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2019级高一年级上学期期末测试卷数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案A B A B D D C D A D C B【解析】1．集合{|3}A x x =<A ，故选A ．2．将圆的方程2224110x y x y ++--=化为标准方程可得22(1)(2)16x y ++-=，由标准方程可得圆的半径为4，故选B ．3．分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面，故选A ．4．5log 0.60a =<，0.60.6510.5(01)b c =>=∈，，，∴a c b <<，故选B ．5．点(369)P ，，关于平面xOy 的对称点是1(369)P -，，，则垂足Q 是1PP 的中点，所以Q 的坐标为(360)P ，，，故选D ．6．(4)(2)A a B a -，，，∵，且斜率为2，则422AB a k a--==-，解得8a =，故选D ．7．∵直线2830()kx y k k -++=∈R 的方程可化为32(4)y k x -=+，当4x =-，3y =时方程恒成立，∴直线过定点(43)-，，故选C ．8．原平面图形是直角梯形，高为2a ，上底为a ，下底为(1a +，面积是12(112a a ⨯⨯++2(2a =+，故选D ．9．由两直线平行得8m =-，在直线3460x y --=上任取一点(20)P ，，则点P 到直线620x my +-=的距离为2216(8)d =+-，故选A ．10．方程()20190f x -=在(0)-∞，上有解，∴函数()y f x =与2019y =在(0)-∞，上有交点，分别观察直线2019y =与函数()f x 的图象在(0)-∞，上交点的情况，选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，故选D ．11．由三视图可知该几何体为以2为半径，3为高的圆锥沿着轴截得的半个圆锥，所以211π232π32V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选C ．12．偶函数满足(1)(1)f f -=，即11lg(101)lg(101)a a -++=+-，解得12a =，奇函数满足(0)0f =，则00202b +=，解得1b =-，则11122a b +=-=-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案310x y +-=1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，24π【解析】13．由题得直线310x y -+=的斜率为13，所以所求直线的斜率为3-，所以所求直线的方程为23(1)y x +=--，即310x y +-=．14．设圆心(11)，到直线22x y -=的距离为d ，则圆上的点到直线2x y -=的距离的最小值等于d r -22112-=．15．由题意，可作出函数图象如图1，由图象可知01601a a <<⎧⎨-⎩，≥，解之得116a <≤．16．平面四边形ABCD 中，24AB AD CD BD BD CD ====⊥，，，将其沿对角线BD 折成三棱锥A BCD -，使平面ABD ⊥平面BCD ，三棱锥A BCD -的顶点在同一个球面上，BCD △和ABC △都是直角三角形，BC 的中点就是球心，所以26BC =图1，所以球的表面积为24π．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：当1a >时，()log a f x x =在(0)+∞，上为增函数，…………………………（1分）∴在[327]，上函数()f x 的最小值为(3)log 3a f =，最大值为(27)log 27a f =，……………………………………………………（3分）∴log 27log 32a a -=，即log 92a =，解得3a =；……………………………（5分）当01a <<时，()log a f x x =在(0)+∞，上为减函数，…………………………（6分）∴在[327]，上函数()f x 的最小值为(27)log 27a f =，最大值为(3)log 3a f =，…………………………………………………………（8分）∴log 3log 272a a -=，即log 92a =-，解得13a =，………………………（9分）综上所述3a =或13a =．………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得32405370x y x y --=⎧⎨--=⎩，，解得两直线交点为(21)，，………………………………………………………（2分）设直线l 的斜率为1k ，∵l 与20x y ++=垂直，∴11k =，……………………………………………（4分）∵l 过点(21)，，∴l 的方程为12y x -=-，即10x y --=．…………………………………（6分）（Ⅱ）设圆C 的半径为r=，………………………………………………………………………（8分）则由垂径定理得2224r =+=，∴2r =，…………………………（10分）∴圆的标准方程为22(3)4x y -+=．………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵PD ⊥平面ABCD ，∴21123(23)8333P ABCD ABCD V PD S -==⨯= ．……………………………（4分）（Ⅱ）证明：如图2，∵E F ，分别是PC PD ，的中点，∴EF CD ∥，由正方形ABCD ，∴EF AB ∥，又EF ⊄平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，……………（6分）同理可得EG PB ∥，可得EG ∥平面PAB ，又EF EG E = ，∴平面PAB ∥平面EFG ．…………………………………（8分）（Ⅲ）证明：∵EM BC AD ∥∥，∴A D E M ，，，四点共面，由PD ⊥平面ABCD ，∴AD PD ⊥，…………………………………………………………………（9分）又AD CD ⊥，PD CD D = ，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥，……………………………………………（10分）又PDC △为等腰三角形，E 为斜边的中点，∴DE PC ⊥，…………………………………………………………………（11分）又AD DE D = ，∴PC ⊥平面ADEM ，即PC ⊥平面ADM ．……………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题设，总成本为20000125x +，…………………………………（2分）则21300200000320260000125320x x x x y x x x ⎧-+-<∈⎪=⎨⎪->∈⎩N N ，≤，且，，，且.………………………（5分）（Ⅱ）当0320x <≤时，21(300)250002y x =--+，…………………………（7分）则当300x =时，max 25000y =；…………………………………………………（8分）当320x >时，60000125y x =-是减函数，…………………………………（9分）则6000012532020000y <-⨯=，……………………………………………（11分）∴当月产量300x =件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．图2………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，设圆心为(1)a a +，．则圆C 为22()[(1)]8x a y a -+-+=，……………………………………………（2分）∵圆C 过点(63)，，∴22(6)[3(1)]8a a -+-+=，…………………………………………………（4分）解得4a =，…………………………………………………………………（5分）即圆C 的方程为22(4)(5)8x y -+-=．………………………………………（6分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=，…………………………（7分）∵过点(30)，的直线l 截圆所得弦长为∴1d =，则125k =，……………………………………………（8分）直线l 为125360x y --=；……………………………………………………（9分）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为3x =，此时弦长为…………………………………………………（11分）综上，直线l 的方程为3x =或125360x y --=．…………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数1()e ()e x x h x x =-∈-∞+∞，，函数()h x 为奇函数，……………………………………………………………（2分）函数()h x 的单调递增区间为()-∞+∞，．………………………………………（4分）（Ⅱ）据题意知，当[13]x ∈，时，max 1()()f x f x =，max 2()()g x g x =，…………………………………………………………………………（5分）∵()e x f x =在区间[13]，上单调递增，∴3max ()(3)e f x f ==，即31()e f x =，………………………………………（7分）又∵22()4(2)4g x x x b x b =-++=--++，∴函数()y g x =的对称轴为2x =，……………………………………………（8分）∴函数()y g x =在区间[13]，上的最大值为max ()(2)4g x g b ==+，即2()4g x b =+，……………………………………………………………（10分）由12()()f x f x =，得34e b +=，∴3e 4b =-．……………………………………………………………（12分）。
高一上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题为假命题的是( )A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，，则2.已知函数( )A.是奇函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增D.是偶函数，且在上单调递减3.已知集合，集合，若，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.或4.“”是“幂函数在上是减函数”的一个( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.函数的图像经过点和点，则的单调递增区间是( )A. B.a b >a c b c+>+0a b >>0c d >>a d b c ->-0a b <<22a ab b >>a b >cd >ac bd>()2xf x =()f x (,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞{12}A x x =->{10}B x mx =+<|A B A = 103m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭113m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭{01}m m ≤≤1|03{m m -≤<01}m <≤1n =()()22333nnf x n n x-=-+⋅()0,+∞()()π2tan 02,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭A ⎛ ⎝π,4B ⎛- ⎝()f x ()πππ,π63k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()πππ,π36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZC. D.6.某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中.在注射期间，血液中的药物含量以每小时的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以的衰减率呈指数衰减.若该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为( )（参考数据：，，，）A.2小时B.3小时C.4小时D.5小时7.已知函数，若恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.8.设函数，若，则的最小值为( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个结论中，正确的结论是( )A.“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题B.已知集合A ，B 均为实数集R 的子集，且，则C.，有，则实数m 的取值范围是D.“”是“”的充分不必要条件10.已知函数，则( )A.函数的值域为B.点是函数的一个对称中心C.函数在区间上是减函数()ππππ,2623k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()ππππ,2326k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 1000mg 20%1000mg 1.80.20.0552≈ 1.90.20.0470≈ 3.10.80.5007≈ 3.20.80.4897≈()cos 2sin 4f x x a x =+-()0f x ≤⎡-⎣[]5,5-[]5,4-[]4,4-()()ln ln f x x x a b x =-+()0f x ≥55a b +B A ⊆()A B =R R ðx ∀∈R 210x mx -+≥[]22-,13x <<04x ≤≤()cos sin f x x x =-()f x ⎡⎣π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若函数在区间11.已知函数A.B.，且，恒有C.函数在上的取值范围为D.，恒有成立的充分不必要条件是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数是定义域为R ，图像恒过点，对于R 上任意，则关于x 的不等式的解集为______.13.已知函数的定义域为，则函数14.已知幂函数，则a 的取值范围是______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）已知幂函数是奇函数.(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求a 的取值范围.16.（15分）已知函数.(1)当时，求函数的零点；(2)若函数为偶函数，求a 的值；(3)当时，若关于x 的不等式在时恒成立，求的取值范围.17.（15分）已知函数（其中，）的最小正周期是，点()f x [,a a -()f x m =1m =-12,x x ∀∈R 12x x ≠()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x [2,1)-31,53⎛⎤- ⎥⎝⎦x ∀∈R ()2(21)2f x f ax x -<-6a >()f x ()0,21x x <1>-()2112f x x +<-()f x ()1,3()g x =1 ()f x x ⎛= ⎝()()182f a f a -<-()()2133m f x m m x -=--()f x ()()11233m m a a a ---<-()()33x xf x a a -=⋅-∈R 1a =()f x ()f x 1a =()99140x xf x λ----≤()0,x ∈+∞λ()2tan()f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<2π是函数图象的一个对称中心.（1）求的解析式；（2）求的单调区间；（3）求函数在区间上的取值范围.18.（17分）已知函数.(1)求的定义域及单调区间.(2)求的最大值，并求出取得最大值时x 的值.(3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数a 的取值范围.19.（17分）已知函数为奇函数，且（1）求的解析式与单调递减区间；（2）将函数得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.(π,0)P()f x ()f x ()f x ()f x π0,3⎛⎤⎥⎝⎦44()log (1)log (3)f x x x =++-()f x ()f x 4()log [(2)4]g x a x =++()()f x x ≤(0,3)x ∈()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=++-><<π ⎪⎝⎭(f x ()f x (f x ()y g x =0,2x ⎡π⎤∈⎢⎥⎣⎦()22()30g x x +-=答案以及解析1.答案：D解析：对于A ：若，则，故选项A 正确；对于B ：若，，则，所以，故选项B 正确；对于C ：将两边同时乘以a 可得：，将两边同时乘以b 可得，所以，故选项C 正确；对于D ：取，，，，满足，，但，，不满足，故选项D 不正确；所以选项D 是假命题，故选：D.2.答案：A解析：函数，可得为奇函数，函数和上都单调递增，可得单调递增，故选A 3.答案：B解析：因为，所以或，解得或，即或.因为.当由可得4.答案：A解析：由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或，故必要性不成立.因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件.故选：A.2()f x x -=()223()33n nf x n n x-=-+⋅2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩a b >a c b c +>+0a b >>0c d >>d c ->-a d b c ->-0a b <<2a ab >0a b <<2ab b >22a ab b >>3a =1b =-2c =-3d =-a b >c d >6ac =-3bd =ac bd >()2xf x =-11()2222x xx xf x ---=-=-=12()2x xf x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭()f x 2xy =y =,)-∞+∞()f x |1|2x ->12x ->12x -<-3x >1x <-{3A x x =>∣1}x <-10x +<⇒<B ⊆≤B ⊆131n =(0,)+∞(0,)+∞1n =2n =1n =()223()33n nf x n n x -=-+⋅(0,)+∞5.答案：D解析：依题意，，且因为，得，因为，所以时，得，则.由，所以的单调递增区间是.故选D.7.答案：B解析：依题意，恒成立，即令，设，则恒成立，所以，解得，所以实数a 的取值范围是.故选：B 8.答案：D解析：因为，若，则对任意的，，则当时，，不合乎题意；若时，当时，，，此时，，不合乎题意；若，则当2tan ϕ=π2tan 4ωϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ϕ=π4ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ϕ<<=ππtan 46ω⎛⎫+=⎪⎝⎭ππ()63k k +==-∈Z 42()k k ω=-∈Z 02ω<≤1k =2ω=π()2tan 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππππ2π()262k x k k -<+<+∈Z πππ()326k x k <<+∈Z ()f x ππππ,()2326k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()2cos 2sin 412sin sin 4f x x a x x a x =+-=-+-22sin sin 30x a x =-+-≤22sin sin 30x a x -+≥[]sin 1,1t x =∈-()()22311g t t at t =-+-≤≤()0g t ≥()()222113021130a a ⎧⨯--⨯-+≥⎪⎨⨯-⨯+≥⎪⎩55a -≤≤[]5,5-()()()ln ln ln f x x x ab x x a b x =-+=--0a b +≤0x >0x a b -->01x <<()()ln 0f x x a b x =--<01a b <+<1a b x +<<0x a b -->ln 0x <()()ln 0f x x a b x =--<1a b +>时，，，此时，，不合乎题意.