浙江温州中考数学试题解析版

专题14圆一、单选题1．（2022·宁波）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．236πcmB ．224πcmC ．216πcmD ．212πcm【答案】B【解析】4624S rl πππ==⋅⋅=侧2cm ， 故选B ．2．（2022·温州）如图，,AB AC 是O 的两条弦，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．130︒【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴∠ADO =90°，∠AEO =90°，∵∠DOE =130°，∴∠BAC =360°-90°-90°-130°=50°，∴∠BOC =2∠BAC =100°，故选：B ．3．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A ．5πm 3B ．8πm 3C ．10πm 3D ．5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】如图，连接AD ，BC ，交于O 点，∵90BDC ∠=︒ ，∴BC 是直径，∴4BC ===， ∵四边形ABDC 是矩形，∴122OC OD BC ===， ∵2CD =，∴OC OD CD ==，∴COD ∆是等边三角形，∴60COD ∠=︒，∴门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒ ， ∴改建后门洞的圆弧长是11300300410221801803BC πππ︒⨯︒⨯⨯==︒︒(m)， 故选：C4．（2022·杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（ ） A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M【答案】B【解析】解：∵点A （4，2），点P （0，2），∴P A ⊥y 轴，P A =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，，设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y +2，当y =0+2=0，x =∴点M 1（0）不在直线PB 上，当x =y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y ，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上． 故选：B ．5．（2022·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连接PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．B ．6C ．D ．【答案】C【解析】 作线段MN 中点Q ，作MN 的垂直平分线OQ ，并使OQ =12MN ，以O 为圆心，OM 为半径作圆，如图，因为OQ 为MN 垂直平分线且OQ =12MN ，所以OQ =MQ =NQ ，∴∠OMQ =∠ONQ =45°，∴∠MON =90°，所以弦MN 所对的圆O 的圆周角为45°，所以点P 在圆O 上，PM 为圆O 的弦，通过图像可知，当点P 在P '位置时，恰好过格点且P M '经过圆心O ，所以此时P M '最大，等于圆O 的直径，∵BM ＝4，BN ＝2，∴MN ==∴MQ =OQ∴OM∴2P M OM '==故选 C ．6．（2022·杭州）如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC =θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为（）A ．()cos 1cos θθ+B ．()cos 1sin θθ+C ．()sin 1sin θθ+D ．()sin 1cos θθ+【答案】D【解析】解：当△ABC 的高AD 经过圆的圆心时，此时△ABC 的面积最大，如图所示，∵AD ⊥BC ，∴BC =2BD ，∠BOD =∠BAC =θ，在Rt △BOD 中，sin θ= 1BD BD OB =，cos θ=1OD OD OB =， ∴BD =sin θ，OD =cos θ，∴BC =2BD =2sin θ，AD =AO +OD =1+cos θ，∴S △ABC =12AD •BC =12•2sin θ（1+cos θ）=sin θ（1+cos θ）． 故选：D ．二、填空题7．（2022·湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AD 所对的圆周角，则∠APD 的度数是______．【答案】30°##30度【解析】∵OC ⊥AB ，OD 为直径，∴BD AD =，∴∠AOB =∠BOD ，∵∠AOB =120°，∴∠AOD =60°，∴∠APD =12∠AOD =30°，故答案为：30°．8．（2022·宁波）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．【答案】32或65【解析】解：连接OA，①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，设圆的半径=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=32，即AD=AO=32；②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，∵12AO•AC=12OC•AD，∴AD=AO AC OC⋅，∵AO=32，AC=2，OC=4-r=52，∴AD=65，综上所述，AD的长为32或65，故答案为：32或65．9．（2022·金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知6cm,8cmAC CB==，则⊙O的半径为_____cm．【答案】253##183【解析】解：连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图所示：∵CB 与O 相切于点B ，∴OB CB ⊥，∴90CBD BDA ACB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBD 为矩形，∴8AD CB ==，6BD AC ==，设圆的半径为r cm ，在Rt △AOD 中，根据勾股定理可得：222OA OD AD =+，即r 2＝（r −6）2＋82，解得：253r =， 即O 的半径为253cm ． 故答案为：253． 10．（2022·绍兴）如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．【答案】5或354【解析】解：如图，过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，设BN =x ，则CN =BN •tan ∠CBN =3x ，∵△CAD ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴CA =CD ，EC =ED ，∠EDC =45°，∠CAN +∠ACN =90°，∠DCM +∠ACN =90°，则∠CAN =∠DCM ，在△ACN 和△CDM 中：∠CAN =∠DCM ，∠ANC =∠CMD =90°，AC =CD ，∴△ACN ≌△CDM （AAS ），∴AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，∵∠CMD =∠CED =90°，∴点C 、M 、D 、E 四点共圆，∴∠CME =∠CDE=45°，∵∠ENM =90°，∴△NME 是等腰直角三角形，∴NE =NM =CM -CN =10-2x ，Rt △ANC 中，AC =Rt △ECD 中，CD =AC ，CE 2CD ， Rt △CNE 中，CE 2=CN 2+NE 2，∴()()()()2222110331022x x x x ⎡⎤++=+-⎣⎦， 2425250x x -+=，()()4550x x --=，x =5或x =54， ∵BE =BN +NE =x +10-2x =10-x ，∴BE =5或BE =354； 故答案为：5或354； 11．（2022·杭州）如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB ，CD ，AD ．设CD 与直径AB 交于点E ．若AD =ED ，则∠B =_________度；BC AD的值等于_________．