可；（2）利用导数结合单调性即可求出最值. 19．（本小题满分16分）B第18题如图所示，在平面直角坐标系xO y 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其中b =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足A P P Cλ=，B P P Dλ=，其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=. （1）求椭圆E 的离心率；（2）求a 与b 的值；（3）当λ变化时，A B k 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.【知识点】椭圆的性质；椭圆的标准方程；根与系数的关系. 【答案解析】（1）1 2（2）2,a b =（3）34AB k =-解析 ：解：（1）因为b =，所以2234b a =，得22234a c a -=，即2214a c =，所以离心率12c e a ==. (4)分（2）因为(,0)C a ，57λ=，所以由A P P C λ=，得12512(,)77a A -， ………7分 将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a-+=⨯，解得2a =，所以2,a b =. ………10分（3）法一：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ， 由A P P Cλ=，得13131111x x y y λλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩， ………12分 又椭圆的方程为22143x y +=，所以由222233111,14343x y x y +=+=， 得22113412x y += ①， 且2211113(1)4(1)12x y λλ--+++= ②， 由②得，221111212[3(1)4(1)][3(1)4(1)]5x y x y λλ-+-+-+-=， 即22111111212[(34)72(34)][7(34)]5x y xy xy λλ++-++-+=， 结合①，得211191453422x y λλλ+-+=+， ………14分 同理，有222191453422x y λλλ+-+=+，所以11223434x y x y +=+， 从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值. ………16分第19题法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ， 由A P P Cλ=，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，……12分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得 121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 即12123()4()0A B x x y y k +++=， ……14分 同理，34343()4()0C Dx x y y k +++=， 而A B C D k k =，所以34343()4()0A B x x yy k +++=， 所以34343()4()0A Bx x y y k λλ+++=， 所以132413243()4()0A Bx x x x y y y y k λλλλ+++++++=， 即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值. ………16分 【思路点拨】（1）根据椭圆的性质求出a ，c 的关系式即可；（2）由A P P C λ=得12512(,)77a A -代入到椭圆方程中即可得结果；（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由A P P C λ=，得到点坐标间的关系，再将将,A B 坐标代入椭圆方程后两式相减，再利用A BC D k k =即可.20．（本小题满分16分）设函数32()3fxx x a x =-+()a R ∈. （1）当9-=a 时，求函数()f x 的极大值；（2）若函数()f x 的图象与函数x x x ln )(-=ϕ的图象有三个不同的交点，求a 的取值范围；（3）设()|()|gx f x =，当0a >时，求函数()g x 的单调减区间． 【知识点】利用导数求极值；借助导数求范围；利用导数求单调区间. 【答案解析】（1）极大值为5.（2）5(ln 2,2)4+;（3）①当3a ≥时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞；②当934a <≤时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,(11； ③当904a <<时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,3(1,2,(1．解当9a =-时，由2()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+=0，得3x =或x 列表如下：x(,1)-∞- －1 (1,3)- 3 (3,)+∞()f x '＋－＋所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值为5. ………4分（2）由()l n f x x x=-，得323l n x x a x xx -+=-，即23l n a x x x =-+-， ………6分 令2()3l n h x x x x=-+-，则12(1)(21)()23x x h x x x x---'=-+-=， 列表，得x1(0,)2121(,1)21 (1,)+∞()f x '－0 ＋0 －()f x递减极小值5ln 24+递增 极大值2递减………8分 由题意知，方程()a h x =有三个不同的根，故a 的取值范围是5(ln 2,2)4+. ………10分（3）因为()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-， 所以当3a ≥时，()f x 在R 上单调递增； 当03a <<时，()0f x '=的两根为1±0111 所以此时()f x在(,1-∞上递增，在(11上递减，在(1)+∞上递增； ………12分令()0f x =，得0x =，或230x x a -+= （）， 当94a ≥时，方程（）无实根或有相等实根；当904a <<时，方程（）有两根32±，………13分 从而①当3a ≥时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞； ………14分②当934a <≤时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,(11； ……15分 ③当904a <<时，函数()g x 的单调减区间为(,0)-∞,3(1,2, 3(1,2． ………16分【思路点拨】（1）当9a =-时，求出原函数的导数，找到极值点列表求出极大值；（2）原式变型为23l n a x x x =-+-，令2()3l n h x x x x=-+-，然后通过列表找到a 的取值范围；（3）()f x递增极大递减 极小 递增对a进行分类讨论即可.。