所以，，此时，，则，当时，，，此时，；当时，，，此时，.所以，对任意的，，合乎题意，由基本不等式可得时，即当故的最小值为9.答案：ACD解析：对于A ，因为命题中含有量词“所有”，故该命题为全称量词命题，故A 符合题意；对于B ，如图设全集，集合A ，集合B 如图所示，根据运算得，故B 不符合题意；对于C ，，有成立，则，解得，故C 符合题意；对于D ，满足的数一定满足，所以充分性满足，而满足的数不一定满足，所以必要性不满足，即“”是“”的充分不必要条件，故D 符合题意.故选：ACD.10.答案：ABD解析：因为.对于A 选项，函数的值域为，A 对；对于B 选项，，故点是函数的一个对称中心，B 对；，故函数在区间上不单调，C 错；1x a b <<+0x a b --<ln 0x >()()ln 0f x x a b x =--<1a b +=()()1ln f x x x =-()10f =01x <<10x -<ln 0x <()()1ln 0f x x x =->1x >10x ->ln 0x >()()1ln 0f x x x =->0x >()()1ln 0f x x x =-≥55a b +≥==1a b a b =+=a b ==55a b +U =R ()A B ≠R R ðx ∀∈R 210x mx -+≥240m ∆=-≤22m -≤≤13x <<04x ≤≤04x ≤≤13x <<13x <<04x ≤≤()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()f x ⎡⎣π004f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x x ≤≤ππ4x ≤-≤()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于D 选项，由题意且函数在上为减函数，当时，，所以，，则ABD.11.答案：ABD解析：函数是奇函数，所以，解得，代入验证可知，所以，故A 正确；在R 上单调递增且，函数上单调递增，所以函数在R 上单调递增，则，且，恒有，故B 正确；因为在上单调递增，在上的取值范围为，故C 错误；若，恒有成立，则，则的解集为R ，当时，，解得时，要使得解集为R ，则有解得，综上，若，恒有成立，则，因此其成立的充分不必要条件可以是，故D 正确.故选ABD.12.答案：0a >()f x [],a a -a x a -≤≤ππ44a x a --≤-≤πππ,444a a ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦ππππ,,4422a a ⎡⎤⎡⎤---⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π4ππ420a a a ⎧--≥⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩a <≤()f x m =+()f x 2(0)102f m m =+=+=1m =-()f x ()()f x f x =--1m =-()1221222()11121212121xx x x x f x ++-=-+=-+=-+-=+++21x=+1t >y =)+∞()f x 12,x x ∀∈R 12x x ≠()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x [2,1)-(2)f -=(1)f =()f x [2,1)-31,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭x ∀∈R ()2(21)2f x f ax x -<-2212x ax x -<-2410ax x -+>0a =410x -+>x <0≠20,(4)40,a a >⎧⎨∆=--<⎩4a >x ∀∈R ()2(21)2f x f ax x -<-4a >6a >1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭解析：因为，即，即在上单调递增，又，所以.由，即.所以答案为：13.答案：解析：因为的定义域为，所以满足，又函数，所以函数，故答案为：14.答案：解析：由幂函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数a 的取值范围为.故答案为：.15.答案：(1)(2)解析：(1)因为是幂函数，所以，即，所以，解得或.当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意；1x x <1>-⇒()()()1212f x f x x x -<--()()1122f x x f x x +<+()()g x f x x =+(),-∞+∞()02f =()()0002g f =+=()2112f x x +<-⇒()()21212f x x +++<()()210g x g +<210x +<⇒x <1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()5,6()f x ()1,3()3f x -13346x x <-<⇒<<()g x =505x ->⇒>()g x =()5,6()5,6(3,4)1101()f x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞()()182f a f a -<-18210820a a a a ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩34a <<(3,4)(3,4)()3f x x=()(),13,-∞+∞ ()f x 2331m m --=2340m m --=()()410m m -+=4m =1m =-4m =()3f x x =()()3f x x f x -=-=-()f x 4m =当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意.故.(2)由(1)可知，所以不等式，即不等式，因为为增函数，所以，即，所以，解得或，即a 的取值范围是.16.答案：(1)当时，函数的零点为0(2)(3)的取值范围是解析：(1)当时，，令，解得，所以当时，函数的零点为0.(2)因为函数为偶函数，所以，即，所以，又不恒为0，所以，即.(3)当时，，因为关于x 的不等式在时恒成立，所以又因为，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围是.1m =-()2f xx -=()()2f x x f x --==()f x 1m =-()3f x x =4m =()()11233m m a a a ---<-()()33233a a a -<-3y x =233a a a -<-2430a a -+>()()130a a -->3a >1a <()(),13,-∞+∞ 1a =()f x 1a =-λ(],8-∞1a =()33x xf x -=-()330x xf x -=-=0x =1a =()f x ()f x ()()f x f x -=3333x x x x a a --⋅-=⋅-()()1330x xa -+-=33x x --10a +=1a =-0x >()330x xf x -=->()99140x xf x λ----≤()0,x ∈+∞()233169914333333x xx xx x x x x xλ------+++≤==---1633833x x x x---+≥=-33x x--=)3log 2=+8λ≤λ(],8-∞17.答案：（1）（2）增区间是，，无减区间（3）解析：（1）由于的最小正周期为，，即，由于点是函数图象的一个对称中心，，则.由于，所以.（2）由，解得，，所以的增区间是，，无减区间.（3）因为，所以函数在区间上的取值范围为.18.答案：(1)的单调增区间为，单调减区间为(2)的最大值为1，此时x 的值为1(3)解析：(1)根据具体函数定义域的求解方法，根据题意可得解得所以函数的定义域为；1π()2tan 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2π2π,2π)k k -k ∈Z (,-∞-()f x 2π2π=ω=1()2tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(π,0)P ()f x ϕ+=∈Z π2k ϕ=∈Z 0πϕ<<ϕ=1π()2tan 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1πππ222k x k -<+<∈Z 2π2π2πk x k -<<k ∈Z ()f x (2π2π,2π)k k -k ∈Z π0,3x ⎛∈ ⎝ππ2π,223x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()f x π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦(,-∞-()f x ()1,1-()1,3()f x [)2,-+∞1030x x +>⎧⎨->⎩13x -<<()f x ()1,3-令，则函数在单调递增，在上单调递减又函数在定义域上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的规则函数的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)中所得单调性可知，时，取得最大值故的最大值为1，此时x 的值为1.(3)根据题意得，在上恒成立，在 上恒成立，即在上恒成立即在上恒成立，令，则，即a 的取值范围为.19.答案：（1），递减区间为，；解析：（1）由题意，的最小正周期为，即可得，又，，又，()()()()2444log 1log 3log 14f x x x x ⎡⎤=++-=--+⎣⎦()()214t x x =--+()t x ()1,1-()1,34log y t =()f x ()1,1-()1,31x =()f x ()()11max f x f ==()f x ()()0f x g x -≤()0,3x ∈1≤()0,3x ∈210x ax ++≤()0,3x ∈1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭()0,3x ∈()1(03)h x x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭()2max h x =-2a ∴≥-[)2,-+∞()2sin 2f x x =3,44k k ππ⎡⎤+π+π⎢⎥⎣⎦k ∈Z 2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭)cos()2sin 6x x x ωϕωϕωϕπ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭ (f x ∴()f x T =π2ω=(f x k =πk ∈Z 0<()2sin 2f x x =函数的递减区间为，（2）将函数的图象，，得到函数的图象，又，则即令时，，画出的图象如图所示：，，关于，，，上有两个不同的根，，，又3222,2k x k k π≤≤+ππ+∈Z 3,4k x k k ππ≤≤+π∈Z ∴()f x 3,44k k ππ⎡⎤+π+π⎢⎥⎣⎦k ∈Z (f x 2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 43y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭()22()30g x x +-=()g x =()g x =sin 43x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π43x ⎛⎫= ⎪⎝⎭π-4z x =0,2⎡π⎤∈⎢⎥⎣⎦54,333z x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦sin y z =sin z =12z z =12z z +=πsin z =3z =44π3z =55π3z =sin 43x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0,2⎤⎥⎦π1x 2x 124433x x ππ-+-=π12x x ∴+=sin 43x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π所以方程在()22()30g x x +-=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
高一数学下学期期末考试全真模拟卷（四）测试时间：120分钟测试范围：人教A2019必修第一册+第二册 满分：150分 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【详解】 由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22MN x x =-<<．故选C ．2、若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．3、设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.4、0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 【答案】D【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71()333b a -==>=， 0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.5、如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，M F ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===， 35,,722MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ． 6、设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．10π9 B ．7π6C ．4π3D ．3π2 【答案】C【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C7、等边三角形ABC 的垂心为O ，点D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AD =（ ）A ．23OB AC + B ．1223OB AC +C ．34OB AC +D ．1322OB AC + 【答案】A【详解】如图所示：延长BO 交AC 于点E ，因为O 为等边三角形ABC 的垂心，所以E 为AC 的中点，所以()2233AD AC CD AC CB AC EB EC =+=+=+- 23123223AC OB AC OB AC ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭. 故选：A8、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）9、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1()2x y = B ．2y x =- C ．1y x = D ．3y x =-【答案】BD【详解】A ，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故排除A ；B ，函数2y x =-是R 上的奇函数也是减函数，故B 正确；C ，函数1y x=在定义域上是奇函数，但在(),0-∞和(0,)+∞上是减函数，在定义域上不具有单调性，故排除C ；D ，函数3y x =-是R 上的奇函数也是减函数，故D 正确.故选：BD10、对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-=，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.11、设,a b 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若γα⊥，//αβ，则γβ⊥B ．若βα⊥，γα⊥，则//βγC ．若a α⊥，a β⊥，则//αβD ．若a α⊥，a b ⊥，则//b α【答案】AC【详解】对于A ，由面面垂直的判定可知是正确的；对于B ，观察教室的墙角共顶点的三个平面，发现β与γ还可能相交，故B 错误；对于C,直线a 同时垂直平面,αβ，则直线a 与两平面所成的角均为90︒，故两平面平行，故C 正确； 对于D ，直线b 可能在平面α内，故D 错误．故选：AC.12、如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则（ ）A ．平面α截直四棱柱1111ABCD A BC D -所得截面的形状为四边形B ．平面α截直四棱柱1111ABCD A BCD -所得截面的面积为73C ．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25D ．点B 到平面α的距离与点1A 到平面α的距离之比为1:3 【答案】BC【详解】A ：如图，延长EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P 交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，连接ME ，NF ，则平面α截直四棱柱1111ABCD A BC D -所得截面为五边形1D MEFN ，错误；B ：由平行线分线段成比例可得，1AP BF ==，故13DP DD ==，则△1DD P 为等腰直角三角形，由相似三角形可知1AM AP ==，故12A M =，则11D M D N ==ME EF FN ===，连接MN ，易知MN =1D MEFN 可以分成等边三角形1D MN 和等腰梯形MEFN ，等腰梯形MEFN 的高h =则等腰梯形MEFN =，又112D MN S ==△1D MEFN 的面积为=．正确；C ：记平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，则12D DPQ M PAE N CFQV V V V ---=--111111253331111113232326=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，所以11111125471266ABCD A B C D V V V -=-=-=，则12:47:25V V =，正确；D ：平面α过线段AB 的中点E ，所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等，由平面α过1A A 的三等分点M 可知，点1A 到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍， 因此点1A 到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍，错误． 故选：BC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、平面向量a →与b →的夹角为3π，且()2,0a →=，1b →=，则2a b →→-=________． 【答案】2【详解】因为()2,0a →=， 所以2a →=，又因为a →与b →的夹角为3π，1b →=， 所以cos 13a b a b π→→→→⋅=⨯⨯=，所以22a b →→-=== 故答案为：214、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos 0b A a B +=，则B =___________. 【答案】34π.【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．15、学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A BC D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .【答案】118．8【详解】由题意得， 2146423122EFGH S cm =⨯-⨯⨯⨯=， 四棱锥O−EFG 的高3cm ， ∴31123123O EFGH V cm -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A BC D -的体积为32466144V cm =⨯⨯=，所以该模型体积为22114412132V V V cm =-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．16、设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围为_________________. 