【答案】3635 2 +【解析】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴CE BE EO CE=，∴CE2=EO•BE，设EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），解得，x a（负值舍去），∴OE a，∴AE=OA-OE=a a，∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴BC EC AD AE=，∴BC AD = 故答案为：36三、解答题12．（2022·绍兴）如图，半径为6的⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点A ，交边BC 于点C ，D ，∠B=90°，连接OD ，A D ．(1)若∠ACB=20°，求AD 的长（结果保留π）．(2)求证：AD 平分∠BDO ．【答案】(1)43π；(2)见解析 【解析】(1)解：连接OA ， ∵∠ACB ＝20°，∴∠AOD ＝40°， ∴180n r AD π=， 18040⨯π⨯6=43π=． (2)证明：OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴， AB 切O 于点A ，OA AB ∴⊥，90B ∠=︒，//OA BC ∴，OAD ADB ∴∠=∠，ADB ODA ∴∠=∠，AD ∴平分BDO ∠．13．（2022·台州）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，连接AD ．(1)求证：BD CD =；(2)若⊙O 与AC 相切，求B 的度数；(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD 的中点E ．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解；(2)45B ∠=︒；(3)作图见详解【解析】 (1)证明：∵AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒， ∴AD BC ⊥， ∵AB AC =， ∴BD CD =． (2)∵O 与AC 相切， ∴90BAC ∠=︒， 又∵AB AC =， ∴45B ∠=︒．(3)如下图，点E 就是所要作的AD 的中点．14．（2022·湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的半圆O 与边AC 相切，切点为E ，过点O 作OF BC ⊥，垂足为F ．(1)求证：OF EC =；(2)若30A ∠=︒，2BD =，求AD 的长．【答案】(1)见解析；(2)1 【解析】(1)解：如图，连接OE ，∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥A C ，∵OF ⊥BC ，90C ∠=︒， ∴∠OEC ＝∠OFC ＝∠C ＝90°． ∴四边形OFCE 是矩形， ∴OF ＝E C ； (2)∵2BD =， ∴112122OE BD ==⨯=， ∵30A ∠=︒，OE ⊥AC ， ∴2212AO OE ==⨯=， ∴211AD AO DO =-=-=．15．（2022·嘉兴）如图，在廓形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知120AOB ∠=︒，6OA =，则EF 的度数为_______；折痕CD 的长为_______．【答案】 60°##60度 46【解析】作O 关于CD 的对称点M ，则ON =MN 连接MD 、ME 、MF 、MO ，MO 交CD 于N∵将CD 沿弦CD 折叠∴点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上∵将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ． ∴ME ⊥OA ，MF ⊥OB ∴90MEO MFO ∠=∠=︒∵120AOB ∠=︒∴四边形MEOF 中36060EMF AOB MEO MFO ∠=︒-∠-∠-∠=︒ 即EF 的度数为60°；∵90MEO MFO ∠=∠=︒，ME MF = ∴MEO MFO ≅（HL ）∴1302EMO FMO FME ∠=∠=∠=︒∴6cos cos30ME OM EMO ===∠︒∴MN =∵MO ⊥DC∴12DN CD ==∴CD =故答案为：60°；16．（2022·温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ． ①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 【答案】(1)158；(2)5544y x =+；(3)①97或2111；②199 【解析】(1)解：如图1，连结OD ．设半圆O 的半径为r ．∵CD 切半圆O 于点D ， ∴OD CD ⊥． ∵BE CD ⊥， ∴OD BE ∥，∴△∽△COD CBE ， ∴OD CO BE CB=， 即535r r -=， ∴158r =，即半圆O 的半径是158．(2)由（1）得：1555284CA CB AB =-=-⨯=． ∵5,4AP BQ x BQ ==， ∴54AP x =． ∵CP AP AC =+， ∴5544y x =+． (3)①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情况． ⅰ）当90RPQ ∠=︒时，如图2．∵PR CE ⊥，∴90ERP ∠=︒． ∵90E ∠=︒，∴四边形RPQE 为矩形， ∴PR QE =．∵333sin 544PR PC C y x =⋅==+， ∴33344x x +=-，∴97x =．ⅰ）当90PQR ∠=︒时，过点P 作PH BE ⊥于点H ，如图3，则四边形PHER 是矩形，∴,PH RE EH PR ==． ∵5,3CB BE ==，∴4CE ==． ∵4cos 15CR CP C y x =⋅==+， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-，由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =． 综上所述，x 的值是97或2111．②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠'∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ，∴∠EQR =∠PRQ ，∵BQ x =，5544CP x =+， ∴EQ =3-x ， ∵PR ∥BE ， ∴CPR CBE △∽△，∴CP CBCR CE=， 即：x CR +=555444，解得：CR =x +1， ∴ER =EC -CR =3-x ， 即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°， ∴45F QR EQR ∠=∠='︒ ∴90BQF ∠='︒， ∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径， ∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =， ∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-． 17．（2022·宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠．(2)求证：△≌△BDE FDG ．(3)如图2，AD 为O 的直径． ①当AB 的长为2时，求AC 的长． ②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值． 【答案】(1)902︒∠=-BFD α；(2)见解析；(3)①3；②5cos 8α=【解析】(1)∵∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，①又∵180∠+∠=︒AFB BFD ，② ②-①，得2180∠=︒-BFD α， ∴902︒∠=-BFD α．(2)由（1）得902︒∠=-BFD α，∵∠=∠=ADB ACB α，∴180902∠=︒-∠-︒-∠=FBD ADB BFD α，∴DB DF =． ∵FGAC ，∴∠=∠CAD DFG ． ∵CAD DBE ∠=∠， ∴∠=∠DFG DBE ． ∵BE FG =，∴()BDE FDG SAS △≌△． (3)①∵△≌△BDE FDG ， ∴∠=∠=FDG BDE α，∴2∠=∠+∠=BDG BDF EDG α． ∵DE DG =， ∴()11809022∠=︒-∠=︒-DGE FDG α， ∴在BDG 中，3180902∠=︒-∠-∠=︒-DBG BDG DGE α， ∵AD 为O 的直径， ∴90ABD ∠=︒．∴32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α． ∴AC 与AB 的度数之比为3∶2．