七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题03 三角形的中线与面积

三角形中线问题的三种解法三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质值得探究。

本文将讨论三角形中线的性质及其三种解法。

一、三角形中线的定义及性质在任意三角形ABC中，连接三角形两边的中点，分别得到三条线段DE、FG和HI，我们将它们分别称为三角形的中线。

现在我们来研究中线的性质。

1. 中线相等性质：定理1：三角形中线的长度相等。

证明：因为DE是AB的中线，所以DE的长度等于AB的长度的一半。

同理可得FG和HI的长度分别等于BC和AC的一半。

因此，DE= FG = HI。

2. 中线平行性质：定理2：三角形中线互相平行。

证明：我们可以使用反证法来证明。

假设DE与FG不平行，那么它们必定会相交于一点，设为J。

那么根据平行线的性质，我们知道AJ与JI分别为DE与FG所在直线的两条平行线，所以AJ = JI。

然而，由中线的等长性质可知，AJ = JI = BJ。

但这与直角三角形ABC中的直角会产生矛盾，所以DE与FG是平行的。

同理可得其他中线的平行性质。

二、解法一：面积法面积法是解决三角形中线问题的一种直观方法，通过求解三角形的面积来推导中线的性质。

下面是面积法的步骤：步骤1：计算三角形ABC的面积，设为S。

步骤2：计算三角形ABC的底边AB的中线DE的长度，设为x。

步骤3：计算三角形ADE和三角形BDE的面积，分别设为S1和S2。

步骤4：由面积的性质可知，S1 = S2 = S/2。

步骤5：根据S1 = S2，我们可以得到x = AB/2。

解法一的关键在于利用面积的性质来推导中线的长度，通过这种方法可以很容易地证明三角形中线的等长性质。

三、解法二：向量法向量法是另一种解决三角形中线问题的方法，它利用向量的性质来进行推导。

下面是向量法的步骤：步骤1：设三角形ABC的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

步骤2：计算线段AB的中点D，坐标为D((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

初一数学第二学期名校优选小专题05 与三角形的中线有关的面积问题【例题讲解】已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝30，S△ADC＝12S△ABC＝30，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝CD，∴12ABDS BD AH∆=⋅，12ACDS CD AH∆=⋅，∴S△ABD＝S△ACD，故答案为：＝；（2）解方程组得1010xy=⎧⎨=⎩，∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案为：1010xy=⎧⎨=⎩，20；（3）如图3，连接AO，∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝13S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝12S△AEO，设S △ADO ＝x ，S △CEO ＝y ，则S △BDO ＝3x ，S △AEO ＝2y ，由题意得：S △ABE ＝23S △ABC ＝40，S △ADC ＝14S △ABC ＝15，可列方程组为：3154240x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：92x y =⎧⎨=⎩，∴S 四边形ADOE ＝S △ADO +S △AEO ＝x +2 y ＝13．【综合演练】1．如图，点D 、E 在ABC 的边上，连接AD 、BE 交于点F ．若BD CD =，13CE AC =，224cm ABCS=，则图中两个阴影面积之差即AEF BDF S S -△△等于（ ）2cm ．A ．8B ．4C ．2D ．12．如图，已知D 、E 分别是ABC 的边BC 、AC 的中点，AG 是ABE 的中线，连接BE 、AD 、GD ，若ABC 的面积为40，则阴影部分ADG △的面积为（ ）A ．10B ．5C ．8D ．43．如图,AD 、BE 、CF 是△ABC 三边的中线，若S △ABC =12，则图中的阴影部分的面积是( )A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为8cm 2，则△CEF 的面积为（ ）A ．0.5cm 2B ．1cm 2C ．2cm 2D ．4cm 25．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为BC 、AD 的中点，EF=2FC ，若△ABC 的面积为12 cm 2，则△BEF 的面积为（ ）A ．22cmB ．23cmC ．24cmD ．25cm6．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 、CE ，若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，△ABC 的面积是12，点D 、E 、F 、G 分别是BC 、AD 、BE 、CE 的中点，则△AFG 的面积是（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．68．如图，ABC 的面积为1．第一次操作：分别延AB ，BC ，CA 至点1A ，1B ，1C 使1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =顺次连接1A ，1B ，1C 得到111.A B C 第二次操作：分别延长11A B ，11B C ，11C A 至点2A ，2B ，2C 使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =顺次连接2A ，2B ，2C ，得到222A B C △，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第II 卷（非选择题）二、填空题(共0分)9．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且24ABCS cm ，则阴影部分的面积为____2cm ．10．