【答案】7(,]3-∞ 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）17、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]⋯（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.【答案】（1）0.006；（2）0.4；（3）110. 【详解】（1）因为(0.0040.00180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，所以0.006a =（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4+⨯=， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为123,,A A A ；受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为12,B B .从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}{}{}{}12131112,,,,,,,A A A A A B A B{}{}{}{}{}{}232122313212,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B B B又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{}12,B B ， 故所求的概率为110P =18、已知单位圆的内接ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若)2bcosC ccosB sinAtanB +=（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆，求ABC ∆的周长．【答案】（1）3B π=；（2）【详解】（1）在ABC ∆中，2b sinB =，2c sinC =，)222sinBcosC sinCcosB sinAtanB +=，()B C sinAtanB +=，所以tanB =因为()0,B π∈，所以3B π=．1223ABC S acsinB B π∆===（），所以3ac =①，2b sinB ==2222b a c accosB =+-得223a c ac +-=②由①②得a c ==所以ABC ∆的周长为a b c ++=．19、如图所示，在四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAC ⊥平面PBD ，AC 与交BD 于点O ．（1）连接PO ，试证明：PO BD ⊥；（2）若G 是PD 的中点，AG ⊥平面PCD ，求多面体ABCGP 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【详解】（1）证明：过点A 作AF PO ⊥，垂足为F ，∵平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC 平面PBD PO =，AF ⊂平面PAC ，∴AF ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，∴AF BD ⊥．∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．而AF 、AC ⊂平面PAC ．∴BD ⊥平面PAC ，结合图形知PO ⊂平面PAC ．故PO BD ⊥．（2）解析：∵G 为PD 中点且AG ⊥平面PCD ，而PD 、CD ⊂平面PCD ，∴AG CD ⊥且AG PD ⊥，进而得2AP AD AB ===．另一方面整合得CD AD CD AG AD AG A ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩，即CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，则CD PA ⊥．由（1）知BD ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴BD PA ⊥，整合得PA CD PA BD CD BD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩，则PA ⊥平面ABCD ，于是PA 是四棱锥P ABCD -的高．因为G 是PD 的中点，则三棱锥G ACD -的高为112PA =，由此21111212132323G ACD ABCD V S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形． 进而1822333P ABCD G ACD G ACD ABCD ABCGP V V V S PA V ---=-=⨯-=-=正方形多面体．20、已知函数()2cos cos 444x x f x x =+. （1）若()1f x =，求2πcos()3x -的值. （2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足1cos 2a C c b +=，求()f B 的取值范围. 【答案】（1）12-；（2）3(1,)2. 【详解】（1）()211cos cos cos 4442222x x x x x f x =+=++=1sin 262x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 由()1f x =可得：1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 2cos cos cos 333x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2112sin 112622x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭. （2）由余弦定理得：222122a b c a c b ab +-⋅+=，整理可得：22222a b c bc b +-+=， 222b c a bc ∴+-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==， 又()0,A π∈，3A π∴=，23B C π∴+=， 203B π∴<<，则6262B πππ<+<，1sin ,1262B π⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13sin 1,2622B f B π⎛⎫⎛⎫∴=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f B 的取值范围为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.21、计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）1130【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.22、如图1，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面1D AE ；(2)设F 为1CD 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得//MF 平面1D AE ，若存在，求出AM AB 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）线段AB 上存在满足题意的点M ，且AM AB ＝14【详解】(1)证明连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面D1AE.(2)解AM＝14AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝14 AB，∴FL∥AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF∥AL，因为MF不在平面AD1E上，AL⊂平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB＝14.。
2023-2024学年全国高一上数学期末试卷考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，是自然数集，则( )A.B.C.D.2. 已知均为正实数，则“”是“”的 A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3. 已知是第二象限角，若，则＝（ ）A.B.C.D.4. 下列命题中，真命题是（ ）A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={−2,−1,0,1,2}{0,1,2,3}{0,1,2}{1,2}()αsin(−α)=−π213sin α−22–√3−131322–√3∀x ∈R ln ≥02A.，B.，C.，D.，5. 为了得到函数的图像，可将函数的图像( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度6. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：在四个函数模型（，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝7. 不等式有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.根据表格中的数据，可以断定：方程的一个根所在的区间是( )∀x ∈R ln ≥0x 2∀x ∈R −1≤≤11sin x ∃∈R x 0≤1e x 0∃∈R x 0cos =2x 0y =cos 2x y =sin(2x −)π6π6π3π6π3x 123458y 0.51.52.082.52.823.5a b x y y a +bxy a +b xy a +xlog b y a+x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2a [−1,+∞)(−∞,−4−4ln 2)∪[−1,+∞)(−∞,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)(−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)−x −2=0e x x −10123A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9. 下列四个等式其中正确的是（ ）A.B.C.D.10. 某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：则下列结论中正确的有A.调整后房地产业的利润有所下降B.调整后医疗器械的利润增长量最大C.调整后生物制药的利润增长率最高D.调整后金融产业的利润占比最低11. 在同一直角坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是( )e x0.371 2.727.3920.09x +212345(1，2)(0，1)(2，3)(−1，0)=1tan 22.5∘1−tan 222.5∘tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√−=cos 2π8sin 2π82–√2−=41sin 10∘3–√cos 10∘f (x)=kx +b g(x)=x log bA.B.C.D.时，卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 求值：________．13. 已知扇形的圆心角的弧度数为，其弧长也是，则该扇形的面积为________．14. 函数，的单调递减区间是________．15. 函数的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16. 已知集合＝，＝．（1）若＝，求、；（2）若＝，求实数的取值范围．17. 已知（，且为常数）．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在区间内，存在，且时，使不等式成立，求的取值范围．18. 已知函数＝．k <0,0<b <1k >0,b >1f ()g(1)>0(x >0)1xx >1f (x)−g(x)>0lo 15−lo 25=g 312g 322y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2f (x)=2x −x +1−−−−−√A {x |−2<x <7}B {x |a ≤x ≤3a −2}a 4A ∪B (A)∩B ∁R A ∪B A a f(x)=1+ln xax a ≠0a f(x)(1,+∞)，x 1x 2≠x 1x 2|f()−f()|x 1x 2≥k|ln −ln |x 1x 2k f(x)（1）求函数的最小正周期，以及在，]上的单调性．（2）已知，，分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，＝，＝，且恰是函数在，]上的最大值，求和．19. 年，随着中国第一款手机投入市场，技术已经进入高速发展阶段．已知某手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其成本为，其中固定成本为万元，并且每生产万台的生产成本为万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入万元满足，（1）将利润表示为产量万台的函数；（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？20. 在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 21. 设，函数；（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意成立，求的取值范围．f(x)f(x)[0a b c ABC A a 1c f(A)f(x)[0A b 20195G 5G 5G x(0≤x ≤10)G(x)80011000R(x)R(x)={ −400+4200x,0≤x ≤5x 22000x −3800,5<x ≤10f(x)x x S a ∈R f(x)=+a 2x +12x a f(x)f(x)a +22x ∈R a参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为集合，是自然数集，所以.故选.2.【答案】C【考点】由基本不等式证明不等关系【解析】代入特殊值，判断不是充分条件，再根据基本不等式判断必要条件．【解答】取，则，但，所以由推不出；若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“的必要不充分条件．故选：．3.A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={0,1,2}C a =100,b =2=<2ab a +b 200102ab =200>16≤2ab a +bab ≤16ab ≤16≤=≤2ab a +b ab 2ab −−√ab −−√2a =b =4ab ≤16≤2ab a +b ≤2ab a +b ab ≤16C【答案】D【考点】同角三角函数间的基本关系运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】是第二象限角，若可得，所以．4.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用全称命题与特称命题【解析】根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论．【解答】解：，当时，，故错误；，当时，无意义，故错误；，当时，显然成立，故正确；，，故错误.故选.5.【答案】D【考点】αsin(−α)=−π213cos α=−13sin α==1−co αs 2−−−−−−−−√22–√3A x =12ln <0x 2A B x =01sin x B C =0x 0≤1e x 0C D cos ∈[−1,1]x 0D C函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式将函数名化相同，根据三角函数图象平移变换规律可得答案．【解答】解：∵，∴将函数的图象向左平移个单位可得．故选．6.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由表格中的数据作出散点图，结合图象得答案．【解答】由表格中数据作出散点图：由图可知，是关于的增函数，且递增的比较缓慢，7.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，讨论，，，可得方程的解为和，可得的不等式，解不等式即可得到所求范围．y =cos 2x =sin(2x +)=sin[2(x +)−]π2π3π6y =sin(2x −)π6π3D y x x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2a <2a =2a >213a【解答】不等式，即为，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，由函数的图象恒过点，又过，当时，横坐标为的点满足题意，可得，解得；当，两图象无交点；当时，横坐标为的点满足题意，可得：，且，解得，则的范围是，8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：令，由表知，，∴方程的一个根所在的区间为．故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9.【答案】B,C,D【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2y =−+(2−a)x +2a x 2(2,0)(−a,0)a <21ln 1≤−1+(2−a)+2a a ≥−1a =2a >234ln 4>−+4(2−a)+2a 423ln 3<−+3(2−a)+2a 32−4−4ln 2<a <−3−3ln 3a (−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)f(x)=−x −2e x f(1)=2.72−3<0f(2)=7.39−4>0−x −2=0e x (1，2)A利用三角恒等变换逐项判断即可．【解答】解：，，故，故错误；，，故，故正确；，，故正确；，，故正确．故选.10.【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】略11.【答案】A,B,C【考点】对数函数的图象与性质一次函数的性质与图象【解析】由的图象可得故不正确，再由故不正确，则答案可求．【解答】解：由直线方程可知，，故不正确；而，故不正确；A =tan tan 22.5∘1−tan 222.5∘1245∘=12=tan 22.5∘1−tan 222.5∘12B tan 60∘=tan(+)==25∘35∘tan +tan 25∘35∘1−tan tan 25∘35∘3–√tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√C −=cos =cos 2π8sin 2π8π42–√2D −=1sin 10∘3–√cos 10∘cos −sin 10∘3–√10∘sin cos 10∘10∘===42cos(+)60∘10∘sin 1220∘2sin 20∘sin 1220∘BCD f (x)k >0,0<b <1A ，B g(1)=0C k >0，0<b <1A ，B g(1)=0C f(x)>g(x)由图象可知，当时，，，故正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】【考点】对数的运算性质【解析】直接利用对数的运算性质即可求解．【解答】＝＝．13.【答案】【考点】扇形面积公式【解析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．【解答】由弧长公式可得＝，解得＝．∴扇形的面积＝．14.【答案】【考点】正弦函数的单调性x >1f(x)>g(x)f (x)−g(x)>0D ABC 1lo 15−lo 25=15−5g 312g 3log 3log 33log 31122r r 1S =lr =×2×112121[0,π]23【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．15.【答案】【考点】函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则，利用换元法可将函数的解析式换元为： .结合二次函数的性质可知当 时函数取得最小值.