2014年浦东新区一模数学(理科含答案)

2014届高中数学·一模汇编（专题：函数）2014届高中数学·一模汇编 函数一、填空题：1、函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．2、已知函数)(x f y =存在反函数)(1x fy -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(，则)1(1-f 的值是____3、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为______4、若函数1()1f x x =-(1)x ≠的反函数为1()f x -，则11()2f -= 5、对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①若)(x f 是奇函数，则函数(1)f x -的图像关于点(1,0)A 对称； ②若)(x f 是偶函数，则函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称； ③若2是()f x 的一个周期，则对任意的R x ∈，都有(1)()f x f x -=-； ④函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是 ．6、对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为 7、函数f （x ）=4x（x ＞1）的反函数f ﹣1（x ）= 8、已知函数y=f （x ），任取t ∈R ，定义集合：．设M t ，m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h （t ）=M t ﹣m t ．则：（1）若函数f （x ）=x ，则h （1）= ； （2）若函数，则h （t ）的最大值为9、函数()()21log 2+-=x x x f 的定义域是10、已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是11、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且在),0[∞+上单调递增，则满足)1()(f m f < 的实数m 的范围是 ．12、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2141)(+-=，则此函数的值域为 13、已知函数x x f 10)(=，对于实数m 、n 、p 有)()()(n f m f n m f +=+)()()()(p f n f m f p n m f ++=++，则p 的最大值等于 14、函数f (x )=3x –2的反函数f–1(x )=_____15、已知11)(+-=x x x f ，45)2(=x f (其中)0>x ，则=x 16、已知函数11()24x x f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=________ 17、函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -=18、函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是19、已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =20、函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f21、已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是22、要使函数23y x ax =-+在区间[2,3]上存在反函数，则实数a 的取值范围是23、已知定义域为R 上的偶函数f(x )在(,0]-∞上是减函数，且1()22f =，则不等式(2)2xf >的解集为 24、在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是25、已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ______26、函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为_________ 27、已知函数⎩⎨⎧≤>=.0,,0,log )(22x x x x x f 则不等式1)(>x f 的解集为_______． 28、设1,0≠>a a ，函数22sin 2)(-+=x a x f xπ(0>x )有四个零点，则a 的值为29、设()x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()=1f 30、已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称，则m =31、函数f(x)=-),(122R b a b b ax x ∈+-++对任意实数x 有)1()1(x f x f +=-成立，若当x ]1,1[-∈时0)(>x f 恒成立，则b 的取值范围是_________.32、设a 为非零实数，偶函数1||)(2+-+=m x a x x f (x ∈R )在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 .二、选择题：1、函数2xy =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时，方程()b g a =表示的图形可以是 （ ）A ．B ．C ．D ．2、指数函数()()0,1xf x aa a =≠且>在R 上是减函数，则函数()()22g x a x =-在R 上的单调性为 （ ）A.单调递增B.单调递减C.在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减ab O-4 4 ab O4-4 a b O 4-4 ab O-4 43、对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 （ ） A. ），（313-1+ B.），（223-1 C. ），（2222- D.），（3-122- 4、设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间”B ．函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”5、空间过一点作已知直线的平行线的条数（ ）A ．0条B ．1条C ．无数条D ．