设E 、F 是ABC 边AB 、AC 上的点，线段BE 、CF 交于D ，已知BDF ，BCD △，CDE 的面积分别为5，9，9，则四边形AEDF 的面积为___________．11．如图，△ABC 的面积为12，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，那么阴影部分的面积是_____．12．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，3CD BD =，点E 是AC 的中点，BE 、AD 交于点F ，四边形DCEF 的面积的最大值是______．13．如图，若S △ABC =1分别倍长(延长一倍)AB 、BC 、CA 得到111A B C ，再分别延长111111A B B C C A 、、得到222A B C ，……，按此规律，延长n 次后得到的n n n A B C 的面积为_________.三、解答题(共0分)14．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm.设运动的时间为t 秒．(1)当t =______时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？ (2)当t =______时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？ (3)当t 为何值时，BCP 的面积为12？15．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度△ABC 的顶点都在正方形两格的格点（网格线的交点）上（1）画出△ABC 先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△111A B C（2）画出△ABC的中线AD；（3）画出△ABC的AC边上的高BE；（要求只能通过连接格点方式作图）（4）找△ABP（要求各顶点在格点上，P不与C点重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P共个．16．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝，S△ADC＝12S△ABC＝，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩．解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE 交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．17．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，14CDAC=，13CECB=，求△ABC的面积．【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点(13AM AB=)，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．18．（1）【阅读理解】如图（1），AD 是△ABC 的中线，作△ABC 的高AH ． ∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD ＝CD∵S △ABD ＝12•BD •AH ，S △ACD ＝12CD •AH ∴S △ABD S △ACD （填：＜或＞或＝） （2）【结论拓展】△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD mCD n=，则ABD ACDS S ＝（3）【结论应用】如图（3），请你将△ABC 分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可） 如图（4），BE 是△ABC 的中线，F 是AB 边上一点，连接CF 交BE 于点O ，若2AF BF =，则COOF＝ ．说明你的理由答案与解析【例题讲解】已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝30，S△ADC＝12S△ABC＝30，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝CD，∴12ABDS BD AH∆=⋅，12ACDS CD AH∆=⋅，∴S△ABD＝S△ACD，故答案为：＝；（2）解方程组得1010xy=⎧⎨=⎩，∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案为：1010xy=⎧⎨=⎩，20；（3）如图3，连接AO，∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝13S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝12S△AEO，设S △ADO ＝x ，S △CEO ＝y ，则S △BDO ＝3x ，S △AEO ＝2y ，由题意得：S △ABE ＝23S △ABC ＝40，S △ADC ＝14S △ABC ＝15，可列方程组为：3154240x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：92x y =⎧⎨=⎩，∴S 四边形ADOE ＝S △ADO +S △AEO ＝x +2 y ＝13．【综合演练】1．如图，点D 、E 在ABC 的边上，连接AD 、BE 交于点F ．若BD CD =，13CE AC =，224cm ABCS=，则图中两个阴影面积之差即AEF BDF S S -△△等于（ ）2cm ．A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】利用BD CD =，224cm ABCS=，求出212cm ==A D DC AB S S △△，再利用13CE AC =求出2216cm 3==BEA ABC S S △△，再根据21216cm -=-++=ABD BDF BD AEF AEF F S S S S S △△△△△，即可求出24cm =-B A F DF E S S △△．【解析】解：∵BD CD =，224cm ABCS=．∴212cm ==A D DC AB S S △△．∵13CE AC =．∴218cm 3==BEC ABC S S △△，2216cm 3==BEA ABC S S △△．∵21216cm -=-++=ABD BDF BD AEF AEF F S S S S S △△△△△．