∴AC 与AB 的的长度之比为3∶2， ∵2AB =， ∴3=AC ． ②如图，连结BO ．∵OB OD =，∴∠=∠=OBD ODB α，∴2∠=∠+∠=BOF OBD ODB α． ∵2∠=BDG α， ∴∠=∠BOF BDG ． ∵902∠=∠=︒-BGD BFO α，∴△∽△BDG BOF ，设BDG 与BOF 的相似比为k ， ∴==DG BDk OF BO． ∵411=OF OE ， ∴设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，， ∴114==+=+OB OD OE DE x kx ， 154==+BD DF x kx ，∴154154114114++==++BD x kx kBO x kx k， 由154114+=+kk k，得247150+-=k k ，解得154k =，23k =-（舍）， ∴11416=+=OD x kx x ，15420=+=BD x kx x ， ∴232==AD OD x ， 在Rt ABD △中，205cos 328∠===BD x ADB AD x ， ∴5cos 8α=．18．（2022·金华）如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；②以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接,,AM MN NA ．(1)求ABC ∠的度数．(2)AMN 是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值． 【答案】(1)108︒；(2)是正三角形，理由见解析；(3)15n = 【解析】(1)解：∵正五边形ABCDE ． ∴BC CD DE AE AB ====，∴360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ∵3AEC AE =，∴AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ∴1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒；(2)解：AMN 是正三角形，理由如下： 连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,∵ON OF =， ∴ON OF FN ==， ∴OFN △是正三角形，∴60OFN ∠=︒，∴60AMN OFN ∠=∠=︒， 同理60ANM ∠=︒，∴60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠， ∴AMN 是正三角形； (3)∵AMN 是正三角形，∴2120A N A N M O =∠=︒∠． ∵2AD AE =，∴272144AOD ∠=⨯︒=︒， ∵DN AD AN =-，∴14412024NOD ∠=︒-︒=︒， ∴3601524n ==． 19．（2022·丽水）如图，以AB 为直径的O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在射线AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)57352或22【解析】 【分析】（1）设CD 与AB 相交于点M ，由O 与AH 相切于点A ，得到90BAG ，由CD AB ⊥，得到90AMC ∠=，进而得到AG CD ∥，由平行线的性质推导得，CAG ACD ，AGC FCD ，最后由点A 关于CD 的对称点为E 得到FCD ACD ∠=∠即可证明．（2）过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，证明FAD ADC ∠=∠得到DP AP =，再证明CPA FPD △≌△得到PF PC =；最后根据KEF NEC △∽△及APN AFK △∽△得到25KE EF EN CE 和512PA ANAF AK ，最后根据平行线分线段成比例求解．（3）分四种情形：如图1中，当∥OC AF 时，如图2中，当∥OC AF 时，如图3中，当AC OF ∥时，如图4中，当AC OF ∥时，分别求解即可．． (1)证明：如图，设CD 与AB 相交于点M ，∵O 与AH 相切于点A ，∴90BAG ，∵CD AB ⊥，∴90AMC ∠=，∴AG CD ∥，∴CAG ACD ，AGC FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴CAG AGC ∠=∠．(2)解：过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：FCD FAD ，∵AB 为O 的直径，且CD AB ⊥，由垂径定理可知：AC AD =， ∴ACD ADC ∠=∠，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴FAD FCD ACD ADC ∠=∠=∠=∠，即FAD ADC ∠=∠， ∴DP AP =，由同弧所对的圆周角相等可知：ACP DFP ，且CPA FPD ，∴CPA FPD △≌△， ∴PC PF =，∵FK AB ⊥，AB 与CD 交于点N ，∴90FKE CNE ． ∵KEF NEC ，90FKE CNE ， ∴KEF NEC △∽△， ∴25KEEF EN CE ，设KE =2x ，EN =5x ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，5AN EN x ∴==，10AE AN NE x =+=，12AK AE KE x =+=， 又FK PN ∥，∴APN AFK ， ∴551212PA ANx AF AK x ． ∵FCD CDA ，∴CF AD ∥， ∴57DPAP AP CP PF AF AP ； (3)解：分类讨论如下：解：如图1中，当∥OC AF 时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，则CAG ACD DCF AFG α∠=∠=∠=∠=，∵∥OC AF ，OCF AFC α∴∠=∠=，OC OA =，3OCA OAC α∴∠=∠=，45OAG ∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，OC OF =，OA OF =，22.5OFC OCF AFC ∴∠=∠-∠=︒，45OFA OAF ∴∠=∠=︒，AF ∴==，∵∥OC AF ，AE AF OE OC∴=∴， 1OA =，2AE ∴=如图2中，当∥OC AF 时，连接OC ，设CD 交AE 点M ．设OAC α∠=，∵∥OC AF ，FAC OCA α∴∠=∠=，2COE FAE α∴∠=∠=，AFD D ∠=∠，AGF D ∠=∠，3AGC AFG AEC FAE α∴∠=∠=∠+∠=， 90AGC AEC ∠+∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，245α=︒，COM ∴∆是等腰直角三角形，OC ∴，OM ∴=1AM =，22AE AM ∴==如图3中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，2ACF ACD DCF α∠=∠+∠=， ∵AC OF ∥，2CFO ACF α∴∠=∠=，4CAO ACO α∴∠=∠=，180AOC OAC ACO ∠+∠+∠=︒， 10180α∴=︒，18α∴=︒，36COE ECO CFO ∴∠=∠-∠=︒， OCE FCO ∴∆∆ 、，2OC CE CF ∴=⋅ 、， ()11CE CE ∴=+ 、，CE AC OE ∴===AE OA OE ∴=-； 如图4中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，BF ．设FAO α∠=，∵AC OF ∥，CAF OFA α∴∠=∠=，2COF BOF α∴∠=∠=，AC AE =，AEC CAE EFB ∴∠=∠=∠， BF BE ∴=，由OCF OBF ∆≅∆，CF BF BE ∴==，E COF ∠=∠，COF CEO ∴∆∆，2OC CE CF ∴=⋅，BE CF ∴==AE AB BE ∴=+=．综上所述，满足条件的AE 的长为22352或。