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16.【答案】＝时，集合＝＝，＝＝＝，所以＝；又＝，所以＝；y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z −+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]23−178t =，t >0x +1−−−−−√x =−1t 2g(t)=2(−1)−t =2−t −2(t >0)t 2t 2t =14g()=−−2=−141814178−178a 4A {x |−2<x <2}(−2B {x |a ≤x ≤3a −3}{x |4≤x ≤10}[4,10]A ∪B (−2,10]A ∁R (−∞,−2]∪[7A ∩B ∁R [8,10]A ∪B A B ⊆A由＝，得，①当＝时，；②时，应满足，解得，即；综上知，实数的取值范围是．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．A ∪B A B ⊆A B ∅a >3a −2B ≠∅4≤a <3a a <3∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e【考点】函数奇偶性的性质与判断不等式的证明利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查函数的性质、导数的应用、不等式的证明．【解答】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．18.【答案】由题意可得：＝＝+＝），所以函数的周期为＝＝，∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e f(x)x+cos 2sin x cos x+sin 2x+sin(2x++3f(x)T π令，解得，，因为，]，则令＝可得，]，故函数在区间，]上单调递增]上单调递减；由（1）知：＝），又恰是函数在，]上的最大值，所以＝，解得＝，则在三角形中，由余弦定理可得：＝，即＝，解得＝或，故＝，＝或．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】7kπ−≤2x+k k ∈Z x ∈[0k 0x ∈[0f(x)[0f(x)sin(2x++2f(A)f(x)[02A+A ABC a 2+−2bc cos A b 4c 252+8−2b×b 2b 17A b 13G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600f(x)R(x)−G(x)（1）根据＝得出解析式；（2）分段求出函数的最大值，从而得出利润的最大值．【解答】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．20.【答案】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．【考点】扇形面积公式【解析】设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；【解答】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．21.【答案】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；f(x)R(x)−G(x)G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S rr =S −−√θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S r r =S −−√f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2xa −1(x)a +2对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）由在上为奇函数，可得＝，解方程可得的值，检验即可；（2）由题意可得即为恒成立，等价为，即有，讨论＝，，，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到的范围．【解答】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．f(x)a +22x ∈R +a 2x+12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]f(x)R f(0)0a +a 2x +12x a +22a −1+12x a 22(a −1)<a(+1)2xa 0a >0a <0a f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2x a −1f(x)a +22x ∈R +a 2x +12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a 0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]。
2022-2023学年高中高一下数学期末试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：135 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若复数为纯虚数，则实数＝（ ）A.B.C.D.2. 在中，若，则等于( )A.B.C.D.3. 已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则4. 年月日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（ ）z =+1a 1+ia −2−112△ABC =b cos B3–√a sin A cos B −1212−3–√23–√2m n l αβγ( )m//n n ⊂αm//αl ⊥αm ⊂βl ⊥m α//βα⊥γβ⊥γα∩β=l l ⊥γm ⊂αn ⊂αm//βn//βα//β2019111APP 2A.B.C.D.5. 求值： A.B.C.D.6. 中，点为上的点，且，若，则的值是( )A.B.C.D.7. 已知四棱锥的各顶点都在球的表面上，且四边形是长方形，底面， ，则球的表面积是( )A.B.C.D.8. 设定义在区间内的函数满足下列条件：①单调递增；②＝恒成立；③，则＝（ ）A.B.23121314=sin cos −cos 10∘15∘65∘sin sin +sin 10∘15∘65∘()−2−3–√−23–√2−3–√2+3–√△ABC M AC =AM −→−12MC −→−=λ+μBC −→−BM −→−BA −→−λ−μ1357S −ABCD O ABCD SD ⊥ABCD AD =2，AB =4，AS =5–√O 21π7ππ214π74(0,+∞)f(x)f(x)⋅f[f(x)+]2x 4f(2)+1>0f(2)1−3–√1+3–√1±3–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列说法正确的是（ ）A.命题“， ”的否定是“，”B.是的充分不必要条件C.若，则D.定义在上的偶函数的最大值为10. 若复数满足，则关于复数的说法不正确的是( )A.复数的实部为B.复数的虚部为C.复数的模长为D.复数对应的复平面上的点在第一象限11. 在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，12. 如图所示，是半圆的直径．垂直于半圆所在的平面，，点是圆周上不同于，的点，，，分别为，的中点，则下列结论正确的有 A.平面B.平面平面1±3–√2∃∈R x 0+≥2x 01x 0∀∈R x +>21xx >3>4x 2tan(π+α)=2sin 2α=±45[a,5]f (x)=+(a +5)x +5x 230z z ⋅(2+i)=⋅(1−i)+1z¯¯¯z z 1z 0z 1z △ABC b =10A =45∘C =70∘b =45c =48B =60∘a =14b =16A =45∘a =7b =5A =80∘AB O VA O VA=3–√C A B CA =3,CB =4M N VA VC ()MN//ABCVAC ⊥VBCV −BC −A 30∘C.二面角的大小为D.三棱锥的体积为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，，，则的最小值是________．14. 已知＝，，则________．15. 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.16. “哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，则________．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）17. 已知平面向量，．Ⅰ求；Ⅱ若与垂直，求实数的值．18. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成,,,,五组，并整理得到如下频率分布直方图：V −BC −A 30∘O −VAC 23–√x y ∈R ++xy =315x 2y 2+−xy x 2y 23sin αtan α+80α∈(0,)∪(,π)π2π2tan(α−)=π4−15–√2F A B ⋅=FB →AB →=(1,2)a =(−3,2)b ()⋅a b ()k +a b −a b k [3,4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8]（1）已知该校高三年级共有名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足小时的学生中随机抽取人，恰有两人来自乙班的概率．19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，＝＝，＝＝，点，分别为线段，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．20. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，＝．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值． 21. 已知函数是偶函数．（1）求实数的值；60054043P −ABCD ABCD PB PD 3PA AD 3E F PD BC EF //ABP AEF ⊥PCD C −AEF D O AE AE AD △ABC P DO PO =DO 6–√6PA ⊥PBC B −PC −E f(x)=m ⋅+14x 2x m 2k ⋅f(x)>3+12(−∞,0)（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于且虚部不等于得答案．【解答】复数，由于复数为纯虚数，∴＝，且，∴＝，2.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由，可得的值，再由正弦定理求得的值，可得的值．【解答】解：若，则由正弦定理得，x 2k ⋅f(x)>3+1k 2(−∞,0)k 0z =+1=+1=+1=+1−i a 1+i a(1−i)(1+i)(1−i)a(1−i)2a 2a 2z =+1a 1+i +1a 20−≠0a 2a −2cos A =−12A sinB B =b cos B 3–√a sin A =sin B cos B 3–√sin A sin A sin B所以，所以，因为,所以,所以.故选.3.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】利用线面，面面，线线的位置关系将各个选项逐一分析即可得到答案.【解答】解：三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，.，若，，则或，故该选项错误；，若，，，则与可能相交，故该选项错误；，若，，，则，故该选项正确；，若，，，，则或与相交，该选项错误.故选.4.【答案】B【考点】相互独立事件的概率乘法公式相互独立事件【解析】基本事件总数，小王被选中包含的基本事件个数，由此能求出小王被选中的概率．【解答】小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，=sin B cos B 3–√tan B =3–√0<B <πB =π3cos B =cos =π312B m n l αβγA m//n n ⊂αm//αm ⊂αB l ⊥αm ⊂βl ⊥m αβC α⊥γβ⊥γα∩β=l l ⊥γD m ⊂αn ⊂αm//βn//βα//βαβC n ==6C 24m ==3C C 1131n ==62基本事件总数，小王被选中包含的基本事件个数，则小王被选中的概率为．5.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：n ==6C 24m ==3C C 1131p ===m n 3612sin cos −cos 10∘15∘65∘sin sin +sin 10∘15∘65∘=sin cos −cos(−−)10∘15∘90∘10∘15∘sin sin +sin(−−)10∘15∘90∘10∘15∘=sin cos −sin(+)10∘15∘10∘15∘sin sin +cos(+)10∘15∘10∘15∘=sin cos −sin cos −cos sin 10∘15∘10∘15∘10∘15∘sin sin +cos cos −sin sin 10∘15∘10∘15∘10∘15∘=−cos sin 10∘15∘cos cos 10∘15∘=−sin 15∘cos 15∘=−sin(−)45∘30∘cos(−)45∘30∘=−sin cos −cos sin 45∘30∘45∘30∘cos cos +sin sin 45∘30∘45∘30∘=−×−×2–√23–√22–√212×+×2–√23–√22–√212=−=−2−6–√2–√+6–√2–√3–√故选.6.【答案】C【考点】平面向量的基本定理向量的线性运算性质及几何意义【解析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求，，进而可求．【解答】解：∵，∴，∴，，则，，故．故选.7.【答案】A【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：该四棱锥是长方形的一部分，设球的半径为，则，而，所以，B λμ=AM −→−12MC −→−=AM −→−13AC −→−=+=+BM −→−BA −→−AM −→−BA −→−13AC −→−=+(−)=+BA −→−13BC −→−BA −→−23BA −→−13BC −→−∴=3−2BC −→−BM −→−BA −→−λ=3μ=−2λ−μ=5C O R 2R =SB SD ===1A −A S 2D 2−−−−−−−−−−√(−5–√)222−−−−−−−−−√SB ==B +S D 2D 2−−−−−−−−−−√A +A +S D 2B 2D 2−−−−−−−−−−−−−−−√2R ==++222−−−−−−−−−−√即，，所以求的表面积.故选.8.【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断函数恒成立问题【解析】由恒成立思想可令＝，可得＝，运用排除法，设＝，＝，代入计算，运用单调性，即可判断不成立，进而得到答案．【解答】由＝恒成立，可得＝，若＝，则＝，即有，由，可得，但，则，故排除，；若＝，则＝，即＝，则＝，这与矛盾，故排除．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用必要条件、充分条件与充要条件的判断全称命题的否定同角三角函数基本关系的运用诱导公式2R ==++224212−−−−−−−−−−√21−−√R =21−−√2O S =4π=21πR 2A x 2f(2)⋅f[f(2)+1]4f(2)1+3–√f(2)2f(x)⋅f[f(x)+]2x 4f(2)⋅f[f(2)+1]4f(2)1+3–√(1+)⋅f(2+)3–√3–√4f(2+)==2(−1)3–√41+3–√3–√2+>23–√f(2+)>f(2)3–√2(−1)<23–√f(2)≠1+3–√B C f(2)22f(3)4f(3)2f(2)f(3)f(2)<f(3)D函数最值的应用【解析】根据全称命题与特称命题定义判断，根据充分与必要条件判断，根据二倍角公式判断，根据偶函数性质判断.【解答】解：，命题“， 的否定是"，，故错误；，由于可推出，但反之不成立，如，所以是的充分不必要条件，故正确；，，可得，所以，故错误；，由偶函数定义知，区间关于关于原点对称，于是有，再由，解方程得，，，在端点处达到最大值，故正确.故选.10.【答案】B,C,D【考点】复数的模复数的运算复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】首先求出复数，再判断相关概念即可.【解答】解：设，则，∴，则，∴，∴则∴.，复数的实部为，故正确；A B C D A ∃∈R x 0+≥2x 01x 0∀∈R x +<21xA B x >3>4x 2x =−3x >3>4x 2B C tan(π+α)=2tan α=2sin 2α===2tan α1+αtan 22×21+2245C D [a,b]b =−a f (−x)=f (x)a =−5f (x)=+5x 2f (x)f (5)=30D BD z z =a +bi =a −bi z ¯¯¯(a +bi)(2+i)=(a −bi)(1−i)+12a +2bi +ai −b =a −ai −bi −b +1a −1+(2a +3b)i =0{a −1=0，2a +3b =0，a =1，b =−，23z =1−i 23A z 1A 2，复数的虚部为，故不正确；，复数的模长为，故不正确；，复数对应的复平面上的点为，位于第四象限，故不正确.故选.11.【答案】B,C【考点】解三角形正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：已知，则，三角形内角确定，边确定，其只有一个解，选项错误；由正弦定理可得且，则角有两个角，三角形有两个，选项正确；由正弦定理可得且，则角有两个角，三角形有两个，选项正确；由正弦定理可得且，即，角只有一个解，三角形只有一个，选项错误.故选.12.【答案】A,B,C【考点】直线与平面平行的判定平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法柱体、锥体、台体的体积计算【解析】B z −23BC z ≠11+49−−−−−√CD z (1,−)23D BCD A =45°，C =70°B =65°b =10A <sin C ==<13–√2c sin B b 83–√15c >b C B <sin B ==<12–√2b sin A a 42–√7b >a B C sin B ==<1b sin A a 5sin 80°7b <a B <A B D BC【解答】解：，易知，又平面，平面，所以平面，故正确；，由题意得，因为平面，平面，所以因为，所以平面．因为平面，所以平面平面，故正确；，平面，所以，所以 即为二面角的平面角，又所以，故正确；，因为，，所以，故错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】基本不等式及其应用【解析】本题考查基本不等式的应用．【解答】解：因为，，，所以，所以，所以，当且仅当或时，等号成立．故答案为：．14.【答案】A MN//AC AC ⊂ABC MN ⊂ABC MN//ABC AB BC ⊥AC VA ⊥ABC BC ⊂ABC VA ⊥BC.AC ∩VA =A BC ⊥VAC BC ⊂VBC VAC ⊥VBC B C BC ⊥VAC VA ⊥BC,VC ⊥BC ∠VCA V −BC −A VA =,CA =3,3–√∠VCA =30∘C D ==V O−VAC V V−AOC 12V V−ABC =×3×4=6S △ABC 12=××6×=V O−VAC 12133–√3–√D ABC 105x y ∈R ++xy =315x 2y 2315−xy =+≥2xy x 2y 2xy ≤105+−xy =315−2xy ≥315−210=105x 2y 2x =y =105−−−√x =y =−105−−−√1059+4–√【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】∵＝，即 ＝，即 ，求得，或＝（舍去）．∵，∴，∴，则，15.【答案】【考点】极差、方差与标准差【解析】此题暂无解析【解答】解：该运动员得分平均值为，方差故答案为：.16.【答案】【考点】9+42–√7tan α3sin αtan α+80+8α3sin 2cos α0=−83−α3cos 2cos αcos α=−13cos α3α∈(0,)∪(,π)π2π2sin α==α1−cos 2−−−−−−−−√22–√3tan α==−2sin αcos α2–√tan(α−)===π4tan α−11+tan α−2−12–√1−22–√9+42–√76.8=118+9+10+13+155=s 2(8−11+(9−11+(10−11+(13−11+(15−11)2)2)2)2)25=6.8. 