高等数学同济版第四章教案

授 课 教 案 课程名称： 高等数学 授课专业： 总 学 时： 开课单位： 制 定 人： 审 核 人： 制定时间： 教 案 授课学时 2学时 课型 新授课 教学内容（章节） 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 教学目标 掌握不定积分的概念 教学重、难点 掌握不定积分的概念 教学方法及手段 讲练结合法/板书教学 教学准备 教材，辅助教材 一、教学过程：原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上，可导函数)(xF的导函数为)(xf，即对任一Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(， 那么函数)(xF就称为)(xf（或dxxf)(）在区间I上的原函数。 原函数存在定理 如果函数)(xf在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数)(xF，使对任一Ix，都有)()(xfxF. 简单的说就是：连续函数一定有原函数. 下面还要说两点 第一，如果)(xf在区间I上有原函数，即有一个函数)(xF，使对任一Ix，都有)()(xfxF，那么，对任何常数C，显然也有 )(])([xfCxf， 即对任何常数C，函数CxF)(也是)(xf的原函数。这说明，如果)(xf有一个原函数，那么)(xf就有无限多个原函数. 第二，如果在区间I上)(xF是)(xf的一个原函数，那么)(xf的其他原函数与)(xF有什么关系？ 设 )(x是)(xf的另一个原函数，即对任一Ix有)()(xfx， 于是 .0)()()()())()((xfxfxFxxFx 备注： 在第三章第一节已经知道，在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以 0)()(CxFx，（0C为某个常数） 这表明)(x与 )(xF只差一个常数.因此，当C为任一的常数时，表达式CxF)( 就可以表示)(xf的任意一个原函数。也就是说，)(xf的全体函数所组成的集合，就是函数族})({xCxF. 由以上两点说明，我们引进下述定义 定义2 在区间I上，函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf（或dxxf)(）在区间I上的不定积分，记作.)(dxxf 其中记号称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量. 由此定义及前面的说明可知，如果)(xF是)(xf在区间I上的一个原函数，那么在区间I上就是)(xf的不定积分，即 CxFdxxf)()(. 因而不定积分dxxf)(可以表示)(xf的任意一个原函数. 例2 求dxx2 解 23)3(xx，即33x是2x的一个原函数。 Cxdxx332 例3 求dxx1 解 0x时，有xx1)(ln，所以在),0(内x1的一个原函数是xln 0x时，有xx1])[ln(，所以在)0,(内x1的一个原函数是)ln(x 在),0()0,(上，x1的原函数是xln cxdxxln1 从不定积分的定义，即可知下述关系： 由于dxxf)(是)(xf的原函数，所以 )(])([xfdxxfdxd 或dxxfdxxfd)(])([ 又由于)(xF是)(xF的原函数，所以CxFdxxF)()( 或记作CxFxdF)()(， 由此可见，微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算，以记号表示）是互逆的。当记号与d连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数. 一、基本积分表 Ckxdxk（k是常数）， Cxdxx11 Cxxdxln Cxxdxarctan12 Cxxdxarcsin12 Cxdxxsincos Cxdxxcossin Cxxdxxdxtanseccos22 Cxxdxxdxcotcscsin22 Cxxdxxsectansec Cxxdxxcsccotcsc Cedxexx Caadxaxxln 二、不定积分的性质 性质1 设函数)(xf及)(xg的原函数存在，则 dxxgdxxfdxxgxf)()(])()([ 性质2 设函数)(xf的原函数存在，k为非零常数，则 dxxfkdxxkf)()( 例5 求dxxx2)12( 解 CxxxxxCxxxdxxxxdxxx2385823858)44()12(22123252121232例6 求dxxxx325 解 xxxxx)32()35(325 Cdxdxxxxxxxx32ln)32(35ln)35(])32()35[(325 例7 求)1(22xxdx 解2222111(1)1xxxx Carctaxxdxxxxxdx1)111()1(2222 例8 求dxxx126 11111)1(12242626xxxxxxxCxxxxdxxxxdxxxarctan35)111(13522426

练习设计 课后习题2 （1-6） 教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1．每2学时至少制定一个教案。2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3．上新课和新上课的教师要求写详案。4．要求教师上课必带教案。5．“备注”填写历年更新的内容（手写）。6．教案可带附件（课程内容补充材料）。 教 案 授课学时 2学时 课型 新授课 教学内容（章节） 第四章 不定积分 第二节 换元积分法（第一换元积分法） 教学目标 应用第一类换元积分法和求函数的积分 教学重、难点 掌握第一类换元积分法使用条件 教学方法及手段 探究式， 讲练结合法/板书教学 教学准备 教材，辅助教材

教学过程 一、第一类换元积分法 定理1 设)(uf具有原函数)(uF，)(xu可导，dxxdu)(，则

CxFCuFduufdxxxf)]([)()()()]([ 不难看出：第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，)]([)(xdddxx＝也是微分运算的逆运算，目的是将dxx)(凑成中间变量u的微分，转化成对中间变量的积分。

例1 求 解：

例2 求 解：

例3 求 解：

xdx2cos2

dxxxdxxxdx)'2(2cos22cos2cos2CxCuuduxu2sinsincos2

dxx23

1

dxxx)23(23121dx

x23

1

duuxu12123

Culn

2

1.)23ln(21Cx

duexdedxxeuxuxx222)(22CeCexu

2

dxxex22 例4 求122xxdx 解 )3141(71)4)(3()4()3(711212xxxxxxxx

Cxxxxdxxdxxdx34ln713)3(714)4(71122 例5 17442xxdx 解 Cxarcxdxxdxxxdx)412tan(81)412()412(1

181

)12(1617442

22

例6 41292xxdx 解 Cxxxdxxdx)23(31)23()23(31412922 注意：例4，例5，例6当被积函数分母是二次三项式时，针对根的情况的不同处理方法。

除了以上的类型，利用dxnxxdnn1)(，有如下例题。

例7 求dxxx21 解 xdxxd2)1(2，即)1(212xdxdx

Cxxxddxxx)1ln(211)1(2

1

12

222

例8 求dxxx21sin 解 dxxxd21)1(

Cxxdxdxxx1cos)1(1sin1sin2 例9 求dxxex2 解 )(21)(2122xdxdxdx Cexdedxxexxx22221)(2

12

dxxxx1022

2221xx xxxxxdxxxxxddxxxx3arctan31)102ln(21102102)102(211022

2222

利用dxeedxx)(，adxaadxxln)(，有： 例11 求dxeexxcos 解 Ceededxeexxxxxsin)(coscos＝ 例12 求xxeedx

解 Ceededxeeeedxxxxxxxxarctan1)(1)(22 例13 求1xedx 解 111111xxxxxxeeeeee

Cexeedxdxeedxedxxxxxxx)1ln(1)1(11

例14 求dxxxx946

解 Cddxdxxxxxxxxx)23arctan(2ln3ln1)23(1])23[(23ln1)23(1)23(94622 利用dxxxd1)(ln，有： 例15 求xxdxln 解 Cxxxdxxdxlnlnln)(lnln 例16 求dxxx4)5ln2(1 解 Cxxdxxdxdxxx5444)5ln2(101)5ln2(21)5ln2()(ln)5ln2()5ln2(1

练习设计 课后习题2(1-10) 教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1．每2学时至少制定一个教案。2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3．上新课和新上课的教师要求写详案。4．要求教师每学期上交教案。