2022年浙江温州中考数学一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)1.计算9+(―3)的结果是()A.6B.―6C.3D.―32.某物体如图所示，它的主视图是()A B C D3.某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示.若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有()A.75人B.90人C.108人D.150人4.化简(―a)3·(―b)的结果是()A.―3abB.3abC.―a3bD.a3b5. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为()A.19B.29C.49D.596.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是()A.36B.―36C.9D.―97.小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是()A BC D8.如图，AB，AC是☉O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OB，OC.若∠DOE=130°，则∠BOC的度数为()A.95°B.100°C.105°D.130°9.已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y=(x―1)2―2上，点A在点B 左侧，下列选项正确的是() A.若c<0，则a<c<b B.若c<0，则a<b<cC.若c>0，则a<c<bD.若c>0，则a<b<c10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连接CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L。

若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=√10+√2，则CH的长为()A.√5B.3+√52C.2√2D.√10二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)11.分解因式：m2―n2=.12.某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树株。

专题07 分式与分式方程一、单选题1．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x =-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量 【答案】D【解析】 解：由50004000302x x =-可得： 由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价， x 表示的是购买篮球的数量，故选D2．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ）A ．fv f v -B ．f v fv -C ．fv v f -D ．v f fv- 【答案】C【解析】 解：∵()111v f f u v =+≠， ∴111f u ν=+，即111u f ν=-， ∴1f u f νν-=， ∴f u f νν=-， 故选：C ．二、填空题3．（2022·湖州）当a ＝1时，分式1a a+的值是______． 【答案】2【解析】解：当a =1时，11121a a ++==． 故答案为：2．4．（2022·温州）计算：22x xy xy x xy xy +-+=___________． 【答案】2【解析】 解：2222x xy xy x xy xy xy xy+-+==， 故答案为：2．5．（2022·金华）若分式23x -的值为2，则x 的值是_______． 【答案】4【解析】 解：由题意得：223x =- 去分母：()223x =-去括号：226x =-移项，合并同类项：28x =系数化为1：4x =经检验，x =4是原方程的解，故答案为：4；6．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________． 【答案】12- 【解析】 解：∵11ba b a ⊗=+， ∴()211121(1)11x x x x x x x x x x x ++++⊗=+==+++， 又∵21(1)++⊗=x x x x ， ∴22121x x x x x++=+， ∴()()()221210x x x x x ++-+=，∴()()2210x x x x +-+=，∴()2210x x +=， ∵21(1)++⊗=x x x x即0x ≠， ∴210x +=，解得12x =-， 经检验12x =-是方程22121x x x x x++=+的解，故答案为：12-． 7．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314x x -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4x x x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-【答案】5【解析】解：依题意得：3114x x -+=--，即3204x x -+=-， 去分母得：3-x +2(x -4)=0，去括号得：3-x +2x -8=0，解得：x =5，经检验，x =5是方程的解，故答案为：5．8．（2022·丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且a b >．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；（2）若代数式222a ab b --的值为零，则ABCD PQMNS S 四边形矩形的值是___________． 【答案】 -a b 3+ 【解析】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，,AE a DE b ==，PQ a b ∴=-，故答案为：-a b ；（2）2220a ab b --=，2222222()2()()0a ab b b a b b a b a b ∴-+-=--=--=，0a b ∴-=或0a b -=，即a b =（负舍）或a b =这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b∴==， ()()()()()()()()22555555ABCDPQMN a b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab ⎛⎫++⋅++⋅⎪+⎝⎭∴===-⎛⎫----⋅ ⎪⎝⎭四边形矩形， 2222222222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b ++++-===+-+-+，22()3b b ==+ 三、解答题9．（2022·嘉兴）解方程：3121x x -=-． 【答案】2x =-【解析】 3121x x -=-， 去分母：321,x x 整理得：2,x =-经检验：2x =-是原方程的根， 所以原方程的根为： 2.x =-。

2017 年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（共10 小题，每小题 4 分，共 40 分）：1．（4 分）﹣ 6 的相反数是（）A．6B．1C．0D．﹣ 62．（4 分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100 人，则乘公共汽车到校的学生有（）A．75 人B．100 人C．125 人D．200 人3．（4 分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（4 分）下列选项中的整数，与最接近的是（）A．3B．4C．5D．65．（4 分）温州某企业车间有50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个）5678人数（人）315 2210表中表示零件个数的数据中，众数是（）A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个6．（4 分）已知点（﹣ 1，y ），（4， y ）在一次函数 y=3x﹣2 的图象上，则 y ，1 2 1y2， 0 的大小关系是（）A．0＜y ＜ y B．y ＜0＜y C． y ＜y ＜0 D．y ＜0＜y11 2 1 2 1 2 27．（4 分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos α=，小上升的高度是（）A．5 米 B．6 米 C．6.5 米D．12 米8．（4 分）我知道方程 x2+2x 3=0 的解是 x1=1，x2= 3，出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3） 3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2= 3C．x1= 1，x2 =3D． x1= 1，x2= 3 9．（4 分）四个全等的直角三角形按示方式成正方形ABCD，各直角的中点作垂，成面S 的小正方形 EFGH．已知 AM Rt△ABM 直角， AM=2 EF，正方形 ABCD的面（）A．