6.80平面向量数量积的性质及其运算【解析】本题先根据题意及椭圆的基础知识可设＝，．然后转化，进行向量运算及数量积的计算可得结果．【解答】由题意，可知优美椭圆的的离心率，则可设＝，．根据题意画图如下：结合图象，可得＝＝＝＝＝．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）17.【答案】（1）因为，，所以＝．（2）因为，，则＝，，因为与垂直，所以＝，所以＝．【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】a 2c =−15–√⋅=(−)(−)FB →AB →OB →OF →OB →OA →e ==c a −15–√2a 2c =−15–√⋅=(−)(−)FB →AB →OB →OF →OB →OA →|−⋅−⋅+⋅OB →|2OB →OA →OF →OB →OF →OA→+c ⋅a ⋅cos b 2180∘−−aca 2c 24−(−1−2(−1)5–√)25–√0=(1,2)a =(−3,2)b ⋅=1×(−3)+2×2a b 1=(1,2)a =(−3,2)b k +=k(1,2)+(−3,2)a b (k −3,2k +2)−=(4,0)a b k +a b −a b 4(k −3)0k 3()Ⅰ代入数量积的坐标运算公式计算即可；Ⅱ根据，构造出关于的方程，求出的值．【解答】（1）因为，，所以＝．（2）因为，，则＝，，因为与垂直，所以＝，所以＝．18.【答案】根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到小时及以上的学生人数约为＝．甲班每天学习时间不足小时的学生人数为＝，设为，，乙班每天学习时间不足小时的学生人数为＝，设为，，，，从中抽人的情况有个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，满足条件的有个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，恰有两人来自乙班的概率为＝＝．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】如图，取的中点，，∵点，分别为，，又∵是的中点，四边形是正方形，故四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；证明：()()⊥⇔⋅=0m n m n k k =(1,2)a =(−3,2)b ⋅=1×(−3)+2×2a b 1=(1,2)a=(−3,2)b k +=k(1,2)+(−3,2)a b (k −3,2k +2)−=(4,0)a b k +a b −a b 4(k −3)0k 35600×(0.500+5.250+0.050)480440×7.0502A B 440×2.1004a b c d 320(A,B,a)B b)B c)B d)a b)(A,a,c)a d)b c)(A b (A c (B,a,b)a c)a d)b c)b d)(B,c,d)(a b (a b (a b (b c 12(A,a,b)a c)a d)b c)(A b (A c (B,a,b)a c)a d)b c)b d)c d)P PA G EG E G PD F BC ABCD EFBG EF //BG BG ⊂ABP EF ⊂ABP EF //ABP由条件知，∴和都是等腰直角三角形，，又∵＝，，∴平面，则，又∵，＝、平面，∴平面，得，∵是的中点，∴，又∵＝，，∴平面，而平面，∴平面平面；由图可知＝，∴，即三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直直线与平面平行【解析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可得，从而得到平面；（2）由已知求解三角形证明，，可得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面；（3）由等体积法可得＝，再由棱锥体积公式求解．【解答】如图，取的中点，，∵点，分别为，，又∵是的中点，四边形是正方形，故四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；证明：由条件知，△PAB △PAD PA ⊥AB AB ∩AD A AB PA ⊥ABCD PA ⊥CD AD ⊥CD PA ∩AD A AD ⊂PAD CD ⊥PAD CD ⊥AE E PD AE ⊥PD PD ∩CD D PD AE ⊥PCD AE ⊂AEF AEF ⊥PCD V C−AEF V E−ACF C −AEF PA G BG EG EFBG EF //BG EF //ABP CD ⊥AE AE ⊥PD AE ⊥PCD AEF ⊥PCD V C−AEF V E−ACF PA G EG E G PD F BC ABCD EFBG EF //BG BG ⊂ABP EF ⊂ABP EF //ABP △PAB △PAD PA ⊥AB∴和都是等腰直角三角形，，又∵＝，，∴平面，则，又∵，＝、平面，∴平面，得，∵是的中点，∴，又∵＝，，∴平面，而平面，∴平面平面；由图可知＝，∴，即三棱锥的体积为．20.【答案】不妨设圆的半径为，＝＝＝，＝＝，，，，在中，＝，故，同理可得，又＝，故平面；建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，故，设平面的法向量为，则，可取，同理可求得平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为．△PAB △PAD PA ⊥AB AB ∩AD A AB PA ⊥ABCD PA ⊥CD AD ⊥CD PA ∩AD A AD ⊂PAD CD ⊥PAD CD ⊥AE E PD AE ⊥PD PD ∩CD D PD AE ⊥PCD AE ⊂AEF AEF ⊥PCD V C−AEF V E−ACF C −AEF O 1OA OB OC 1AE AD 2AB =BC =AC =3–√DO ==,PO =DO =D −O A 2A 2−−−−−−−−−−√3–√6–√62–√2PA =PB =PC ==P +A O 2O 2−−−−−−−−−−√6–√2△PAC P +P A 2C 2AC 2PA ⊥PC PA ⊥PB PB ∩PC P PA ⊥PBC B(,,0),C(−,,0),P(0,0,)3–√2123–√2122–√2E(0,1,0)=(−,0,0),=(,,0),=(,−,)BC →3–√CE →3–√212CP →3–√2122–√2PBC =(x,y,z)m ⋅=−x =0m BC →3–√⋅=x −y +z =0m CP →3–√2122–√2=(0,,1)m 2–√PCE =(,−,−2)n 2–√6–√3–√cos θ==|⋅|m n ||||m n 25–√5B −PC −E 25–√5【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】（1）设圆的半径为，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到，，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【解答】不妨设圆的半径为，＝＝＝，＝＝，，，，在中，＝，故，同理可得，又＝，故平面；建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，故，设平面的法向量为，则，可取，同理可求得平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为．O 1PA ⊥PC PA ⊥PB PBC PCE O 1OA OB OC 1AE AD 2AB =BC =AC =3–√DO ==,PO =DO =D −O A 2A 2−−−−−−−−−−√3–√6–√62–√2PA =PB =PC ==P +A O 2O 2−−−−−−−−−−√6–√2△PAC P +P A 2C 2AC 2PA ⊥PC PA ⊥PB PB ∩PC P PA ⊥PBC B(,,0),C(−,,0),P(0,0,)3–√2123–√2122–√2E(0,1,0)=(−,0,0),=(,,0),=(,−,)BC →3–√CE →3–√212CP →3–√2122–√2PBC =(x,y,z)m ⋅=−x =0m BC →3–√⋅=x −y +z =0m CP →3–√2122–√2=(0,,1)m 2–√PCE =(,−,−2)n 2–√6–√3–√cos θ==|⋅|m n ||||m n 25–√5B −PC −E 25–√521.【答案】解：（1）因为函数即＝是定义域为的偶函数，所以有＝，即＝，即＝恒成立，故＝．（2），且在上恒成立，故原不等式等价于在上恒成立，又，所以，所以，从而，即有，因此，．【考点】函数恒成立问题函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）运用偶函数的定义，可得＝，化简整理可得的值；（2）由题意可得在上恒成立，求出右边函数的取值范围，可得的不等式，解不等式即可得到所求范围．【解答】f(x)=m ⋅+14x 2x f(x)m ⋅+2x 2−x R f(−x)f(x)m ⋅+2−x 2x m ⋅+2x 2−x (m −1)(−)2x 2−x 0m 1f(x)=>0.3+1>0+14x 2xk 22k ⋅f(x)>3+1k 2(−∞,0)>2k 3+1k 21f(x)(−∞,0)x ∈(−∞,0)f(x)∈(2,+∞)∈(0,)1f(x)12≥2k 3+1k 2123−4k +1≤0k 2k ∈[,1]13f(−x)f(x)m >2k 3+1k 21f(x)(−∞,0)k (x)=m ⋅+14x解：（1）因为函数即＝是定义域为的偶函数，所以有＝，即＝，即＝恒成立，故＝．（2），且在上恒成立，故原不等式等价于在上恒成立，又，所以，所以，从而，即有，因此，．f(x)=m ⋅+14x 2xf(x)m ⋅+2x 2−x R f(−x)f(x)m ⋅+2−x 2x m ⋅+2x 2−x (m −1)(−)2x 2−x 0m 1f(x)=>0.3+1>0+14x 2x k 22k ⋅f(x)>3+1k 2(−∞,0)>2k 3+1k 21f(x)(−∞,0)x ∈(−∞,0)f(x)∈(2,+∞)∈(0,)1f(x)12≥2k 3+1k 2123−4k +1≤0k 2k ∈[,1]13。
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2019学年度下学期期末考试高一数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【详解】分析：如果，则或者与异面；如果，则或者，故C、D都是错误的. 如果，则或者与异面或者与相交，排除B.详解：如图，在正方体中，平面平面，平面，平面，但，故B错.另外，平面，平面，但是平面平面，故C错.又平面平面，平面，平面，但是与是异面的，故错.根据面面垂直的判定定理可知A正确.综上，选A.，点睛：通常在正方体模型中选择合适的点、线、面进行不同位置关系的判断.2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.视频3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原平面图形是直角梯形,高为2,上底为1,下底为 , 面积是 ,选D.4. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：体积最大的球是其内切球，即球半径为1，所以表面积为.考点：球的表面积.5. 用与球心距离为的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：截面面积球的半径球的表面积，故选C.考点：球的结构特征.6. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即h=2r，又圆柱的侧面积为,∴,∴r=1,h=2,∴圆柱的体积等于，故选B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键7. 已知两异面直线，所成的角为80°，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为50°，那么这样的直线有（）条A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【详解】分析：如图所示，把平移到点处，则与所成的角都为的直线有3条.详解：过作与平行的直线，如图，，直线过点且，这样的直线有两条.又，直线为的平分线，则，综上，满足条件的直线的条数为3.点睛：一般地，如果两条异面直线所成的角为，过空间一点作直线与所成的均为，即直线的条数为，则（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则（6）若，则.8. 已知圆锥的母线长为，圆锥的侧面展开图如图所示，且，上只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：在侧面展开图中，的长度为蚂蚁在圆锥表面爬行的最短路程.详解：在侧面展开图中，蚂蚁从在圆锥表面爬行一周又回到的最短路程就是的长度，因，，故，故选B.点睛：空间几何体的表面路径最短问题，需要展开几何体的表面，把空间中的最值问题转化为平面上两点之间的距离问题.9. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1：2：3B. 1：3：5C. 1：2：4D. 1：3：9【答案】B【解析】如图，令，，由侧面积公式，得分成三个圆锤的侧面积，则分成的三部分面积比为，故选B。
![[精品]2019学年高一数学下学期期末联考试题 理(含解析) 新人教 版](https://uimg.taocdn.com/c5b28f734b35eefdc8d333bc.webp)
2019学年下学期友好学校期末联考试题高一理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 把38化为二进制数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：运用十进制转化为二进制法则将38化为二进制数详解：将得到的余数从后向前依次排列得到的数为故选点睛：本题主要考查了十进制向进位制的转换，主要采用了除取余法来得到，然后根据余数的结果，从后向前排成一列得到结论，属于基础题2. 若角的终边过点，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值详解：角的终边过点，则故选点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。
3. 已知，那么是( )A. 第三或第四象限角B. 第二或第三象限角C. 第一或第二象限角D. 第一或第四象限角【答案】A【解析】由题意知，，则或，所以角在第二或第四象限，故选C.4. 某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取的人数为( )A. 8，15，7B. 16，2，2C. 16，3，1D. 12，3，5【答案】C【解析】试题分析：职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取人，人，人，故选C.考点：分层抽样.5. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据平面的基底的定义，逐一判定两个向量是否是共线的，得到答案.详解：由题意，A中，由向量，则共线，所以不能作为基底；B中，向量满足，所以共线，所以不能作为基底；D中，向量满足，所以共线，所以不能作为基底；C中，向量是坐标系内不共线的两个向量，所以可作为平面的一个基底，故选C.点睛：本题主要考查了向量的共线定理的应用，其中熟记平面的基底的定义和平面向量的共线定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，若，则不等式成立的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可以将，转化为，求解不等式的解集，再由长度比的几何概型，求解概率即可.详解：由题意，定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式，等价于，解得，即不等式的解集为，所以当时，不等式对应的概率为，故选B.点睛：本题主要考查了函数性质的应用和几何概型的概率求解问题，其中正确理解题意，求得不等式的解集是解答的关键，着重考查了转化思想方法的应用，以及分析问题和解答问题的能力.7. 设是不共线的两个向量，已知，，则( )A. 三点共线B. 三点共线C. 三点共线D. 三点共线【答案】D【解析】分析：利用向量的运算，求得，得，即可得到三点共线.详解：由题意，则，即，所以，所以三点共线.点睛：本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用，其中根据向量的线性运算得到是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. 7B. 10C. 9D. 11【答案】C【解析】分析：根据给定的程序框图，逐一循环计算，即可求得结果.详解：由题意，执行上述程序框图可得：第一次循环：，不满足判断条件，；第二次循环：，不满足判断条件，；第三次循环：，不满足判断条件，；第四次循环：，不满足判断条件，；第四次循环：，满足判断条件，输出，故选C.点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．9. 函数的最小值和最大值分别为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：运用二倍角公式，得到关于的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，即可得到答案.详解：由题意，函数，当时，，当时，，故选A.点睛：本题主要考查了三角函数的值域及二次函数的图象与性质的应用，解答中容易忽视正弦函数的取值范围导致错解，高考对三角函数的考查一直以中档试题为主，着重考查了推理与运算能力.10. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由条件利用诱导公式求得，再利用同角三角函数的基本关系求得的值.详解：因为，所以，则，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简三角函数式是解答的关键，特别属于符号的选取，这是解答的一个易错点，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.11. 通过实验，得到一组数据如下：，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A. 3.2B. 4C. 6D. 6.5【答案】C【解析】分析：利用平均数的公式，求得，得到数据，再利用方差的计算公式，即求解数据的方差. 详解：由题意，一组数据的平均数为6，即，解得，所以数据的方差为，故选C.点睛：本题主要考查了数据的数字特的计算，其中熟记数据的平均数的公式和数据的方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12. 定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由求出函数的周期，由周期性和条件可得在上的单调性，进而由函数的奇偶性和周期性得到函数在上的单调性，根据锐角三角形的条件和诱导公式、以及正弦函数的单调性判断出和的大小，根据的单调性，即可得到结论.详解：由得，函数为周期为，因为函数在为单调递减函数，所以函数在为减函数，又由函数为偶函数，所以函数在为单调递增函数，因为锐角三角形，所以，且都为锐角，所以且都为锐角，由在上为单调递增函数，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了正弦函数的单调性及锐角三角形的性质、函数的基本性质的综合应用，其中解答中正确应用函数的基本性质，合理作出运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若三点共线，则实数的值为__________．【答案】【解析】分析：根据三点共线，可知，由斜率的定义，代入点坐标化简可得关于的方程，解方程即可得到答案详解：，三点共线，即，解得点睛：本题是一道关于三点共线的题目，利用直线的斜率相等进行解答，属于基础题，难度不大。
