高等数学下册复习提纲
第八章 多元函数微分学
本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):
复合函数求导（☆☆☆☆☆）
条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆）
曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆）
一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆）
1. 多元复合函数高阶导数
例 设),,cos ,(sin y
x e
y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x
y z
x z ∂∂∂∂∂2及.
解
y x e f x f x
z
+⋅'+⋅'=∂∂31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y
x z
x y z ++++⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=∂∂∂=∂∂∂])sin ([cos ])sin ([333231312
22析 1）明确函数的结构(树形图)
这里y
x e
w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构
图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一
项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”.
2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y
x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构
相同，仍然是y
x e
y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为
z
u v
w
x
x y y
y x e f y f y
f +⋅''+-⋅''=∂'
∂1312
1)sin (. 所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.
3）f 具有二阶连续偏导数，从而y
x z
x y z ∂∂∂∂∂∂22,
连续，所以y x z x y z ∂∂∂=∂∂∂22. 练 1. 设),,2(22
x y x f x z =其中f 具有二阶连续偏导数，求22x
z
∂∂. 2. 设),sin ()2(2
2y x y e g y x f z x ++-=其中f 二阶可导，g 具有二阶连续偏导数，
求y
x z
∂∂∂2. 2. 多元函数极值
例1. 求函数)2(e ),(22y x y x f y
x -=-的极值.
解 （1）求驻点.由
⎪⎩⎪⎨⎧=---==+-=----0e 4)2(e ),(,
0e 2)2(e ),(2222y
x y x y y
x y x x y y x y x f x y x y x f 得两个驻点 )0,0(，)2,4(--，
（2）求),(y x f 的二阶偏导数
)242(e ),(22++-=-x y x y x f y x xx ，)422(e ),(22y x x y y x f y x xy ---=-，
)482(e ),(22-+-=-y y x y x f y x yy ，
（3）讨论驻点是否为极值点
在)0,0(处，有2=A ，0=B ，4-=C ，082
<-=-B AC ，由极值的充分条件知
)0,0(不是极值点，0)0,0(=f 不是函数的极值；
在)2,4(--处，有2
e 6--=A ，2
e
8-=B ，2e 12--=C ，0e
84
2>=--B AC ，而
0析 1）这是二元函数无条件极值问题.
2）解题步骤：第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导
数；第三步求出驻点的判别式2
B A
C -，判断是否为极值点以及极大极小. 2. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和 使得z y x u 2
3=为最大. 解：令)12(),,(2
3
-+++=z y x z y x z y x F λ，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=.
12,0,
02,032
33
22z y x y x F yz x F z y x F z y x λλλ 解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.69122462
3max =⋅⋅=u
析 1）题目是为了熟悉条件极值的求法---拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成
)12(ln ln 2ln 3),,(-+++++=z y x z y x z y x F λ.
2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式
6
2362
233342722433327⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++⋅≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=z y y x x x z y y x x x z y x 691224276=⋅⋅=.
方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.
3. 求函数2
2y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值与最小值.
解 先求函数在圆内部可能的极值点.令
⎩⎨
⎧====02,
02y z x z y
x 解得点)0,0(，而0)0,0(=z .
再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数
]9)2()2[(),(2222--+-++=y x y x y x F λ，
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=-+==-+=.
9)2()2(,0)2(22,
0)2(222
2y x y y F x x F y x λλ 解之得)22,22(),225,225(
--，而1)2
2
,22(,25)225,225(=--=z z .