12S B．10S C．9S D．8S10．（ 4 分）我把1，1，2， 3，5， 8， 13，21，⋯数称斐波那契数列，了一步研究，依次以列数半径作90° 弧，，，⋯得到斐波那契螺旋，然后次P1 2，2 3 ， 3 4，⋯得到螺旋折（如），已P P P P P知点 P1（，），2（，），3（，），折上的点9 的坐（）0 1 P1 0 P 0 1 PA ．（﹣ 6，24）B ．（﹣ 6，25）C ．（﹣ 5， 24）D ．（﹣ 5，25）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）：．（ 分）分解因式： m 2+4m= ． 11 512．（ 5 分）数据 1，3，5，12，a ，其中整数 a 是这组数据的中位数，则该组数 据的平均数是．13．（ 5 分）已知扇形的面积为 3π，圆心角为 120°，则它的半径为 ．14．（5 分）甲、乙工程队分别承接了 160 米、200 米的管道铺设任务，已知乙比 甲每天多铺设 5 米，甲、乙完成铺设任务的时间相同， 问甲每天铺设多少米？设 甲每天铺设 x 米，根据题意可列出方程：．15．（ 5 分）如图，矩形 OABC 的边 OA ，OC 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 在第一象 限，点 D 在边 BC 上，且∠ AOD=30°，四边形 OA ′B ′D 与四边形 OABD 关于直线 OD对称（点 A ′和 A ， B ′和 B 分别对应）．若 AB=1，反比例函数 y=（k ≠ 0）的图象恰好经过点 A ′， B ，则 k 的值为．16．（ 5 分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A ，出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A至出水管 BD 的距离为 12cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2 所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为cm ．三、解答题（共8 小题，共 80 分）：17．（ 10 分）（ 1）计算： 2×（﹣ 3）+（﹣ 1）2+；（ 2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（ a﹣2）．18．（ 8 分）如图，在五边形ABCDE中，∠ BCD=∠ EDC=90°， BC=ED，AC=AD．（1）求证：△ ABC≌△ AED；（2）当∠ B=140°时，求∠ BAE的度数．19．（8 分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级 480 名学生选“数学故事”的人数．（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 A， B， C 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 A 班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）20．（ 8 分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点 A（2，3）， B（ 4， 4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（ 1）在图 1 中画一个△ PAB，使点 P 的横、纵坐标之和等于点 A 的横坐标；（ 2）在图 2 中画一个△ PAB，使点 P， B 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的 4 倍．21．（ 10 分）如图，在△ ABC中， AC=BC，∠ ACB=90°，⊙ O（圆心 O 在△ ABC 内部）经过 B、C 两点，交 AB于点 E，过点 E 作⊙ O 的切线交 AC 于点 F．延长 CO 交AB 于点 G，作 ED∥AC交 CG于点 D（1）求证：四边形 CDEF是平行四边形；（2）若 BC=3，tan∠DEF=2，求 BG的值．22．（ 10 分）如图，过抛物线y=x2﹣ 2x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为﹣ 2．（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP的对称点 D；①连结 BD，求 BD 的最小值；②当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式．23．（ 12 分）小黄准备给长 8m，宽 6m 的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD 区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（ 1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为 300 元/m 2，面积为 S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为 200 元/m 2，且两区域的瓷砖总价为不超过 12000 元，求 S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足 AB： BC=2： 3，区域Ⅱ四周宽度相等①求 AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为 300 元/m 2，乙、丙瓷砖单价之比为 5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800 元，求丙瓷砖单价的取值范围．24．（14 分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB 于点M ，且AM=BM，P 是射线MN 上一动点， E，D 分别是 PA，PB的中点，过点 A，M ，D 的圆与 BP 的另一交点 C （点 C 在线段 BD上），连结 AC，DE．（ 1）当∠ APB=28°时，求∠ B 和的度数；（2）求证： AC=AB．（3）在点 P 的运动过程中①当 MP=4 时，取四边形 ACDE一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为 F，将点 F 绕点 D 旋转 90°得到点 G，当点 G 恰好落在MN 上时，连结 AG，CG， DG， EG，直接写出△ ACG和△ DEG的面积之比．2017 年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题 4 分，共 40 分）：1．（4 分）﹣ 6 的相反数是（）A．6B．1C．0D．﹣ 6【分析】根据相反数的定义求解即可．【解答】解：﹣ 6 的相反数是 6，故选： A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数， 0 的相反数是 0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（4 分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100 人，则乘公共汽车到校的学生有（）A．75 人B．100 人C．125 人D．200 人【分析】由扇形统计图可知，步行人数所占比例，再根据统计表中步行人数是100人，即可求出总人数以及乘公共汽车的人数；【解答】解：所有学生人数为100÷20%=500（人）；所以乘公共汽车的学生人数为500×40%=200（人）．故选 D．【点评】此题主要考查了扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．3．（4 分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，故选： C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．（4 分）下列选项中的整数，与最接近的是（）A．3B．4C．5D．6【分析】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行解答即可．【解答】解：∵ 16＜17＜ 20.25，∴4＜＜4.5，∴与最接近的是 4．故选： B．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键．5．（4 分）温州某企业车间有50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个）5678人数（人）315 2210表中表示零件个数的数据中，众数是（）A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个【分析】根据众数的定义，找数据中出现最多的数即可．