0或1条6、设f （x ）是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．f （x ）f （﹣x ）是奇函数 B ．f （x ）|f （﹣x ）|是奇函数 C ．f （x ）﹣f （﹣x ）是偶函数 D ．f （x ）+f （﹣x ）是偶函数7、已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ） (A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013218、在下列幂函数中，是偶函数且在),0(+∞上是增函数的是 ( ) A ．2-=x y ； B ．21-=xy ； C ．31x y =； D ．32x y =BCAO三、解答题：1、已知函数2)(++=xmx x f （m 为实常数）． （1）若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求实数m 的值； （2）若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；（3）设0<m ，若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，求k 的取值范围．2、已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =. (1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.3、已知函数xx a x x f -+-=1log 1)(2为奇函数. （1）求常数a 的值；（2）判断函数的单调性，并说明理由；（3）函数)(x g 的图象由函数)(x f 的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出)(x g 的一个对称中心，若1)(=b g ，求)4(b g -的值。

例 2014年上海市浦东新区中考模拟第24题 如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C (0,－3)，且OA ＝2OC ．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标；（2）求tan ∠MAC 的值；（3）如果点D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD ＝45°，求点D 的坐标．图1满分解答（1）如图2，由C (0,－3)，OA ＝2OC ，得OC ＝3，OA ＝6．所以A (6, 0)． 将A (6, 0)、C (0,－3)代入214y x bx c =++，得960,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得b ＝－1，c ＝－3． 所以抛物线的解析式为22113(2)444y x x x =--=--． 顶点M 的坐标为(2,－4)．图2 图3（2）由A (6, 0)、M (2,－4)，得A 、M 两点间的水平距离、垂直距离都为4． 所以直线AM 与坐标轴的夹角为45°．如图3，设直线AM 与y 轴交于点N ，那么ON ＝OA ＝6．作CH ⊥AM 于H ，作HG ⊥y 轴于G ，那么△CHN 、△NGH 都是等腰直角三角形．由ON ＝6，OC ＝3，得CN ＝3．因此NG ＝1.5，GO ＝4.5．所以tan ∠MAC ＝ 1.514.53CH NH NG HA HA GO ====．（3）如图4，设抛物线的对称轴直线x ＝2与x 轴的交点为E ． ①当点D 在AC 上方时，因为∠CAD ＝∠NAO ＝45°，所以∠DAE ＝∠CAN ．在Rt △ADE 中，AE ＝4，tan ∠DAE ＝13．所以DE ＝43．此时点D 的坐标为4(2,)3．②当点D ′在AC 下方时，因为∠CAD ＝∠CAD ′＝45°， 所以∠DAD ′＝90°．因此∠AD ′D ＝∠DAE ．在Rt △AD ′E 中，AE ＝4，tan ∠AD ′E ＝13．所以D ′E ＝12．此时点D ′的坐标为(2,－12)． 图3。

2014年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y＝log2（x﹣2）的定义域是．2．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝．3．（4分）已知函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），若函数y＝f（x﹣1）的图象经过点（3，1），则f﹣1（1）的值是．4．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则a8的值是．5．（4分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．6．（4分）已知θ为第二象限角，，则＝．7．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．8．（4分）分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．9．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（﹣7，3），点C在直线y＝4上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则的最小值为．10．（4分）若存在，则实数r的取值范围是．11．（4分）在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y＝0与x+3y＝0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为．12．（4分）设集合A＝{（x，y）|（x﹣4）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2＝1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是．13．（4分）已知函数是偶函数，直线y＝t与函数f （x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|＝|BC|，则实数t的值为．14．（4分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n级分形图．则n级分形图的周长为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设向量，，则“∥”是“x＝2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．