∴24cm =-B A F DF E S S △△．故选：B【点评】本题考查利用中线求三角形面积，解题的关键是找出21216cm -=-++=ABD BDF BD AEF AEF F S S S S S △△△△△．2．如图，已知D 、E 分别是ABC 的边BC 、AC 的中点，AG 是ABE 的中线，连接BE 、AD 、GD ，若ABC的面积为40，则阴影部分ADG△的面积为（）A．10 B．5 C．8 D．4【答案】B【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG=S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可．【解析】解：连接DE，如图，∵D为BC的中点，G为BE的中点，∴DG为△BCE的中位线，∴DG∥AC，∴S△ADG=S△EDG，∵E点为AC的中点，∴S△BCE=12S△ABC=12×40=20，∵D点为BC的中点，∴S△BDE=12S△EBC=12×20=10，∵G点为BE的中点，∴S△EDG=12S△BDE=12×10=5．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S =12×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形中位线性质．3．如图,AD 、BE 、CF 是△ABC 三边的中线，若S △ABC =12，则图中的阴影部分的面积是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先根据三角形中线的定义可得162BCFABCS S ==，162BCEABCSS ==，162ABD ABC S S ==△△，12BDG CDGBCGSSS ==，BFGAFGSS=，设AFGBFGSSa ==，则6BCGSa =-，13,2BDGCEGSa Sa =-=，再根据AFGBFGBDGABDS SSS++=建立方程可求出a 的值，由此即可得出答案．【解析】解：CF 是ABC 三边的中线，且12ABC S =△， 162BCFABCSS ∴==， 同理可得：162BCEABCS S ==，162ABD ABC S S ==△△， 12BDG CDGBCGSSS ==，BFGAFGSS=，设AFGBFGS S a ==，则6BCGBCFBFGSSS a =-=-， 132BDG CDGSSa ∴==-，CEGBCEBCGSSSa =-=，AFGBFGBDGABDSSSS++=，1362a a a ∴++-=，解得2a =，则图中的阴影部分的面积是24BFGCEGS Sa +==，故选：B ．【点评】本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形中线与三角形面积的关系是解题关键．4．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为8cm 2，则△CEF 的面积为（ ）A．0.5cm2B．1cm2C．2cm2D．4cm2【答案】C【分析】由点D为BC的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S△ADC=12S△ABC，S△EDC=12S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC=12S△ADC，则S△EBC=2S△EDC=12S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△CEF=12S△EBC=12×12S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可．【解析】解：如图，∵点D为BC的中点，∴S△ADC=12S△ABC，S△EDC=12S△EBC，∵点E为AD的中点，∴S△EDC=12S△ADC，∴S△EDC=14S△ABC，∴S△EBC=2S△EDC=12S△ABC，∵F点为BE的中点，∴S△CEF=12S△EBC=12×12S△ABC=12×12×8=2（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高的积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．5．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF=2FC，若△ABC的面积为12 cm2，则△BEF 的面积为（）A ．22cmB ．23cmC ．24cmD ．25cm【答案】C【分析】由点D 是BC 的中点，可得△ABD 的面积=△ACD 的面积=12△ABC ，由E 是AD 的中点，得出△ABE 的面积=△D BE 的面积=14△ABC 的面积，进而得出△BCE 的面积=12△ABC 的面积，再利用EF=2FC ，求出△BEF 的面积.【解析】点D 是BC 的中点，∴△ABD 的面积=△ACD 的面积=12△ABC 的面积= 6，E 是AD 的中点，∴△ABE 的面积=△DBE 的面积=14△ABC 的面积= 3，△ACE 的面积=△DCE 的面积=14△ABC 的面积= 3，∴△BCE 的面积=12△ABC 的面积= 6,EF= 2FC ，∴△BEF 的面积=23⨯6=4.故选C【点评】利用三角形中线将三角形分为两个面积相等的三角形这一性质，即可求解.6．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 、CE ，若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【解析】∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABD =S △ACD =12S △ABC ， ∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD ，S △CDE =S △CAE =12S △ACD ，∵S △ABE =14S △ABC ，S △CDE =14S △ABC ，∴S △ABE +S △CDE =12S △ABC =12×8=4； ∴阴影部分的面积为4， 故选B ．【点评】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此题难度不大．7．