【解答】解：数字 7 出现了 22 次，为出现次数最多的数，故众数为7 个，故选 C．【点评】本题考查了众数的概念．众数是数据中出现次数最多的数．众数不唯一．6．（4 分）已知点（﹣ 1，y1），（4， y2）在一次函数y=3x﹣2 的图象上，则 y1，y2， 0 的大小关系是（）A．0＜y1＜ y2B．y1＜0＜y2C． y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、2y 的值，将其与 0 比较大小后即可得出结论．【解答】解：∵点（﹣ 1，y1），（4，y2）在一次函数 y=3x﹣2 的图象上，∴y1=﹣ 5， y2=10，∵ 10＞0＞﹣ 5，∴y1＜0＜y2．故选 B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出 y1、 y2的值是解题的关键．7．（4 分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13 米，已知 cos α=，则小车上升的高度是（）A．5 米 B．6 米 C．6.5 米D．12 米【分析】在 Rt△ ABC中，先求出 AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图 AC=13，作 CB⊥AB，∵ cosα= =，∴AB=12，∴BC==132﹣ 122=5，∴小车上升的高度是5m．故选 A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（4 分）我们知道方程 x2+2x﹣ 3=0 的解是 x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣ 3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣ 1，x2 =3D． x1=﹣ 1，x2=﹣3 【分析】先把方程（ 2x+3）2+2（2x+3）﹣ 3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程，利用题中的解得到 2x+3=1 或 2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：把方程（ 2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程，所以 2x+3=1 或 2x+3=﹣ 3，所以 x1=﹣1，x2=﹣3．故选 D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．（4 分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形 EFGH．已知 AM 为 Rt△ABM 较长直角边， AM=2 EF，则正方形 ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S【分析】AM=2a．BM=b．正方形 ABCD的面 =4a2+b2，由意可知 EF=（2a b） 2（a b）=2a b 2a+2b=b，由此即可解决．【解答】解： AM=2a．BM=b．正方形 ABCD的面 =4a2+b2由意可知 EF=（2a b） 2（a b）=2a b 2a+2b=b，∵AM=2 EF，∴ 2a=2 b，∴a= b，∵正方形 EFGH的面 S，∴b2=S，∴正方形 ABCD的面 =4a2+b2=9b2 =9S，故 C．【点】本考正方形的性、勾股定理、段的垂直平分的定等知，解的关是灵活运用所学知解决，属于中考中的．10．（ 4 分）我把1，1，2， 3，5， 8， 13，21，⋯数称斐波那契数列，了一步研究，依次以列数半径作90° 弧，，，⋯得到斐波那契螺旋，然后次P1 2，2 3 ， 3 4，⋯得到螺旋折（如），已P P P P P知点 P1（，），2（，），3（，），折上的点9 的坐（）0 1 P1 0 P 0 1 PA．（﹣ 6，24） B．（﹣ 6，25） C．（﹣ 5， 24） D．（﹣ 5，25）【分析】观察图象，推出 P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意， P5在 P2的正上方，推出 P9在 P6的正上方，且到 P6的距离=21+5=26，所以 P9的坐标为（﹣ 6，25），故选 B．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定 P9的位置．二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）：11．（ 5 分）分解因式： m2+4m= m（m+4）．【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解： m2+4m=m（m+4）．故答案为： m（m+4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．（ 5 分）数据 1，3，5，12，a，其中整数 a 是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 4.8 或 5 或 5.2．【分析】根据中位数的定义确定整数 a 的值，由平均数的定义即可得出答案．【解答】解：∵数据 1，3，5，12，a 的中位数是整数 a，∴a=3 或 a=4 或 a=5，当 a=3 时，这组数据的平均数为=4.8，当 a=4 时，这组数据的平均数为=5，当 a=5 时，这组数据的平均数为=5.2，故答案为： 4.8 或 5 或 5.2．【点评】本题主要考查了中位数和平均数，解题的关键是根据中位数的定义确定a 的值．13．（ 5 分）已知扇形的面积为 3π，圆心角为 120°，则它的半径为3．【分析】根据扇形的面积公式，可得答案．【解答】解：设半径为 r，由题意，得πr2×=3π，解得 r=3，故答案为： 3．【点评】本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．14．（5 分）甲、乙工程队分别承接了 160 米、200 米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设 5 米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设 x 米，根据题意可列出方程：=．【分析】设甲每天铺设x 米，则乙每天铺设（ x+5）米，根据铺设时间 =和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．【解答】解：设甲工程队每天铺设x 米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．故答案是：=．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．15．（ 5 分）如图，矩形 OABC的边 OA，OC分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 在第一象限，点 D 在边 BC上，且∠ AOD=30°，四边形 OA′B′D与四边形 OABD关于直线第14页（共 32页）对称（点 A′和 A， B′和 B 分别对应）．若 AB=1，反比例函数 y=（k≠0）的图象恰好经过点 A′， B，则 k 的值为．【分析】设 B（m， 1），得到 OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′ OD=∠AOD=30°，求得∠ A′ OA=60，°过 A′作 A′E⊥OA 于 E，解直角三角形得到A′（m，m），列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形 ABCO是矩形， AB=1，∴设 B（m， 1），∴OA=BC=m，∵四边形 OA′B′D与四边形 OABD关于直线 OD 对称，∴OA′=OA=m，∠ A′OD=∠AOD=30°，∴∠ A′OA=60，°过 A′作 A′E⊥ OA 于 E，∴OE= m，A′E= m，∴A′（ m， m），∵反比例函数 y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴m? m=m，∴m=，∴k=．