120C．90D．4517．（5分）将函数y＝sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（）A．B．C．πD．18．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f （x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）如图，正三棱锥A﹣BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC 的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．20．（14分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）＝1，，求△ABC的面积．21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|P A|2+|PB|2为定值．22．（16分）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．23．（18分）数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1＝t•S n+a（t≠0）．设b n＝S n+1，c n＝k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当t＝1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．2014年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y＝log2（x﹣2）的定义域是（2，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣2＞0，即x＞2，∴函数的定义域为（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．2．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝．【解答】解：∵复数z满足，∴z＝，化为4z＝，即z＝，∴|z|＝＝．故答案为：．3．（4分）已知函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），若函数y＝f（x﹣1）的图象经过点（3，1），则f﹣1（1）的值是2．【解答】解析：若函数y＝f（x﹣1）的图象经过点（3，1），则有1＝f（3﹣1）⇒f（2）＝1⇒f﹣1（1）＝2．故答案为：2．4．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则a8的值是15．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和，∴a8＝S8﹣S7＝64﹣49＝15．故答案为：15．5．（4分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，设圆锥的半径为r，∴有πr×5＝20π⇒r＝4，∴圆锥的高为＝3，∴圆锥的体积为×π×r2×3＝16πcm3．故答案：16πcm3．6．（4分）已知θ为第二象限角，，则＝﹣．【解答】解：∵θ为第二象限角，且sinθ＝，∴cosθ＝﹣＝﹣，∴tanθ＝﹣，则原式＝＝＝﹣．故答案为：﹣7．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．【解答】解：由，可得，∴∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，∴c＝，∵c2＝a2+b2，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为．故答案为：．8．（4分）分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【解答】解：从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4＝16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2＝12个，∴两数之积为偶数的概率是＝．故答案为：．9．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（﹣7，3），点C在直线y＝4上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则的最小值为9．【解答】解：设C（x，4），由重心定理可得，∴．∴＝＝＝，当x＝3时，的最小值为9．故答案为：9．10．（4分）若存在，则实数r的取值范围是．【解答】解：∵存在，∴0＜，∴3r2+4r+1≥0且2r+1≠0，r≠0，∴r≤﹣1或r≥﹣．故答案为：．11．（4分）在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y＝0与x+3y＝0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为2．【解答】解：∵3x﹣y＝0与x+3y＝0的互相垂直，且交点为原点，∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，则a+b＝4，即b＝4﹣a≥0，得0≤a≤4，由勾股定理可知OP＝＝＝，∵0≤a≤4，∴当a＝2时，OP的距离最小为OP＝＝，故答案为：．12．（4分）设集合A＝{（x，y）|（x﹣4）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2＝1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵A＝{（x，y）|（x﹣4）2+y2＝1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，B＝{（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2＝1}，表示以N（t，at﹣2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax﹣y﹣2＝0上，如图．如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax﹣y﹣2＝0的距离不大于2，即，解得0≤a≤．