2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合}{1,3A =，集合}{3,4,5B =，则集合AB = （ ）A ．}{3B ．}{4,5C ．}{1,2,4,5D ．}{3,4,5（2）已知向量()4,2a =，向量()1,b x =．若a b ⊥，则x 的值是（ ）A ． 1-B ．2-C ．1D ．2 （3）要得到函数)32cos(+=x y 的图象，只要将函数的图象（ ）A. 向左平移23个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向左平移3个单位 D. 向右平移23个单位（4）函数()e 2x f x x =--的一个零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)（5）已知，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．（6）已知3112cos =⎪⎭⎫⎝⎛-θπ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+θπ125sin （ ） A ．322-B ．31-C ．31D ．322 （7）函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）cos 2y x =213311ln323a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，a b c ，，a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>xy OxyOA ．B ．C ．D ．（8）已知函数()()()31020x a x f x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ ，若()()118f f -=，那么实数a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （9）下图是函数sin()(0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><，的图象的一部分，则该解析式为（ ） A ．)32sin(32π+=x yB ．)42sin(32π+=x yC ．)3sin(32π-=x yD ．)322sin(32π+=x y（10）在ABC ∆中，若=OA OB OB OC OC OA ⋅⋅=⋅，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心（11）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=()212⨯弦矢+矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差。
2019年高一数学上期末试卷附答案一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B 2C ．22D ．24．若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011D ．20227．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,29．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根10．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________ 15．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.16．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.17．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．18．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.19．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______. 三、解答题21．已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++. （1）求该函数的定义域；（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系. 22．已知函数()()sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值322，当23x π=时，()f x 取得最小值22-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间. (2)将函数()f x 的图象向左平移12π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.23．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增） 24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示： 第t 天4 10 16 22 Q （万股）36302418（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？26．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ．【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．5．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 8．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.9．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.10．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．11．A解析：A 【解析】试题分析：241(22)y x x =--≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法12．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4-【解析】 【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.15．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围.【详解】函数()211x x x f -=-定义域为{}1x x ≠ 当1x ≤-时,()2111x x xf x -==--- 当11x -<<时,()2111x x xf x -==+- 当1x <时,()2111x x xf x -==--- 画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点.综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃-【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.16．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.17．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点 解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围．【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩， 当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++， ()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥，解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>， 则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立．综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题． 18．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B=解析：【解析】【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可. 【详解】求解函数的定义域可得：, 求解函数的值域可得， 则， 结合新定义的运算可知：， 表示为区间形式即. 【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题 解析：5【解析】【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π，cos 1x =的解有0,2π, 故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值.【详解】令()3x f x t -=，所以()3xf x t =+， 又因为()4f t =，所以34t t +=，又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =，所以()31x f x =+，所以()443182f =+=. 故答案为：82.【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式. 三、解答题21．（1）(1,3)- （2）12x x m +>【解析】【分析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得12x x +以及m 的取值范围，从而比较出12x x +与m 的大小关系.【详解】（1）依题意可知301310x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故该函数的定义域为(1,3)-； （2）2222()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+，故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=，∴122x x +=，2m <，∴12x x m +>．【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题.22．(1)()262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；(2)a ∈⎣ 【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式；（2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,]2π上的单调性，而()g x a =有两个解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得．【详解】(1)由题意知,22A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩解得A =，B =. 又22362T πππ=-=，可得2ω=.由6322f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得6π=ϕ. 所以()262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+， 解得36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z .又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌. (2)函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,]12π是递增，在[,]122ππ上递减， 要使得()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同的实数解， 即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，所以a ∈⎣. 【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．23．（Ⅰ）()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值.【详解】（Ⅰ）当040x << 时,()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭.()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+， ()()max 308750Q x Q ∴==万元；当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题. 24．(1)()) 0f x x =≥，()()2 05g x x x =≥；(2) 当投资A 产品116万元，B 产品15916万元时，收益最大为16140. 【解析】【分析】（1）设出函数解析式，待定系数即可求得；（2）构造全部收益关于x 的函数，求函数的最大值即可.【详解】（1）由题可设：()f x k =，又其过点()1,0.2，解得：10.2k =同理可设：()2g x k x =，又其过点()1,0.4，解得：20.4k =故())0f x x =≥，()()2 05g x x x =≥ （2）设10万元中投资A 产品x ，投资B 产品10x -，故： 总收益()()10y f x g x =+-()2105x - 7a +t =，则t ⎡∈⎣，则： 221455y t t =-++ =2211615440t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭故当且仅当14t =，即116x =时，取得最大值为16140. 综上所述，当投资A 产品116万元，B 产品15916万元时，收益最大为16140. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、以及实际问题与函数的结合，属函数基础题.25．（Ⅰ）12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．【解析】【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．【详解】（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得11215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩， 当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩． （Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得140k b =-⎧⎨=⎩， 所以40Q t =-+．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(2)(40),02051(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩ 即221680,020*******,203010t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，当020t <≤时，2211680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =， 当20t 30<≤时，221112320(60)401010y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数， 所以21(2060)4012010y <⨯--=． 综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．26．(1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克 【解析】【分析】当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．【详解】(1)由题意得，当04x <≤时，2v =；当420x <≤时，设v ax b =+，由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以285v x =-+， 故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩． (2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩， 当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=；当420x <≤时，()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克．【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题．。
人教A 版2019高一数学必修一上学期期末考试（含答案和解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合}41|{Z k k x x A ∈+==，，}412|{Z k k y y B ∈-==，，则它们之间最准确的关系是( )。
A 、B A = B 、B A ⊄ C 、A ≠⊂B D 、B A ⊆2．下列命题中，真命题是( )。
A 、R x ∈∀，0>xB 、如果2<x ，那么1<xC 、R x ∈∃，12-≤xD 、R x ∈∀，使012≠+x 3．已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，则yx 43+的最小值为( )。
A 、327+ B 、347+ C 、367+ D 、387+ 4．已知α+=α-cos 31)30sin( ，则=+α)1502sin( ( )。
A 、97- B 、934-C 、934 D 、97 5．若2521<<x ，则函数x x x f 2512)(-+-=的最大值为( )。
A 、1 B 、2C 、3D 、226．若直线a y 2=与函数|1|)(-=x a x f (0>a 且1≠a )的图像有两个公共点，则a 的取值范围为( )。
A 、)210(，B 、)10(，C 、)121(，D 、)1(∞+，7．已知函数1122)(+++=ax x f x(R a ∈)，则=-+)2021()2021(f f ( )。
A 、20212+-a B 、a 2 C 、4 D 、40428．已知数2cos)2sin()(xx x f ⋅π+=，则下列说法错误的是( )。
A 、)(x f y =的图像关于点)0(，π对称 B 、)(x f y =的图像关于直线π-=2x 对称 C 、)(x f 在)23(ππ，上单调递增 D 、)(x f 是周期函数二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下面说法中正确的是( )。