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（ 5 分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管 BD 的距离为 12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图 2 所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心E，则点 E 到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【分析】先建立直角坐标系，过 A 作 AG⊥ OC于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MP⊥AG 于 P，根据△ ABQ∽△ ACG，求得 C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和 B（ 12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把 C（20，0）， B（ 12，24）代入抛物线，可得抛物线为 y=﹣x2+x+24，最后根据点 E 的纵坐标为 10.2，得出点 E的横坐标为 6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过 A 作 AG⊥ OC于 G，交 BD 于 Q，过M 作 MP⊥AG 于 P，由题可得， AQ=12， PQ=MD=6，故 AP=6，AG=36，∴Rt△APM 中， MP=8，故 DQ=8=OG，∴BQ=12﹣ 8=4，由BQ∥CG可得，△ ABQ∽△ ACG，∴= ，即 = ，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（ 20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和 B（ 12，24），∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20， 0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为 y=﹣ x2+ x+24，又∵点 E的纵坐标为 10.2，∴令 y=10.2，则 10.2=﹣x2+ x+24，解得 x1=6+8，x2=6﹣8（舍去），∴点 E 的横坐标为 6+8，又∵ ON=30，∴EH=30﹣（ 6+8 ） =24﹣8 ．故答案为： 24﹣ 8 ．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．三、解答题（共8 小题，共 80 分）：17．（ 10 分）（ 1）计算： 2×（﹣ 3）+（﹣ 1）2+；（ 2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（ a﹣2）．【分析】（1）原式先计算乘方运算，化简二次根式，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．（ 2）运用平方差公式即可解答．【解答】解：（1）原式 =﹣6+1+2 =﹣5+2；（2）原式 =1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a．【点评】本题考查了平方差公式，实数的运算以及单项式乘多项式．熟记实数运算法则即可解题，属于基础题．18．（ 8 分）如图，在五边形ABCDE中，∠ BCD=∠ EDC=90°， BC=ED，AC=AD．（1）求证：△ ABC≌△ AED；（2）当∠ B=140°时，求∠ BAE的度数．【分析】（1）根据∠ ACD=∠ADC，∠ BCD=∠ EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用 SAS即可判定全等三角形；（ 2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．【解答】（1）证明：∵AC=AD，∴∠ ACD=∠ADC，又∵∠ BCD=∠EDC=90°，∴∠ ACB=∠ADE，在△ ABC和△ AED中，，∴△ ABC≌△ AED（SAS）；（2）解：当∠ B=140°时，∠E=140°，又∵∠ BCD=∠EDC=90°，∴五边形 ABCDE中，∠ BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．19．（8 分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级 480 名学生选“数学故事”的人数．（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 A， B， C 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 A 班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）【分析】（1）利用样本估计总体，用480 乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480 名学生选“数学故事”的人数；（2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）480×=90，估计该校七年级480 名学生选“数学故事”的人数为 90 人；（ 2）画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，所以他和小慧被分到同一个班的概率 = = ．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．20．（ 8 分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3）， B（ 4， 4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（ 1）在图 1 中画一个△ PAB，使点 P 的横、纵坐标之和等于点 A 的横坐标；（ 2）在图 2 中画一个△ PAB，使点 P， B 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的 4 倍．【分析】（1）设 P（x， y），由题意 x+y=2，求出整数解即可解决问题；（2）设 P（x，y），由题意 x2+42=4（4+y），求出整数解即可解决问题；【解答】解：（1）设 P（x，y），由题意 x+y=2，∴P（ 2， 0）或（ 1，1）或（ 0， 2）不合题意舍弃，△ PAB如图所示．（ 2）设 P（x，y），由题意 x2+42=4（4+y），整数解为（ 2，1）或（ 0，0）等，△ PAB如图所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（ 10 分）如图，在△ ABC中， AC=BC，∠ ACB=90°，⊙ O（圆心 O 在△ ABC 内部）经过 B、C 两点，交 AB于点 E，过点 E 作⊙ O 的切线交 AC 于点 F．延长 CO 交AB 于点 G，作 ED∥AC交 CG于点 D（1）求证：四边形 CDEF是平行四边形；（2）若 BC=3，tan∠DEF=2，求 BG的值．【分析】（1）连接 CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠ B=45°，根据切线的性质得到∠ FEO=90°，得到 EF∥OD，于是得到结论；（ 2）过 G 作 GN⊥BC 于 N，得到△ GMB 是等腰直角三角形，得到 MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等量代换得到∠ CGM=∠ DEF，根据三角函数的定义得到 CM=2GM，于是得到结论．【解答】解：（1）连接 CE，∵在△ ABC中， AC=BC，∠ ACB=90°，∴∠ B=45°，∴∠ COE=2∠ B=90°，∵EF是⊙ O 的切线，∴∠FEO=90°，∴ EF∥OC，∵DE∥CF，∴四边形 CDEF是平行四边形；（2）过 G 作 GN⊥BC于 N，∴△ GMB 是等腰直角三角形，∴ MB=GM，∵四边形 CDEF是平行四边形，∴∠ FCD=∠FED，∵∠ ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，∴∠ CGM=∠ ACD，∴∠ CGM=∠ DEF，∵ tan∠DEF=2，∴ tan∠ CGM= =2，∴CM=2GM，∴CM+BM=2GM+GM=3，∴GM=1，∴BG= GM= ．第22页（共 32页）【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（ 10 分）如图，过抛物线y=x2﹣ 2x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为﹣ 2．（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP的对称点 D；①连结 BD，求 BD 的最小值；②当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式．