∴实数a的取值范围是；故答案为：．13．（4分）已知函数是偶函数，直线y＝t与函数f （x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|＝|BC|，则实数t的值为．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），当x＜0时，﹣x＞0，即f（﹣x）＝ax2﹣2x+1＝﹣x2+bx+c，∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝1，即f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图：直线y＝t与函数f（x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，不妨是对应的横坐标分别为a，b，c，d，则A，B关于x＝﹣1对称，即，①∵函数是偶函数，∴c＝﹣b，d＝﹣a，若|AB|＝|BC|，则B是A，C的中点，∴，②，解得a＝3b，代入①解得b＝，a＝，当b＝，时f（b）＝f（）＝﹣（）2﹣2（）+1＝2＝，即t＝，故答案为：．14．（4分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n级分形图．则n级分形图的周长为．【解答】解：第一个三角形的周长＝1+1+1＝3，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，第三个在第二个的基础上，多了其周长的．第二个周长：3×（1+）＝3×＝4，第三个周长：3×（1+）×＝3××＝3•（）2第四个周长：3×××＝3•（）3，…故第n个图形的周长是第一个周长的•（）n﹣1倍，即周长是3•（）n﹣1．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设向量，，则“∥”是“x＝2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵向量，，∴若∥，则（x﹣1）（x+1）﹣3＝x2﹣4＝0，即x＝±2，∴“∥”是“x＝2”的必要不充分条件．故选：B．16．（5分）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．120C．90D．45【解答】解：由题意可得只有第六项的二项式系数最大，∴n＝10．故展开式的通项公式为T r+1＝••2r•x﹣2r＝2r••，令＝0，求得r＝2，故展开式中的常数项是22＝180，故选：A．17．（5分）将函数y＝sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（）A．B．C．πD．【解答】解：将函数y＝sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得函数y＝sin2（x+m）＝sin（2x+2m），∵其图象与的图象重合，∴sin（2x+2m）＝sin（2x+），∴2m＝，故m＝（k∈Z），当k＝0时，m取得最小值为；将函数y＝sin2x（x∈R）的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到函数y＝sin2（x ﹣n）＝sin（2x﹣2n），∵其图象与的图象重合，∴sin（2x﹣2n）＝sin（2x+），∴﹣2n＝，故n＝﹣，当k＝﹣1时，n取得最小值为，∴m+n的最小值为π，故选：C．18．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f （x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或．A．若f（x）＝x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，∴，∴f（x）＝x2（x≥0）存在“倍值区间”[0，2]，∴A正确．B若f（x）＝e x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，即a，b是方程e x＝2x的两个不等的实根，构建函数g（x）＝e x﹣2x，∴g′（x）＝e x﹣2，∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x＝ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）＝2﹣ln2＞0，∴g（x）＞0，∴e x﹣2x＝0无解，故函数不存在“倍值区间”，∴B正确．C．若函数（x≥0），f′（x）＝，若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则由，得，∴a＝0，b＝1，即存在“倍值区间”[0，1]，∴C正确．D．若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”[m，n]，则由，得，即m，n是方程log a（a x﹣）＝2x的两个根，即m，n是方程a2x﹣a x+＝0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]，∴D结论错误．故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）如图，正三棱锥A﹣BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC 的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．【解答】解：（1）取BD中点F，连结AF、EF，因为EF∥CD，所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角）．…（2分）在△AEF中，，EF＝1，…（1分）所以．…（2分）所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为．…（1分）（2）作AO⊥平面BCD，则O是正△BCD的中心，…（1分）连结OE，，…（1分）所以，…（1分）所以，．…（2分）20．（14分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）＝1，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x cos x+＝sin2x+＝2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期为π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），得，∴函数f（x）的单调增区间是[k，k]（k∈Z），（2）由已知，f（A）＝2sin（2A+）＝1，∴sin（2A+）＝，∵0＜A＜，∴，∴2A+＝，从而A＝，又∵＝，∴，∴△ABC的面积S＝＝＝．