数学分析(第8.3节有理函数和可化为有理函数的不定积分)

而
(
x
1 1)2
1
dx
arctan(
x
1)
C1 ,
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[(
x
2
x 1)2
1
1]2
dx
2( [( x
x
1) 1 1)2 1]2
dx
tx1
(t
2
2t 1)2
dt
dt (t 2 1)2
1 t2 1
dt (t 2 1)2 .
1
dt
x2 2x 2 (t 2 1)2 .
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(3)真分式总可以唯一地分解为部分分式(最简真分式) 之和.
分母中若有因子 ( x a)k : 分解式中含有因子
A1 A2 ( x a) ( x a)2
L
Ak ( x a)k
其中 A1 , A2 , , Ak都是待定的常数.
分母中若有因子 ( x2 px q)k ( p2 4q 0) :
第8章 不定积分
• 不定积分概念与基本积分公式 • 换元积分法与分部积分法 • 有理函数和可化为有理函数的不定积分
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第8.3节 有理函数和可化为 有理函数的不定积分
• 有理函数的不定积分 • 三角函数有理式的不定积分 • 某些无理根式的不定积分
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一、有理函数的不定积分
dx
1 5
1
1 x2
dx
2 ln
1
2x
1
ln(1
x2 )
1 arctan
x
C
5
5
5
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例4
求
(
x
2
x

§3 有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.返回C x B +i A(ii),p t x =+令22,,p pL r q N M =-=-则2,k 时³111æö432x x x x24910 -++-11d x12x +21(22)1 x x--+对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理函0,R 数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.因此=--ò2(1cos ,cos )d(cos )R x x x 20(,)(,).R u v R u v u =0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得2(1,)d .R t t t =--ò=òò2(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x2sin òx.)0(,d òab x32 31129 x t t-+33d òx22d223 x x x--注1对于本题来说,方法2 显然比方法1 简捷.作业P200：1（2)、（3）、（6）；2（1）、（3）、（5）。

§8.3
有理函数和可化为有理函数 的不定积分
一、有理函数 二、有理函数的不定积分 三、可化为有理函数的不定积分 四、积不出来的不定积分
一、有理函数
定义：两个多项式 Pn ( x ) , Qm ( x ) 的商
Pn ( x ) an x n a1 x a0 R( x ) Qm ( x ) bm x m b1 x b0
( x p1 x q1 ) ( x pt x qt )
其中 pi 4qi 0 (1 i t ).
2 2 4 3 2 ( x 1 ) ( x 1) x 2 x 2 x 2 x 1 如：
2
真分式分解定理：
an x n a1 x a0 bm ( x 1 ) k1 ( x s ) k s ( x 2 p1 x q1 ) l1 ( x 2 pt x qt ) l t
称为有理函数。(其中an , bm 0 )
若 n m , 称 R( x ) 为假分式 ;
若 n m , 称 R( x ) 为真分式 .
13 1 有理数：假分数=整数+真分数，如： 3 . 4 4
有理函数
长除法
假分式=多项式+真分式
2x3 5x2 3x 2 3x 3 如： 2x 1 2 2 x 2x 1 x 2x 1
1 (1) dx ln | x a | C ; xa
1 ( x a )1 k ( 2) dx C; k 1 k ( x a)
mx n ( 3) 2 dx x px q
( p 2 4q 0)
2
p 4q p （记 u x , a ） 2 4 m 1 n ( mp ) 2 2 2 d ( x px q ) du 2 2 2 x px q u a

2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln x 1 C. x 1
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
1
(1
2 x )(1
an bm
（1）
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多 项式和一个真分式之和.
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
du.
例8
1
dx cos
x
2
解法一：
t tg x 2
I
1
1
1
1
t2 t
t
2 2
dt
dt
t
c
tg
x 2
c
解法二： ( 用初等化简 )
I
1 2
dx cos2
x
sec2
x d( x) 22
tan
x 2
c
2
解法三： ( 用初等化简, 并凑微 )
d (cos
x)
1 4
1 sin