2022-2023年度新教材必修第一册：期末综合测试卷（二）一、单项选择题：本题10小题，每小题4分，共52分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,2{},03|{2-=≥-∈=B x x R x A ，则=⋂B A C R )(（ ）A.∅B.}2{-C.}2{D.}22{，-2.已知函数)1(-x f 的定义域为]3,(-∞，则函数22(xx f -定义域为（ ）A.]2,1[ B.)2,1[ C.),2[]1,(+∞⋃-∞ D. ),2(]1,(+∞⋃-∞3.不等式022>-x x 的解集为（ ）A. ),2(+∞B.)2,(-∞C.)2,0(D.),2()0,(+∞⋃-∞4.设4.0log 5.0log 454.04.0===c b a ，，，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.c b a <<B.a c b <<C.b a c <<D.ab c <<5.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）① ② ③ ④A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6.下列选项中叙述正确的是（ ）A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.锐角一定是第一象限的角C.小于90°的角一定是锐角D.终边相同的角一定相等7.若点P )2018cos ,2018(sin ︒︒，则P 在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.下列结论错误的是（ ）A.命题“若4=x ，则0432=--x x ”为真命题.B.“4=x ”是“0432=--x x ”的充分不必要条件C.已知命题p “若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”，则命题p 的否定为真命题D.命题“若022=+n m ，则0=m 且0=n ”的为真命题9.已知函数x x x f 21(|lg |)(-=有两个零点21,x x ，则有（ ）A.021<x x B.121=x x C.121>x x D.1021<<x xA.在],0[π上是增函数，在]2,[ππ上是减函数C.在]2,[ππ上是增函数，在],0[π上是减函数二、多项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）11.设R b a ∈,，若0||>-b a ，则下列不等式中正确的是（ ）A.0>-a bB.033<+b aC.0>+a bD.022>-b a交点，则k 的取值不可能是（ ）A.1B.2C. 3D.-1三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.16.当0>a 且1≠a 时，函数1)1(log )(+-=x x f a 的图像恒过点A ，若点A 在直线n mx y +=上三、解答题：本题共6分，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分12分）用二分法求函数632)(23--+=x x x x f 的一个正零点（精确到0.1）.19.（本题满分14分）设全集U=R ，集合}0124|{2≥-+=x x x A ，}.|{},3|1||{a x x C x x B <=<-=（1）求B A ⋂；（2）若C B A C U ⊆⋂])[(，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分）求证：)(x f 在),(+∞a 上是减函数.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应的提高比例为x 75.0，同时预计年销售量增加的比例为.6.0x （1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？22.（本小题满分14分）已知.)(sin )cot()23tan()2cos()sin()(2αππαπααπαπ----+---=a f （1）化简);(αf （2）若21)(=αf，求ααααcos sin cos sin -+的值.某医药研究所最近研制了一种新药，对防治SARS有显著疗效.在实验中，据微机监测，如果成人按规定量单次服用，服药后每毫升血液中含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似拟合如图所示的曲线：（1）写出图中表示的含药量y与时间t的函数关系式);y(tf（2）根据临床测定，如果成人每毫升血液中的含药量不少于4微克，则该药物能抑制其病原生长，但每次服药后一小时内再次服药，则用药量过大，会对身体产生副作用.假若SARS病人按规定剂量服药，第一次服药时间是早晨7:00，晚上10:00左右就寝后不再服药，问患者一天中应怎样安排服药的时间和次数，治疗效果最佳？答案：1.C2.D3.D4.D5.B6.B7.C8.C9.D10.A11.CD12.ACD13.AC17.}2≥xxx，且{≠-1|18.列表如下：正零点的近似值为1.719.（1）}42|{<≤=⋂x x B A ；（2）2≥a .)()(0,010,21212112<-⇒><-⇒<<>>x g x g x x x x a a xx 综上，)(x f 在),(+∞a 上是减函数.21.（1）)6.01(10000)]1()75.01(2.1[x x x y +⨯+-+==.10),103(2002<<++-x x x（2）考虑到晚上10:00左右就寝后不再服药，故一天中安排四次服药为宜，服药时间分别为早晨7:00，上午11:00，下午16:00和晚上20:30.。
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).2019-2020年高一数学期末考试题及答案-高一新课标人教版一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）.1.300tan 的值为 （ ）A. B. - C. D. 2. 已知(4,1),(1,)AB BC k ==-，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为 （ ）A. 4B. 4-C. 14-D. 143．已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是 （ ）A ． 12e e 在方向上的投影为cos θB ． 121e e ⋅=C ． 2212e e =D ． 1212()()e e e e +⊥- 4. 已知 D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 （ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=D. 0BD BE FC --= 5. 已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为 （ ）A. 2B. 4C. 8D. 166. 下列关系式中正确的是 （ ）A. sin11cos10sin168<<B. sin11sin168cos10<<C. sin168sin11cos10<<D. sin168cos10sin11<<7. 已知sin(30)α+=，则cos(60)α-的值为 （ ）A. 12B. 12- C. 2 D. 2- 8. 若1,2,,a b c a b c a ===+⊥且，则向量a b 与的夹角为 （ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 1509. 已知平面上四点A ，B ，C 满足()0BC BA AC +⋅=，则△ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10. 已知3cos()45x π+=-，且x 是第三象限角，则1tan 1tan x x +-的值为 （ ） A. 34－ B. 43－ C. 34 D. 43 11. 已知函数()sin(),(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是 （ ） A. 2π B. 83π C. 4π D. 8π 12. 已知A ，B ，C 三点不在同一条直线上，O 是平面ABC 内一定点，P 是△ABC 内的一 动点，若1(),[0,)2OP OA AB BC λλ-=+∈+∞，则直线AP 一定过△ABC 的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 函数y = __________________________.14. 函数2sin cos y x x =+的值域是________________________.15. 下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数；② 若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；③ 8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程； ④ 在(,)22ππ-内方程tan sin x x =有3个解. X k B 1 . c o m 16. 在△ABC 中，AB = 4，AC = 3，60A ∠=，D 是AB 的中点，则CA CD ⋅=______.三、解答题（本大题共5小题，共48分）17. （6分）已知点A (1,1)-，点B (1,2)，若点C 在直线3y x =上，且AB BC ⊥.求点C 的坐标.18. （8分）已知sin()3sin()2()112cos()cos(5)2f παπααπαπα++--=---. （Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）已知tan 3α=，求()f α的值．19．（11分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，255a b -=．（Ⅰ）求cos()αβ-的值；（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α．20. （11分）已知向量(3,cos 2),(sin 2,1),(0)a x b x ωωω==>，令(),f x a b =⋅且)(x f 的周期为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若[0,]2x π∈时()3f x m +≤，求实数m 的取值范围．21. （12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值3-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅲ）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围．参考答案即 ()422c o s 5αβ--=， ()3c o s 5αβ∴-=． （Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<， ()3cos 5αβ-=， ()4sin .5αβ∴-= 5sin 13β=-， 12cos 13β∴=， ()()()sin sin sin cos cos sin 412353351351365ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭……………11分新课标第一网系列资料。
人教A 版（2019）高一数学第二学期期末复习测试题（含答案）满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为A ．32 B. 33 C ．64 D ．66 2．已知集合()}1log |{2+==x y x A ，}032|{2≤-+=x x x B ，则集合=B AA ．（1-，∞+） B. []1,3- C ．(]1,1- D ．(]3,1- 3．若直线l 与平面α相交，则 A ．平面α内存在直线与l 异面B ．平面α内存在唯一的直线与l 平行C ．平面α内存在唯一的直线与l 垂直D ．平面α内的直线与l 都相交 4．设复数2iz i=+(其中i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．在△ABC 中，已知31sin =A ，6π=B ，3=AC ，则=BC A ．3 B ．2 C ．23=B D ．29=B6. 在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ，b ，c ， “B A >”是“B A sin sin >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设2log 3.0=a ，3log 3.0=b ，3.03=c ，33.0=d ，则这四个数的大小关系是A ．d c b a <<<B ．c d a b <<<C ．d c a b <<<D ．b a c d <<<8．如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)A x y ，角23πβα=+的终边与单位圆交于点22(,)B x y ，记12()f y y α=-．若角α为锐角，则()f α的取值范围是A ．)23,21(-B ．)23,21(- C ．)21,23(- D ．)23,23(-二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列函数为偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是 A. ()x x f 2log = B. 11)(2-=xx f C. xx x f 22)(+= D. x x x f +=2)(10．下列各式中，值为21的是 A. ︒-15sin 212B. ︒︒15cos 15sin 2C.︒+︒-15tan 32215tan 3 D. 160cos 22-︒11．已知向量)1,3(=a ，)sin ,(cos αα=b ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,0πα，则下列结论正确的有 A ．1=b B ．若b a //，则6πα=C ．b a ⋅的最大值为2D ．b a-的最小值为312．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E ，F ，且21=EF ，则下列结论中正确的是 A ．AF AC ⊥ B ．//EF 平面ABCDαyxABO 11C ．三棱锥BEF A -的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若()f x =，则(3)f -等于______. 14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_______.15．已知A ，B ，C 是单位圆O 上的三点，且→--→--→--+=OC OB OA ，则=⋅→--→--AC AB _____. 16．对实数a 、b 定义一个运算：⎩⎨⎧>-≤-=⊕11b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊕-=（R x ∈），若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量)3,2(-=a ，)1,1(=b ，)1,2(-=c，R t ∈.（Ⅰ）若b t a -与c共线，求实数t ；（Ⅱ）求b t a+的最小值及相应的t 值.18．（本小题满分12分）已知)22sin()2sin()(x x x f ++-=ππ．（Ⅰ）化简)(x f 并求函数)(x f 图象的对称轴方程；（Ⅱ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈434ππ，x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本小题满分12分）移动支付为人民群众的生活带来极大的方便．为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占%55． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率．20．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ．已知 .从 ①A c C a tan sin 2=，②b c B a -=2cos 2，③)(34222a c b S -+=三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若边长2=a ，求△ABC 的周长的取值范围.21．（本小题满分12分）四棱锥BCDE A -的侧面ABC 是等边三角形，⊥EB 平面ABC ，⊥DC 平面ABC ，1=BE ，2==CD BC ，F 是棱AD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF 平面ABC ； （Ⅱ）求四棱锥BCDE A -的体积.22．（本小题满分12分）函数())f x x x a =-（. 其中R a ∈，且0a >． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值AFDCB参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. B2. C3. A4. A5. B6. C7. B8. D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．AD 10．BC 11．ABC 12．BC 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．32- 14．710 15．21- 16. )43,1(]2,(---∞- ．16. 解：由1)()2(22≤---x x x得 231≤≤-x ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<-≤≤--=2312312)(22x x x x x x x f 或，∴1)1(-=-f ，41)23(=f ．当1-=x 时，22-=-x x ， 当23=x 时，432-=-x x ． 函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点等价于函数)(x f y =与c y =的图象有两个交点．如图，函数c y =在1-=y 和43-=y 之间及2-=y 以下与函数)(x f 有两个交点，∴c )43,1(]2,(---∞-∈ ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵)3,2()1,1()3,2(t t t b t a ---=--=-，又b t a -与c 共线，)1,2(-=c，∴ 02)3()1()2(=⨯---⨯--t t ， ………………………………………4分解得34=t . ……………………………………5分 （Ⅱ）∵)3,2(-=a，)1,1(=b ，∴)3,2()1,1()3,2(t t t b t a ++-=+-=+，∴ 1322)3()2(222++=+++-=+t t t t b t a……………………7分225)21(22++=t ≥225225= ………………9分当且仅当21-=t 时取等号，即b t a+的最小值为225，此时21-=t …10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)42sin(2)2cos 222sin 22(22cos 2sin )(π+=+=+=x x x x x x f 由242πππ+=+k x ，Z k ∈，得Z k k x ∈+=,82ππ ∴ 函数)(x f 图象的对称轴方程为Z k k x ∈+=,82ππ． …………………6分 （Ⅱ）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈434ππ，x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+474342πππ，x ， …………………………8分∴)42sin(2)(π+=x x f 的最大值为 122243sin 2)(max =⨯==πx f ， 最小值为223sin 2)(min -==πx f ． …………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意：⎩⎨⎧⨯=++-=+55.01001025)55.01(10030b a ， ………………………… 4分解得：15=a ，20=b ． ………………………… 8分（Ⅱ）所调查的100名居民一星期内使用移动支付次数超过45次的居民占%301001020=+， 所以，估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率为%30．………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）选①A c C a tan sin 2=,结合正弦定理得AAC C A cos sin sin sin sin 2⋅=， ∵)0(π，、∈C A ，∴0sin sin ≠C A ∴21cos =A ， ∵)0(π，∈A ， ∴3π=A . ………………………………………………………6分选②b c B a -=2cos 2，结合余弦定理得b c acb c a a -=-+⋅222222, 整理得bc a c b =-+222，∴212cos 222=-+=bc a c b A ， ∵)0(π，∈A ， ∴3π=A .选③)(34222c b a S -+= ， 由面积公式及余弦定理得C ab S sin 21=，C ab c b a cos 2222=-+， ∴C ab C ab cos 32sin 214=⨯，∴C C cos 3sin =，即3tan =C .∵)0(π，∈A ， ∴3π=A .（Ⅱ）∵2=a ,3π=A∴ 由正弦定理得334232sin sin ===C c B b . …………………………7分 则△ABC 的周长为2)sin (sin 334sin 334sin 3342++=++=++C B C B c b a 2)]32sin([sin 334+-+=B B π2)cos 21sin 23(4++=B B 2)6sin(4++=πB ………………9分由320π<<B 得6566πππ<+<B ， ……………………………10分 ∴1)6sin(21≤+<πB ，4)6sin(42≤+<πB ， ∴ 64≤++<c b a ，即 △ABC 的周长的取值范围是(]64，. ……12分 21.