定积分的直接积分法测验

2010级20110607
微积分II总复习
一、求积分的基本方法 二、多元函数微分法 三、二重积分的计算 四、级数的敛散性与求和 五、求解微分方程
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第六章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
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一、 求不定积分的基本方法

6C
8 1 e 2 x (4 x 3 6 x 2 2 x 型的积分:
Pn
(x)sienkax x

dx
cosax
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例7. 设 Insencxdx,证明递推公式:
I n n 1 1 sn e 2 x t ca x n n n 1 2 I n 2( n 2 )
I n n 1 1 sn e 2 x tc a x n n n 1 2 I n 2( n 2 )
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例8. 求 x1dx.
解:
设
x1, F(x)x1
1x,
x1 x1
则 F(x) 1 2x2xC 1, x1 x1 2x2C 2, x1
dx
.
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx

1
ln
2 3
d(32)x 1 (32)2 x
arctan32)(x C ln2ln3
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例2. 求
lnx( 1x2)5 dx.
1x2
解:
x 2sin x cos x

微积分基本定理的应用
解决实际问题
微积分基本定理可以应用于解决 各种实际问题，如物理中的力做 功、速度和加速度，经济中的成 本和利润等。
数学证明
微积分基本定理是许多数学定理 的证明基础，如中值定理、泰勒 展开等。
优化算法
微积分基本定理在优化算法中也 有广泛应用，如梯度下降法、牛 顿法等。
微积分基本定理的证明
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于区间[a,b]的任意两个 子区间[α,β]和[β,γ]，有 ∫f(x)dx|α,γ=∫f(x)dx|α,β+∫f(x)dx|β,γ。
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意常数k， 有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
04 定积分的计算技巧
利用奇偶性简化计算
奇函数在对称区间上的定积分值为0
如果函数$f(x)$是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$，那么$int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
偶函数在对称区间上的定积分值为对称区间上积分值的两倍
如果函数$f(x)$是偶函数，即$f(-x)=f(x)$，那么$int_{a}^{a}f(x)dx=2int_{0}^{a}f(x)dx$。
利用周期性简化计算
对于具有周期性的函数，可以利用周 期性将积分区间扩展到整数倍的周期 ，从而简化计算。
如果函数$f(x)$的周期为$T$，那么对 于任意整数$k$， $int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a+kT}^{b+kT }f(x)dx$。
利用定积分的几何意义简化计算

二、分部积分法
设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在区间 [a , b] 上连续可 导， b b b b ∫au v′dx = ∫au dv = uv −∫av du. a
1 例
∫ 2 例 ∫ x e dx
0
1 2 x 0
1
e−1
ln(1 + x)dx key : 1
key : e − 2
1 0 t 0 −1
x = 0 ⇒ t = −1
= ln 2 x)在[−a, a]上连续，证明： 2∫0 f ( x) dx, 当 f ( x) 为偶函数时 . ∫−a f ( x) dx = 0, 当 f ( x) 为奇函数时 a 0 a f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx 证明
a
a
则 (1) 若 f ( x ) 为偶函数， f ( − x ) = f ( x ), 为偶函数， a a a ∴∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx = 2 ∫ f ( x )dx;
−a 0
0
−a
0
( 2) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( − x ) = − f ( x ), 为奇函数，
1 练习： 练习：0 ∫ 1 + 3 x dx.
8
(2)∫ x2 a2 − x2 dx
0
a
a4 key : (1)3 ln 3; ( 2) π 16
在作三角代换时， 要当心条件 是否满足！！！ 2是否满足！！！ 在作三角代换时，尤其
1 ∫−11 + x2dx =
1
令x =
1 t
1 1 ∫−1 1 2 ⋅ (− t 2 )dt 1+ t

3、分部积分法 uvdx uv uvdx
udv uv vdu
分部积分公式
二、典型例题
x x 2 3 例1 求 9 x 4 x dx.
解
3 x 3 x 3 x d ( ) 令( ) t 1 ( ) dt 2 1 2 2 原式 dx 3 t2 1 3 2x 3 3 2x ln ( ) 1 ln ( ) 1 2 2 2 2
( 5)

1 dx arcsin x C (11) 2 1 x
(12)
( 6)
cos xdx sin x C
x
ax (13) a dx C ln a
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
5、第一类换元法
定理 1 设 f ( u) 具有原函数，u ( x ) 可导， 则有换元公式
1 t 1 1 1 ln C ( )dt 3 t 1 t 1 2(ln 3 ln 2) t 1 2 ln 2 1 3x 2x ln x C. x 2(ln 3 ln 2) 3 2
1
x e ( 1 sin x ) 例2 求 1 cos x dx.
x e tan C . 2
x
例3
求
dx . 10 x( 2 x )
1 d ( x 10 ) x 9 dx 10 10 10 10 x ( 2 x ) 10 x ( 2 x )
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
一、主要内容
原
选 择 u 有 效 方 法