如图，△ABC 的面积是12，点D 、E 、F 、G 分别是BC 、AD 、BE 、CE 的中点，则△AFG 的面积是（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．6【答案】A【解析】∵点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，∴AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，CE 是△ACD 的中线，AF 是△ABE 的中线，AG 是△ACE 的中线，∴△AEF 的面积=12×△ABE 的面积=14×△ABD 的面积=18×△ABC 的面积=131282⨯=，同理可得△AEG 的面积=32，△BCE 的面积=12×△ABC 的面积=6， 又∵FG 是△BCE 的中位线，∴△EFG 的面积=14×△BCE 的面积=32，∴△AFG 的面积=△AEF 的面积+△AEG 的面积+△EFG 的面积=32×3=4.5， 故选：A ．8．如图，ABC 的面积为1．第一次操作：分别延AB ，BC ，CA 至点1A ，1B ，1C 使1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =顺次连接1A ，1B ，1C 得到111.A B C 第二次操作：分别延长11A B ，11B C ，11C A 至点2A ，2B ，2C 使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =顺次连接2A ，2B ，2C ，得到222A B C △，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】结合题意根据三角形的面积公式可知如果两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推出S △ABC ＝S △A 1BC ，S △A 1BC ＝S △A 1B 1C ，，进而得到S △A 1B 1C 1＝S △A 1B 1B ＋S △A 1C 1A ＋S △B 1C 1C ＋S △ABC ＝7S △ABC ，再以此类推进行求解即可． 【解析】解：如图，连接A 1C ，∵AB ＝A 1B ，S △ABC ＝1 ∴S △ABC ＝S △A 1BC ， ∵BC ＝B 1C ， ∴S △A 1BC ＝S △A 1B 1C ， ∴S △A 1B 1B ＝2S △ABC ＝2，同理，S △A 1C 1A ＝2S △ABC ，S △B 1C 1C ＝2S △ABC ，∴S △A 1B 1C 1＝S △A 1B 1B ＋S △A 1C 1A ＋S △B 1C 1C ＋S △ABC ＝7S △ABC ＝7， 同理可得，第二次操作后S △A 2B 2C 2＝7S △A 1B 1C 1＝7×7＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343， 第四次操作后的面积为7×343＝2401，故按此规律，要使到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作． 故选：A ．【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据三角形边的关系推出其面积的关系，从而结合图形进行求解．9．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且24ABCS cm =，则阴影部分的面积为____2cm ．【答案】1【分析】根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形得出11,22ABDABC ACDABCSS S S ==，11,22BDEABD CDEACDSS S S ==，进而求得11,22BCEABC BEFBCESS S S ==，然后代入数据进行计算求解即可【解析】解：∵点D 、E 分别是边BC 、AD 的中点 ∴11,22ABDABC ACDABCSS S S ==，11,22BDEABD CDEACDSS S S ==，∴ 1122BCEBDECDEABDACDS SSS S =+==+12ABC S =△ ∵点F 是CE 的中点111222BEFBCEABCSS S ∴==⨯14ABC S =△ 24cm ABCS=2141cm 4BEFS∴=⨯= 故答案为：1【点评】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．10．设E 、F 是ABC 边AB 、AC 上的点，线段BE 、CF 交于D ，已知BDF ，BCD △，CDE 的面积分别为5，9，9，则四边形AEDF 的面积为___________．【答案】40【分析】连接AD ，设S △ADF ＝x ，S △ADE ＝y ，根据三角形的面积与三角形底边成比例，进而求出四边形AEDF 的面积．【解析】解：连接AD ，如下图所示：设S △ADF ＝x ，S △ADE ＝y ， 则ADF ACDS S＝9x y +＝FD CD ＝59， ADE ABDS S＝5y x +＝EDBD ＝99， 解得x ＝17.5，y ＝22.5，故四边形AEDF 的面积＝x ＋y ＝17.5＋22.5＝40． 故答案为：40．【点评】本题主要考查三角形的面积的知识点，根据等高的三角形的面积与底边成比例进行解答，此题需要同学们熟练掌握．11．如图，△ABC 的面积为12，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，那么阴影部分的面积是_____．【答案】2【分析】连接CF ，根据BD=2DC ，AE=2EC 可设△DFC 的面积为x ，△EFC 的面积为y ，则△BFD 的面积为2x ，△AEF 的面积为y ，再列出关于x 、y 的方程，求出x+y 的值即可．【解析】解：连接CF ，∵BD=2DC ，AE=2EC ，∴设△DFC 的面积为x ，△EFC 的面积为y ，则△BFD 的面积为2x ，△AEF 的面积为2y ， ∵△BEC 的面积=13S △ABC =4，∴3x+y=4 ①，∵△ADC 的面积=13S △ABC =4，∴x+3y=4 ②①+②，可得4x+4y=8． ∴x+y=2． 故答案为2【点评】本题考查的是三角形的面积，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形面积的性质求解． 12．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，3CD BD =，点E 是AC 的中点，BE 、AD 交于点F ，四边形DCEF 的面积的最大值是______．