【分析】（1）首先确定点 A 的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点 B 坐标；（ 2）①由题意点 D 在以 O 为圆心 OC为半径的圆上，推出当O、D、 B 共线时，BD 的最小值 =OB﹣OD；②当点 D 在对称轴上时，在 Rt△OD=OC=5，OE=4，可得 DE===3，求出 P、D 的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意 A（﹣ 2，5），对称轴 x=﹣=4，∵A、 B 关于对称轴对称，∴ B（ 10，5）．（ 2）①如图 1 中，由题意点 D 在以 O 为圆心 OC为半径的圆上，∴当 O、D、 B 共线时， BD 的最小值 =OB﹣OD= ﹣5=5 ﹣5．②如图 2 中，图2当点 D 在对称轴上时，在Rt△ ODE中， OD=OC=5，OE=4，∴ DE===3，∴点 D 的坐标为（ 4，3）．设PC=PD=x，在 Rt△PDK中， x2=（4﹣x）2+22，∴ x= ，∴ P（，5），∴直线 PD的解析式为 y=﹣ x+ ．【点评】本题考查抛物线与 X 轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．23．（ 12 分）小黄准备给长 8m，宽 6m 的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形 ABCD 区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足 PQ∥AD，如图所示．（ 1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为 300 元/m 2，面积为 S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为 200 元/m 2，且两区域的瓷砖总价为不超过 12000 元，求 S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足 AB： BC=2： 3，区域Ⅱ四周宽度相等①求 AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为 300 元/m 2，乙、丙瓷砖单价之比为 5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为 4800 元，求丙瓷砖单价的取值范围．【分析】（1）根据题意可得 300S+（48﹣ S） 200≤ 12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为 a，则由题意（ 6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为 5x 元/m 2和 3x 元/m 2，则甲的单价为（ 300﹣3x）元/m 2，由 PQ∥AD，可得甲的面积 =矩形 ABCD的面积的一半 =12，设乙的面积为s，则丙的面积为（ 12﹣s），由题意 12（300﹣ 3x）+5x?s+3x?（12﹣ s）=4800，解得 s= ，由 0＜ s＜ 12，可得 0＜＜ 12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意 300S+（ 48﹣S）200≤12000，解得 S≤24．∴ S的最大值为 24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为 a，则由题意（ 6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得 a=1，∴ AB=6﹣ 2a=4， CB=8﹣ 2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为 5x 元/m 2和 3x 元/m 2，则甲的单价为（ 300﹣3x）元/m 2，∵PQ∥AD，∴甲的面积 =矩形 ABCD的面积的一半 =12，设乙的面积为 s，则丙的面积为（ 12 ﹣ s），由题意 12（300﹣ 3x）+5x?s+3x?（12﹣ s）=4800，解得 s=，∵0＜ s＜12，∴0＜＜12，又∵ 300﹣3x＞0，综上所述， 50＜ x＜100， 150＜3x＜300，∴丙瓷砖单价 3x 的范围为 150＜3x＜300 元/m 2．【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．24．（14 分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB 于点M ，且AM=BM，P 是射线MN 上一动点， E，D 分别是 PA，PB的中点，过点 A，M ，D 的圆与 BP 的另一交点 C （点 C 在线段 BD上），连结 AC，DE．（ 1）当∠ APB=28°时，求∠ B 和的度数；（2）求证： AC=AB．（3）在点 P 的运动过程中①当 MP=4 时，取四边形 ACDE一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为 F，将点 F 绕点 D 旋转 90°得到点 G，当点 G 恰好落在MN 上时，连结 AG，CG， DG， EG，直接写出△ ACG和△ DEG的面积之比．【分析】（1）根据三角形 ABP是等腰三角形，可得∠ B 的度数，再连接 MD，根据MD 为△ PAB的中位线，可得∠ MDB=∠APB=28°，进而得到 =2∠MDB=56°；（2）根据∠ BAP=∠ ACB，∠ BAP=∠B，即可得到∠ ACB=∠B，进而得出 AC=AB；（3）①记 MP 与圆的另一个交点为 R，根据 AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR= ，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠ QCD=90°时，当∠ QDC=90°时，当∠ AEQ=90°时，即可求得MQ 的值为或或；②先判定△ DEG是等边三角形，再根据GMD=∠ GDM，得到 GM=GD=1，过 C 作CH⊥AB 于 H，由∠ BAC=30°可得 CH= AC=1=MG，即可得到 CG=MH=﹣1，进而得出 S△ACG= CG×CH=，再根据S△DEG=，即可得到△ ACG和△ DEG的面积之比．【解答】解：（1）∵ MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠ B=76°，如图 1，连接 MD，∵MD 为△PAB的中位线，∴ MD∥AP，∴∠ MDB=∠ APB=28°，∴ =2∠ MDB=56°；（2）∵∠ BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠ BAP=180°﹣∠ APB﹣∠ B，∠ ACB=180°﹣∠ BAC﹣∠ B，∴∠ BAP=∠ACB，∵∠ BAP=∠B，∴∠ ACB=∠B，∴AC=AB；（ 3）①如图 2，记 MP 与圆的另一个交点为R，∵MD 是 Rt△MBP 的中线，∴ DM=DP，∴∠ DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ ACR=∠AMR=90°，2 2 2 2 2∴ AM +MR =AR=AC +CR，2 2 2 2∴ 1 +MR =2 +PR，∴12+（ 4﹣ PR）2=22+PR2，∴PR= ，∴MR= ，Ⅰ ．当∠ ACQ=90时°， AQ 为圆的直径，∴Q 与 R 重合，∴MQ=MR= ；Ⅱ ．如图 3，当∠ QCD=90时°，在 Rt△QCP中， PQ=2PR=，∴MQ= ；Ⅲ．如图 4，当∠ QDC=90时°，∵BM=1，MP=4，∴ BP= ，∴ DP= BP=，∵cos∠ MPB= = ，∴ PQ= ，∴ MQ= ；Ⅳ ．如图 5，当∠ AEQ=90时°，由对称性可得∠ AEQ=∠ BDQ=90°，∴MQ= ；综上所述， MQ 的值为或或；②△ ACG和△ DEG的面积之比为．理由：如图 6，∵ DM∥ AF，∴ DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，∴△ DEG是等边三角形，∴∠ EDF=90°﹣ 60°=30°，∴∠ DEF=75°=∠MDE，∴∠ GDM=75°﹣60°=15°，∴∠ GMD=∠ PGD﹣∠ GDM=15°，∴ GMD=∠GDM，∴ GM=GD=1，过 C 作 CH⊥AB 于 H，由∠ BAC=30°可得 CH= AC= AB=1=MG， AH=，∴CG=MH= ﹣1，∴S△ACG= CG×CH=，∵S△DEG= ，∴ S△ACG： S△DEG=．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含 30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．。