21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|P A|2+|PB|2为定值．【解答】（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵点在椭圆C上，∴，解得b2＝1，∴椭圆C的方程为．（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∵直线l方向向量，∴直线l的方程是，联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4＝0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2＝m，，∴＝＝＝（定值）．22．（16分）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y），则，＝，当m＞0时，解得；当m＜0时，解得，∴或．（2）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则＝＞0，∵x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2﹣m＞0，即m＜x1x2，由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4．∴m的取值范围是（﹣∞，4]；（3）由f（x）≤kx，得，∵，∴，令，则t∈[1，2]，所以k≥mt2+2t+1，令g（t）＝mt2+2t+1，t∈[1，2]，于是，要使原不等式在有解，当且仅当k≥g（t）min（t∈[1，2]）．∵m＜0，∴图象开口向下，对称轴为直线，∵t∈[1，2]，∴当，即时，g（t）min＝g（2）＝4m+5；当，即时，g（t）min＝g（1）＝m+3，综上，当时，k∈[4m+5，+∞）；当时，k∈[m+3，+∞）．23．（18分）数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1＝t•S n+a（t≠0）．设b n＝S n+1，c n＝k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当t＝1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．【解答】解：（1）∵S n+1＝t•S n+a①当n≥2时，S n＝t•S n+a②，﹣1①﹣②得，a n+1＝t•a n（n≥2），又由S2＝t•S1+a，得a2＝t•a1，∴{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴（n∈N*）；（2）当t＝1时，a n＝a，S n＝na，b n＝na+1，由|b n|≥|b3|，得|na+1|≥|3a+1|，（n﹣3）a[（n+3）a+2]≥0（*）当a＞0时，n＜3时，（*）不成立；当a＜0时，（*）等价于（n﹣3）[（n+3）a+2]≤0（**）n＝3时，（**）成立．n≥4时，有（n+3）a+2≤0，即恒成立，∴．n＝1时，有4a+2≥0，．n＝2时，有5a+2≥0，．综上，a的取值范围是；（3）当t≠1时，，，＝，∴当时，数列{c n}是等比数列，∴，又∵a，t，k成等差数列，∴2t＝a+k，即，解得．从而，，．∴当，，时，数列{c n}为等比数列．。

2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={2, 3}，则∁U A =________．2. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为________． 3. 函数f(x)=|sinx 4cosx13|的最大值为________． 4. 已知直线l 1:ax −y +2a +1=0和l 2:2x −(a −1)y +3=0(a ∈R)，若l 1⊥l 2，则a =________．5. 函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，如果函数y =f(x)的图象过点(2, −2)，那么函数y =f −1(x)+1的图象一定过点________．6. 已知数列{a n }为等差数列，若a 1+a 3=4，a 2+a 4=10，则{a n }的前n 项的和S n =________．7. 一个与球心距离为√3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为________．8. （理）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为________．9. 设a ∈R ，(ax −1)8的二项展开式中含x 3项的系数为7，则limn →∞(a +a 2+...+a n )=________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l:{x =t y =t −a ，（t 为参数）过椭圆C:{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数）的右顶点，则常数a 的值为________．11. （理）已知随机变量ξ的分布列如表，若Eξ=3，则Dξ=________的周长为________．13. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(−m, 0)，则|PF||PA|的最小值为________．14. （理）已知函数f(x)的定义域为{1, 2, 3}，值域为集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集，设点A （1, f(1)），B （2, f(2)），C （3, f(3)），△ABC 的外接圆圆心为M ，且MA →+MC →=λMB →(λ∈R)，满足条件的函数f(x)有________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “a >1”是“1a <1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件16. （理）已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位．若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A 0B 52C 5D √217. 