【答案】545【分析】如图，连接CF ，设S △BFD =a ，根据3CD BD =，点E 是AC 的中点可分别表示出S 四边形DCEF 与S △ABC ，根据AB ⊥AC 时S △ABC 最大，即可得答案． 【解析】解：如图，连接CF ，设S △BFD =a ， ∵3CD BD =，点E 是AC 的中点，∴S △CDF =3S △BDF =3a ，S △BCE =S △BAE ，S △CFE =S △AFE ， ∴S △ABF =S △CBF =S △BDF +S △CDF =4a ， ∴S △ABD =S △ABF +S △BDF =5a ， ∴S △ADC =3S △ABD =15a ，∴S △ABC =S △ABD +S △ADC =20a ，S △CFE =12（S △ADC -S △CDF ）=6a ， ∴S 四边形DCEF =S △CDF +S △CFE =9a ， ∴S 四边形DCEF =920S △ABC ， ∵AB =6，AC =8，∴AC 边上的高的最大值为6，∴AB ⊥AC 时S △ABC 最大，即S 四边形DCEF 的值最大， ∴S 四边形DCEF 的最大值=920S △ABC =920×12×6×8=545，故答案为：545. 【点评】本题考查三角形的面积及中线的性质，等高的三角形面积比等于它们的底边的比；三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形；熟练掌握相关性质是解题关键．13．如图，若S △ABC =1分别倍长(延长一倍)AB 、BC 、CA 得到111A B C ，再分别延长111111A B B C C A 、、得到222A B C ，……，按此规律，延长n 次后得到的n n n A B C 的面积为_________.【答案】19n【分析】先根据图形特征找出延长各边后得到的三角形的面积是原三角形的面积的倍数的规律，再利用发现的规律求延长第n 次后的面积． 【解析】△AA 1C =3△ABC =3， △AA 1C 1=2△AA 1C =6， 所以△A 1B 1C 1=6×3+1=19； 同理得△A 2B 2C 2=19×19=361； △A 3B 3C 3=361×19=6859， △A 4B 4C 4=6859×19=130321， △A 5B 5C 5=130321×19=2476099，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍， 所以延长第n 次后，得到△AnBnCn ， 则其面积为19n ， 故答案为：19n【点评】本题考查图形的变化规律及三角形中线的性质，解题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题．14．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm.设运动的时间为t 秒．(1)当t =______时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2)当t =______时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3)当t 为何值时，BCP 的面积为12？ 【答案】(1)6(2)6.5(3)当t 为2或6.5时，BCP 的面积为212 cm【分析】（1）先根据CP 把ABC 的周长分成相等的两部分可知，此时点P 在边AB 上，再根据线段的和与动点的速度列出方程求解即可；（2）先根据三角形的中线的性质确定点P 的位置，从而可得AP 的长，再根据线段的和差求出AC AP +的长，由此即可得出答案；（3）分点P 在边AC 上和点P 在边AB 上两种情况，然后分别利用三角形的面积公式列出等式求解即可．【解析】（1）解：在ABC 中，8cm 6cm 10cm AC BC AB ===，，，ABC ∴的周长为()861024cm ++=，∴当CP 把ABC 的周长分成相等的两部分时，点P 在AB 上，此时．12cm CA AP BP BC +=+=∵运动速度为每秒2cm ，212t ∴=，解得6t =故当t 为6时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分．（2）解：∵当点P 在AB 中点时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分，此时AP =12AB =5cm ∴()8513cm AC AP +=+=，213t ∴=，解得 6.5t =，把ABC 的面积分成相等的两部分．）解：分两种情况：12cm BCP S =12BC ∴⨯⨯6cm,BC =4cm,CP ∴=24,t ∴=解得2t =当点P 在2212cm ,24cm BCP ABC SS ==12BCP ABC S S ∴=，∴点P 为AB 的中点，213,t ∴=时，BCP 的面积为【点评】本题考查了线段的中点、线段的和差、三角形的面积公式等知识点，较难的是题（正确分两种情况讨论是解题关键．15．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度△ABC 的顶点都在正方形两格的格点（网格线的交点）上（1）画出△ABC 先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△111A B C（2）画出△ABC 的中线AD ；（3）画出△ABC 的AC 边上的高BE ；（要求只能通过连接格点方式作图）（4）找△ABP （要求各顶点在格点上，P 不与C 点重合），使其面积等于△ABC 的面积．满足这样条件的点P 共 个．【答案】（1）见解析；（2）见解析部（3）见解析；（4）4【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）取BC的中点，连接AD即可．（3）取格点M，作直线BM交AC于点E，直线BE即为所求．（4）利用等高模型解决问题即可．【解析】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求．（2）如图，线段AD即为所求．（3）如图，线段BE即为所求．（4）满足条件的点P有4个，如图所示．故答案为4．【点评】本题考查作图-平移变换，三角形的中线，高，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝，S△ADC＝12S△ABC＝，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩．