人教版数学高二选修2-1课后训练 充要条件

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04课后课时精练
一、选择题
1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”
是“A⊆B”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2
或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件，选A.
答案：A
2. [2013·山东高考]给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充
分条件，则p是綈q的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q⇒綈p，但綈pD⇒/q，
其逆否命题为p⇒綈q，但綈qD⇒/p，因为原命题与其逆否命题是等
价命题，故选A.
答案：A
3. [2013·浙江高考]已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈

R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
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C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

解析：f(x)是奇函数时，φ＝
π2＋kπ(k∈Z)；φ＝π
2
时，f(x)＝Acos(ωx

＋
π2)＝－Asinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π
2
”的必

要不充分条件，选B.
答案：B
4．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是13m的取值范围是( )
A. [－43，12] B. [－12，43]
C. (－∞，－12) D. [43，＋∞)
解析：由题易知不等式|x－m|<1的解集为{m|m－1而有{m|m－11
2
)，

∴ m＋1>12m－1<13，解得－12立，
∴m＝－12及m＝43亦满足题意，
∴－12≤m≤43，故选B.
答案：B
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5．[2012·浙江高考]设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－
1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

解析：由l
1∥l2

，得－a2＝－1a＋1，解得a＝1或a＝－2，代入检

验符合，即“a＝1”是“l1∥l
2
”的充分不必要条件，故选A.

答案：A
6. [2013·安徽高考]“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，
＋∞)内单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：充分性：当a<0时，x>0，则f(x)＝|(ax－1)·x|＝－ax
2
＋x

为开口向上的二次函数，且对称轴为x＝
1
2a
<0，故为增函数；

当a＝0时，f(x)＝x为增函数．
必要性：当a≠0时，f(
1
a
)＝0，f(0)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为增函

数，则
1
a
<0，即a<0，f(x)＝x时，为增函数，此时a＝0，故a≤0.

综上，a≤0为f(x)在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．
答案：C
二、填空题
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7. [2013·山东龙口一模]设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0
是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填充分不必要，必要不
充分，充要，既不充分也不必要)

解析：由 f0>0，f1>0⇒ b>0，a＋b>0.
∴a＋2b>0.
而仅有a＋2b>0，无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立．
答案：必要不充分
8．m＝________是函数y＝xm2－4m＋5为二次函数的充要条件．
解析：当函数为二次函数时，m
2
－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1；

又m＝3或m＝1，都能使函数为二次函数．
答案：1或3
9．有以下四组命题：
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：同位角相等；q：两直线平行；
(3)p：x<－3；q：x2>9；
(4)p：0其中p是q的充分不必要条件的是_______，p是q的必要不充
分条件是________，p是q的充要条件的是________．
解析：(1)x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0D⇒/ x－
2＝0，所以p是q的必要不充分条件．
(2)同位角相等⇔两直线平行，所以p是q的充要条件，
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(3)x<－3⇒x2>9，但x2>9D⇒/x<－3，
所以p是q的充分不必要条件．
(4)0x
是减函数，所以p是q的充要条件．
答案：(3) (1) (2)(4)
三、解答题
10．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：lgx2＝0，q：x＝1；
(2)p：b＝c，q：a·b＝a·c(a，b，c≠0)；
(3)p：x≥1且y≥1，q：x＋y≥2；
(4)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
解：(1)当lgx
2＝0时，x2
＝1，即x＝±1，则p⇒/q，q⇒p，所以p

是q的必要不充分条件．
(2)易知p⇒q.而a·b＝a·c(a，b，c≠0)，即a·(b－c)＝0，可得b
＝c或a⊥(b－c)，即q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．
(3)∵p⇒q，而q⇒/ p，∴p是q的充分不必要条件．
(4)綈p：x＝0且y＝0，綈q：x＋y＝0，∵綈p⇒綈q，而綈q⇒/
綈p，∴p⇐q且p⇒/ q，∴p是q的必要不充分条件．

11．证明：函数f(x)＝a·2x＋a－22x＋1(x∈R)是奇函数的充要条件是a
＝1.
证明：先证充分性：若a＝1，则函数化为f(x)＝2x－12x＋1.
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∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2－x－12－x＋1＝12x－112x＋1＝1－2x1＋2x＝－
2
x
－1
2
x
＋1

＝－f(x)．
∴函数f(x)是奇函数．
再证必要性：
①若函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．

∴a·2－x＋a－22－x＋1＝－a·2x＋a－22x＋1，

∴a＋a－2·2x2x＋1＝－a·2x＋a－22x＋1，
∴a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2，
∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.

综上所述：函数f(x)＝
a·2
x
＋a－2
2
x
＋1
(x∈R)是奇函数的充要条件是a

＝1.
12．设集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z
＝x2，x∈A}，求B∪C＝B的充要条件．
解：B∪C＝B⇔C⊆B.
因为A＝{x|－2≤x≤a}，
所以B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
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又当－2≤a<0时，C＝{z|a
2
≤z≤4}；

当0≤a≤2时，C＝{z|0≤z≤4}；
当a>2时，C＝{z|0≤z≤a
2
}，

所以当－2≤a≤2时，C⊆B⇔4≤2a＋3，

即
1
2
≤a≤2；

当a>2时，C⊆B⇔a
2
≤2a＋3，即2

综上所述，所求的充要条件是[12，3]．