能够把椭圆x24+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）A f(x)=4x3+xB f(x)=ln5−x5+x C f(x)=arctan x4D f(x)=e x+e−x18. 方程lg(x−100)2=72−(|x|−200)(|x|−202)的解的个数是（）A 2B 4C 6D 8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19. （理）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AA1＝AB＝AC＝1，∠ABC=π4，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离．20. 如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=π4（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．21. （理）已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x1，x2都有f(x1+x2)=1+f(x1)+f(x2)，且f(1)=1．（1）若对任意正整数n，有a n=f(12n)+1，求a1、a2的值，并证明{a n}为等比数列；（2）设对任意正整数n ，有b n =1f(n)，若不等式b n+1+b n+2+...+b 2n >635log 2(x +1)对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．22.（理）已知中心在原点O ，左焦点为F 1(−1, 0)的椭圆C 1的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为√77|OB|． （1）求椭圆C 1的方程；（2）过点P(3, 0)作直线l ，使其交椭圆C 1于R 、S 两点，交直线x =1于Q 点．问：是否存在这样的直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（3）若椭圆C 1方程为：x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0)，椭圆C 2方程为：x 2m 2+y 2n 2=λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 1的3倍相似椭圆，若直线y =kx +b 与两椭圆C 1、C 2交于四点（依次为P 、Q 、R 、S ），且PS →+RS →=2QS →，试研究动点E(k, b)的轨迹方程．23. （理）定义区间(c, d)，[c, d), (c, d]，[c, d]的长度均为d −c ，其中d >c ．（1）已知函数y =|2x −1|的定义域为[a, b]，值域为[0, 12]，写出区间[a, b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M (x)的定义域为实数集D =[−2, 2]，满足f M (x)={x,x ∈M−x,x ∈M （M 是D 的非空真子集）．集合A =[1, 2]，B =[−2, −1]，求F(x)=f A∪B (x)f A (x)+f B (x)+3的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−1，判断函数f(x)在区间(2, 3)上是否有零点，并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和．2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）答案1. {1, 4, 5}2. y =±43x 3. 5 4. 135. (−2, 3)6. 32n 2−52n 7. 323π 8. 0.98 9. −1310. 3 11. 1 12. 6+6√6 13. √2214. 12 15. A 16. D 17. D 18. B19. 设AB 的中点为E ，连接EN ， 则EN // AC ，且EN =12AC ，所以∠MNE 或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角．…3分 连接ME ，在Rt △MEN 中，tan∠MNE =ME NE=2⋯5分所以异面直线MN 与AC 所成的角为arctan2．…6分 因为AB ＝AC ＝1，∠ABC =π4，所以AB ⊥AC ，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则：M(12,0,1)，N(12,12,0),D(0,1,12)，…8分设平面AND 的一个法向量为n →=(x,y,z)则{n →⋅AN →=0n →⋅AD →=0 ⇒{x +y =0y +z 2=0所以平面ADN 的一个法向量为n →=(1,−1,2)．…10 又AM →=(12,0,1)，所以点M 到平面OAD 的距离d =|AM →⋅n →||n →|=|12+2|√6=5√612．…12分．20. 解：（1）S =S ABCD −S △ABP −S △ADQ ...2分 =100−50tanθ−50tan(π4−θ)…4分 =100−50(tanθ+1−tanθ1+tanθ)，(0<θ<π4)…6分 （2）令t =1+tanθ，t ∈(1, 2)…8分 S =100−50[1+(t−1)2t ]=100−50(t +2t −2)=200−50(t +2t )…10分∵ t +2t≥2√t ⋅2t=2√2，（当且仅当t =2t时，即t =√2∈(1,2)，等号成立）…12分 ∴ 当t =√2时，搜索区域面积S 的最大值为200−100√2（平方海里） 此时，θ=arctan(√2−1)…14分．21. 解：（1）令x 1=x 2=12，得f(1)=1+f(12)+f(12)，则f(12)=0，a 1=f(12)+1=1...1分令x 1=x 2=14，得f(12)=1+f(14)+f(14)， 则f(14)=−12，a 2=f(14)+1=12...2分 令x 1=x 2=12n+1，得f(12n+1+12n+1)=1+f(12n+1)+f(12n+1)，即f(12n )=1+2f(12n+1)，…4分则f(12n )+1=2[1+f(12n+1)]，a n =2a n+1所以，数列{a n }是等比数列，公比q =12，首项a 1=1．…6分（2）令x 1=n ，x 2=1，得f(n +1)=1+f(1)+f(n)，即f(n +1)=f(n)+2 则{f(n)}是等差数列，公差为2，首项f(1)=1，故f(n)=1+(n −1)⋅2=2n −1，…8分 b n =1f(n)=12n−1．