解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE 交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．【答案】（1）＝；（2）30；30；1010xy=⎧⎨=⎩；20；（3）25，理由见解析【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；（2）利用题干所给解答方法解答即可；（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．【解析】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图1，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝DC．∵1=2ABDS BD AE△，1=2ADCS CD AE△∴S△ABD＝S△ACD．故答案为：＝．（2）连接AO，如图2，∵AD＝DB，由（1）得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，∵CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，∴S△ABE＝S△BEC＝12S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝12S△ABC＝30，∵S△ABE＝S△BDC+S四边形ADOE，S△ADC＝S△CEO+S四边形ADOE，∴可列方程组为：230230 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：1010 xy=⎧⎨=⎩∴四边形ADOE的面积为：x+y＝20．故答案为：30；30；1010xy=⎧⎨=⎩；20；（3）连接AO，如图3，∵AD：DB＝1：1，∴AD＝DB．由（1）知：S△ADO＝S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴AE＝2CE．∴12CEO AEO S S=△△设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，∵AE＝2CE，∴2403ABE ABCS S==△△∵AD＝BD，∴1302ACD ABCS S==△△∵S△ABE＝S△BDO+S四边形ADOE，S△ACD＝S△CEO+S四边形ADOE，∴可列方程组：2240330x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：155 xy=⎧⎨=⎩∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝25．【点评】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，列二元一次方程组解决几何问题，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．17．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，14CDAC=，13CECB=，求△ABC的面积．【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点(13AM AB=)，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．【答案】（1）23a（2）12（3）512【分析】（1）根据三角形的面积公式及比例特点即可求解；（2）连接AE，先求出△ACE的面积，再得到△ABC的面积即可；（3）连接BD，设△ADM的面积为a，则△BDM的面积为2a,设△CDN的面积为b，则△BDN的面积为b，根据图形的特点列出方程组求出a,b,故可求解．【解析】（1）设△ABC中BC边长的高为h，∵BM=2AM．【点评】此题主要考查三角形面积公式的应用，解题的关键是根据题意找到面积的之间的关系． 18．（1）【阅读理解】 如图（1），AD 是△ABC 的中线，作△ABC 的高AH ．∵AD 是△ABC 的中线∴BD ＝CD∵S △ABD ＝12•BD •AH ，S △ACD ＝12CD •AH∴S △ABD S △ACD （填：＜或＞或＝）（2）【结论拓展】△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD m CD n =，则ABD ACD S S ＝ （3）【结论应用】如图（3），请你将△ABC 分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可）如图（4），BE 是△ABC 的中线，F 是AB 边上一点，连接CF 交BE 于点O ，若2AF BF =，则CO OF＝ ．说明你的理由【答案】（1）＝；（2）m n;（3）3． 【分析】（1）结合中线的定义，根据等底同高的两个三角形面积相等可得结论；（2）同理计算两三角形面积，并计算比值可得结论；（3）根据三角形中线、中位线的性质可以解决分成4个面积相等的三角形问题．如图4，连接AO ，先根据三角形的中线平分三角形的面积得：S △ABE =S △CBE ，S △AOE =S △COE ，由差可得S △ABO =S △CBO ，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【解析】解：（1）∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵S △ABD ＝12•BD•AH ，S △ACD ＝12CD•AH∴S △ABD ＝S △ACD ，故答案为＝；（2）如图2，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵S △ABD ＝12•BD•AH ，S △ACD ＝12CD•AH ， ABDACD 1BD AH SBD m 21S CD n CD AH 2⋅⋅∴===⋅⋅， 故答案为m n ； （3）如下图：将△ABC 的面积四等分的方法如图所示，（方法见图中说明）如图4，结论：CO OF＝3； 理由是：如图4，连接AO ，∵BE 是△ABC 的中线，∴S △ABE ＝S △CBE ，S △AOE ＝S △COE ，∴S △ABO ＝S △CBO ，AFO BFO S S =S △BFO ＝CB0BFO∆∆=。

word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。

第十三讲等腰三角形和直角三角形趣题引路】2001年山东聊城中考有一道题：如图13-1, 是一个钢架，且ZAOB=10。

，为使钢架更加坚固, 需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH、……，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管多少根？此问题实际上是问能组成多少个等腰三角形，注意到每添一根，所得的等腰三角形的顶角的外角就增大10。

，而极限值为90。

，故最多添8根.本节我们研究等腰三角形和直角三角形的性质及应用.知识拓展】等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形，因此它们在具有一般三角形性质的同时还具有一般三角形不具备的性质，这些特性在几何i正明中有着重要的应用价值•两者也是研究其他三角形和多边形的基础。

1.等腰三角形的性质：底角相等；顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一：是以顶角平分线所在的直线为对称轴的轴对称图形：2.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，且每个角为60。

：3.直角三角形的性质：两个锐角互余：斜边大于直角边；两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的中线等于斜边的一半；如果有一个锐角是30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半.方法上，构造等腰三角形或直角三角形是常见的解题策略之一；利用勾股立理，列方程求线段长更体现了方程的思想。

一、等腰三角形的性质例1］有多少个边长为整数且周长为2004的等腰三角形？解析】利用周长可得腰底间等量关系，利用三角形三边之间的关系，可找到腰底间不等关系，从而确定腰（或底）的范围。

解：设腰长为底长为y,则有2x + y = 2OO42x> v£由此得2x<2004<4x,A501<x<1002,•・・x为整数.•••x=502, 503-1001,满足条件的等腰三角形有1001 — 501 = 500个.点评】相等关系、不等关系可以互相转化，注意挖据题中隐藏条件：两腰之和大于底边.例2】（扬州市竞赛题）如图13-2,在8BC中，已知AB=AC,且过MBC某一顶点的直线可将△ ABC分成两个等腰三角形，试求AABC各内角的度数.解析】因为等腰三角形有腰底之分.所以许多问题的答案都有多种情形•这里符合题意的图形有如 图13-2所示4种情况。