…9分设g(n)=b n+1+b n+2+⋯+b 2n =12n+1+12n+3+⋯+14n−1， 则g(n +1)−g(n)=14n+1+14n+3−12n+1=1(4n+1)(4n+3)(2n+1)>0， 所以{g(n)}是递增数列，g min =g(2)=15+17=1235，…11分 从而635log 2(x +1)<1235，即log 2(x +1)<2...12分 则{x +1>0x +1<4，解得x ∈(−1, 3)． …14分． 22. 解：（1）设椭圆C 1方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∴ 直线AB 方程为：x −a+yb=1...1分∴ F 1(−1, 0)到直线AB 距离为d =√a 2+b2=√77b ， ∴ a 2+b 2=7(a −1)2...2分又b 2=a 2−1，解得：a =2，b =√3...3分 故：椭圆C 1方程为：x 24+y 23=1．…4分（2）当直线l 与x 轴重合时，|PQ|=2，而|PR|⋅|PS|=1×5=5，∴ |PQ|2≠|PR|⋅|PS|若存在直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项， 则可设直线l 方程为：x =my +3...5分代人椭圆C 1的方程，得：3(my +3)2+4y 2=12，即：(3m 2+4)y 2+18my +15=0 ∴ △=(18m)2−4×15(3m 2+4)=48(3m 2−5) 记R(x 1, y 1)，S(x 2, y 2)，Q(x 0, y 0)， ∴ y 1y 2=153m 2+4，y 0=−2m...7分∵ |PQ|2=|PR|⋅|PS|，即|PR||PQ|=|PQ||PS|⇒y 1y 0=y0y 2，∴ y 1y 2=y 02∴153m 2+4=4m2，解得：m 2=163，符合△>0，∴ m =±4√33...9分 故存在直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，其方程为x =±4√33y +3，即：y =±√34(x −3)…10分（3）椭圆C 1的3倍相似椭圆C 2的方程为：x 212+y 29=1...11分设Q 、R 、P 、S 各点坐标依次为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 3, y 3)、(x 4, y 4) 将y =kx +b 代人椭圆C 1方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0 ∴ △1=(8kb)2−4(3+4k 2)(4b 2−12)=48(4k 2+3−b 2)>0(∗) 此时：x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2⇒|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2...13分将y =kx +b 代人椭圆C 2方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−36=0 ∴ x 3+x 4=−8kb3+4k 2，x 3x 4=4b 2−363+4k 2⇒|x 3−x 4|=4√3(12k 2+9−b 2)3+4k 2...14分∴ x 1+x 2=x 3+x 4，可得线段PS 、QR 中点相同，∴ |PQ|=|RS|由PS →+RS →=2QS →⇒PQ →=QR →，∴ |PS|=3|QR|，可得：|x 3−x 4|=3|x 1−x 2| ∴4√3(12k 2+9−b 2)3+4k 2=3×4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2，∴ 12k 2+9=4b 2（满足(∗)式）． 故：动点E(k, b)的轨迹方程为4b 29−4k 23=1．…16分．23. 解：(1)|2x −1|=12，解得x =−1或x =log 232，|2x −1|=0，解得x =0，画图可得：区间[a, b]长度的最大值为log 23，最小值为log 232．（2）F(x)={x 3，x ∈A ∪Bx2x−3，x ∈(−1,1)当x ∈A ∪B ，F(x)∈[−23，−13]∪[13,23]， 当x ∈(−1, 1)，F(x)∈(−1,15)，所以x ∈[−2, 2]时，F(x)∈(−1,15)∪[13,23] 所以值域区间长度总和为2315．（3）由于当2<x <3时，取x =2.001，f(2.001)>0，取x=2.999，f(2.999)<0，所以方程f(x)=0在区间(2, 3)内有一个解考虑函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−2，由于当x<1时，f(x)<0，故在区间(−∞, 1)内，不存在使f(x)>0的实数x；对于集合{1, 2, 3, 4}中的任一个k，由于当k−1<x<k时，取x=k+0.001，f(x)>0，取x=k+1−0.001，f(x)<0又因为函数y=f(x)在区间(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, +∞)内单调递减，所以方程f(x)=0在区间(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, +∞)内各有一个解；依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，从而不等式f(x)>0的解集是E=(1, x1)∪(2, x2)∪(3, x3)∪(4, x4)，故得所有区间长度的总和为S=(x1−1)+(x2−2)+(x3−3)+(x4−4)=x1+x2+x3+x4−10…①对f(x)>0进行通分处理，分子记为p(x)p(x)=(x−2)(x−3)(x−4)+2(x−1)(x−3)(x−4)+3(x−1)(x−2)(x−4)+4(x−1)(x−2)(x−3)−2(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)如将p(x)展开，其最高项系数为−2，设p(x)=−2x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p(x)=−2(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)…③对比②③中p(x)的x3系数，2(x1+x2+x3+x4)=1+2+3+4+2(1+2+3+4)=30可得：S=x1+x2+x3+x4−10=5．。