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AC 中点M ，连结FM 、BM ， ∵F 是AD 中点， ∴DC FM //，且121==DC FM ．…………………………………1分 ∵⊥EB 平面ABC ，⊥DC 平面ABC ， ∴DC EB //．∴EB FM //．………………………2分 又∵1=EB ， ∴EB FM =．∴四边形FMBE 是平行四边形． ∴BM EF //．∵⊂BM 平面ABC ，⊄EF 平面ABC ，∴//EF 平面ABC ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）取BC 中点N ，连结AN ，AFEDCBNM1- ∵ABC ∆是正三角形， ∴BC AN ⊥，323==BC AN ． ∵⊥EB 平面ABC ，∴AN EB ⊥．…………………………………………………………6分 ∵⊂BC 平面BCDE ，⊂EB 平面BCDE ，且B EB BC = ， ∴⊥AN 平面BCDE ．………………………………………………8分 由（Ⅰ）知底面BCDE 为直角梯形， ∴3)(21=⋅+=BC DC BE S BCDE ． …………………………………10分 ∴四棱锥BCDE A -的体积331=⋅⋅=BCDE S AN V ．……………12分22．（本小题满分12分）解：函数22,0()(),0x ax x f x x x a x ax x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ ………………………1分（Ⅰ）函数()f x 的图像如图所示当0x ≥时，222()()24a a f x x ax x =-=--函数()f x 在区间(0,)2a递减，在区间(,)2a+∞递增． ……………………………3分当0x <时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+,函数()f x 在区间(,0)-∞递增．综上，函数()f x 的增区间为(,0)-∞，(,)2a +∞，减区间为(0,)2a． 4分（Ⅱ）（i ）当12a≥，即2a ≥时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,1]递减．且11()242af -=--，(1)1f a =-． ……………………… 6分若1()(1)2f f -≥，即52a ≥时，min ()(1)1f x f a ==-．若1()(1)2f f -<，即522a ≤<时，min 11()()242a f x f =-=--．……………………………………………………… 8分（ii ）当12a<即02a <<时， 函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,]2a 递减，在(,1]2a递增．且11()242af -=--， 2()24a a f =-． ………………………… 9分而02a <<时，21424a a --<-，即1()()22af f -<，所以02a <<时，min 11()()242af x f =-=--． ……………………11分综上，当502a <<时，min 1()42a f x =--；当52a ≥时，min ()1f x a =-．…………………………………………………………………………… 12分。
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年高一数学下学期期末考试试题文（含解析）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知,且，则x=( )A. 5B. 4C. -4D. -5【答案】C【解析】【分析】由向量平行，坐标对应成比例可求得x.【详解】由题意可知，因为，所以，所以x=-4,选C.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例。
2. 已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于( )A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】因为己知两边及一对角，所以由正弦定理解三角形可得。
【详解】由正弦定理可知，即，所以，因为，所以，所以,解得。
选D.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况。
3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．视频4. 若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )A. a＋c>b－cB. (a－b)c2>0C. a3>b3D. a2>b2【答案】C【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
高一上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷A 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.2.已知定义在R 上的奇函数满足，当时，，则( )A.0B.2C.-3D.34.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）( )A.28B.29C.30D.315.已知为锐角，，则( ).6.下列命题为真命题的是( )A.若 B.若，则C.若 D.若，{}1P x x =∈≥R {}1,2Q =P Q=Q PÜP QÜP Q R= ()f x ()()2f x f x =-12x ≤<()()2log 2f x x =+()2024f =lg 20.3≈α8π7cos 299α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 18α⎛⎫-= ⎪⎝⎭a b >>1b>0a b <<22a ab b <<a b <<22bc ≤0a b >>c d <<1b d>-7.设函数，若在上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.8.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是( ).A.命题“，”的否定是“，B.命题“，”是假命题C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分不必要条件10.下列命题中正确的有( )A.幂函数，且在单调递减，则B.的单调递增区间是C.D.11.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )A.是奇函数C.是偶函数D.在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()ln (1)ln(1)x x f x a a a a =+++()0f x <(,0)-∞⎛ ⎝⎛ ⎝⎛ ⎝⎛ ⎝π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(,)(0π)a b a b <<<b a -πx ∃∈R 10x +≥x ∀∈R 1x +<x ∃∈R 210x x -+=a b >22a b >4x >2x >()()21mf x m m x =--()0,+∞1m =-()()22log 2f x x x =-()1,+∞()f x =[)0,4∈()f x x =+],5-∞()f x x α=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭α=()f x ()f x ()f x (),0-∞12.若函数在区间上有零点，则实数a 的取值范围是___________.13.已知为第三象限角，，则___________.14.二次不等式的解集为，则关于x 的不等式的解集为_____________________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）已知函数，(1)求a 和b 的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明.16.（15分）已知（，且），且.(1)求a 的值及的定义域；(2)求在上的最小值.17.（15分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且.的值.18.（17分）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越tan 2α=2()1f x x ax =-+1,32⎛⎫⎪⎝⎭αsin cos αα+=20ax bx c ++<{|x x <1}2>20cx bx a -+>()f x =()00f =()1f =()f x []22-,()log log (4)a a f x x x =+-0a >1a ≠(2)2f =-()f x ()f x [1,3]αβOA OB ⊥()2αβ+快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y （单位：）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型（，）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，）.19.（17分）已知函数的图象经过点，且(1)求的单调递增区间；(2)若对任意的恒成立，求m 的取值范围.236m 248m 2m x y ka =0k >1a >2(0)y mx n m =+>220m 2810m lg 20.30≈lg 30.48≈()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<π,23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)2x m -≤答案以及解析1.答案：B解析：，，且，，本题正确选项：B.2.答案：A解析：根据题意，为R上的奇函数，则，又因为函数满足，则有，所以，即的一个周期为4，所以.故选：A3.答案：C，所以.故选：C4.答案：C解析：由题意，即，即.故选：C.5.答案：C解析：为锐角，所6.答案：C解析：A选项，因为，所以，两边同时除以，A错误；B选项，因为，，所以两边同时乘以a得，两边同时乘以得，1P∈2P∈P Q≠PQ∴Ü()f x(0)0f=()f x()(2)f x f x=-()(2)()f x f x f x-=+=-(4)(2)()f x f x f x+=-+=()f x(2024)(4506)(0)0f f f=⨯==4162mm-==+3=5S ab==545b=⇒=t=t=t= t=(3lg21)2lg2-=-10lg233013lg20.1t=≈=-28π4πcos22cos199αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4π9α⎛⎫+=⎪⎝⎭α4π9α<+<4π4ππcos cos996α⎛⎫+<<=<⎪⎝⎭4π9α⎛⎫+=⎪⎝⎭ππ4π4πsin sin cos18299ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦a b>>0ab>a b>ab>1a>a<0b<a b<2a ab>a b<b2ab b>故，B 错误；C 选项，因为，，则，C 正确；D 选项，因为，所以，又，故，所以故选：C 7.答案：B解析：易知，故，，在上恒成立，等价于不等式即在上恒成立，故，即，又，故的取值范围是.8.答案：A解析：对于函数，解得，当时，令，令，解得，当时，令，则.故当函数与均在区间，所以.故选A.9.答案：ABD解析：对于A ，根据存在量词命题的否定形式可知A 正确；对于B ，在中，，所以方程无解，故B 正确；对于C ，取，，满足，但，即充分性不成立，故C 错误；对于D ，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，20c ≥0a b <<22ac bc ≤0c d <<0c d ->->0a b >>0a c b d ->->x ≤≤()g x π2ππ2π()4k x k k ≤+≤+∈Z π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z (0,π)x ∈0k =3π04x <≤()f x 22a ab b >>1a c <-0a >11a +>ln(1)0a +>()0f x <(,0)-∞(1)ln(1)ln xxa a a a ++<-1ln ln(1)xa a a a +⎛⎫<- ⎪+⎝⎭(,0)x ∈-∞011a a +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭1)ln a a +≤-(1)1a a +≤0a >0a <≤⎛ ⎝(f x π3π222π32k x k ≤-≤+()k ∈Z 5π11πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z (0,π)x ∈k =()g x (,)(0π)a b a b <<<b -5ππ123-=210x x -+=140∆=-<1a =-2b =-a b >2214a b =<={}4x x >{}2x x >4x >2x >故D 正确.故选：ABD.10.答案：ACD解析：对于A ：，解得，A 正确；对于B ：由得的定义域为，故单调区间不可能为，B 错误；对于C ：当时，，定义域为R ，当时，对于，其，解得，综合，C 正确；，则，且，则，由二次函数的性质可得，D 正确.故选：ACD.11.答案：ACD解析：因为函数的图象过点，即，所以，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B 错误，C 正确：又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D 正确.故选：ACD.12.答案：解析：由题意知关于x 的方程在上有解，即关于x 的方程上有解.设，则t 的取值范围是，所以实数a 的取值范围是.13.答案：102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭21ax x =+211mm m ⎧--=⎨<⎩1m =-220x x ->()f x ()(),02,-∞+∞ ()1,+∞0a =()1f x =0a ≠21ax ax ++240a a ∆=-<04a <<[)0,4a ∈t =24x t =-0t ≥()()224224f x g t t t t t ==-+=-++(]224,5t t -++-∞∈()f x x α=18,4⎛ ⎝8α=232223αα-=⇒-=α=()23f x x-==)()0,,0+∞-∞ ()f x -==()f x =()f x 0α<()f x ()0,+∞()f x ()f x (),0-∞1,32⎛⎫⎪⎝⎭a x =+1,32⎫⎪⎭t x =+1,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭10[2,)3解析：由，，由，则，由为第三象限角，.故答案为：14.答案：解析：由题意可知所以所以不等式，又，所以，解得.故答案为：.15.答案：(1)，(2)在上单调递增，证明见解析解析：(1)函数，可得，解之.(2)上单调递增，设任意，，且，则由，可得，又，，，则，则在上单调递增；(2)解析：（1），即，则[]22-,tan α=2=sin 2cos αα=22sin cos 1αα+=25cos 1α=αcos α=α=cos αα+={}|32x x -<<-11,3211,32b a c a ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩5,61,6b a c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2cx bx a -+>2506ax a ++>0a <2560x x ++<32x -<<-{}|32x x -<<-4a =0b =()f x []22-,()f x =()00f =()1f =220001115bab a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩04b a =⎧⎨=⎩()f x =]22-,1x []22,2x ∈-12x x <()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()22122122124444x x x x x x +-+==++1222x x -≤<≤124x x <120x x -<2140x +>2240x +>0<()()12f x f x <()f x )0,42-()2log 2log 22a a f =+=-log 21a =-a =由题意得，，的定义域为：.（2），令，则，，的对称轴：，在上单调递增，在上单调递减；，在单调递减，由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，.17.答案：（1）；（2）解析：（1）依题意，，.，即有于是得，所以18.答案：（1）；040x x >⎧⎨->⎩∴04x <<()f x ()0,4()()()2111222log log 4log 4f x x x x x =+-=-()24t x x x =-+()12log f t t =()0,4x ∈()t x 4222b x a =-=-=-∴()t x [)1,2()t x (]2,3112<∴()f t ()0,+∞[)1,2x ∈()f x (]2,3x ∈()f x ∴()()22f x f ≥=-1-ππ022βαα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭sin cos(π)sin (cos )1πsin (cos )cos (cos )2αααααααα-+--===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭13A ⎛ ⎝sin α=cos α=sin 22sin cos ααα==2272cos sin 9ααα=-=-πsin sin cos 2βαα⎛⎫=+== ⎪⎝⎭πcos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭()71sin 2sin 2cos cos 2sin 93αβαβαβ⎛⎛⎫+=+=+-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝81443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭21213255y x =+（2）至少到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到解析：（1）若选择模型（，），则解得故函数模型为.若选择模型，则解得，故函数模型为（2）把代入，可得，把代入，因为26.4与20相差比较大，故选择模型更合适.，可得，，，所以，至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到.19.答案：(1)(2)解析：(1)由题意可得的最小正周期，则，因为的图象经过点，2810m x y ka =0k >1a >2336,48,ka ka ⎧=⎨=⎩a ==81443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭2(0)y mx n m =+>436,948,m n m n +=⎧⎨+=⎩1205m =>n =2125y x =+0x =81443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭8120.254y ==0x =2125y x =+13226.45y ==81443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭48103x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4403x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭lg 4020.3113.3320.30.48⨯+≈≈⨯-14x ≥2810m ()2πππ,π36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z []1,0-()f x πT =2ω=()f x π,23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，，，所以即的单调递增区间为；(2)因为，所以，所以，则，因为对任意的恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m 的取值范围为.ππ2cos 2233f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(112ππk k ϕ+=+()11π2π3k k =+∈Z πϕ<ϕ=ππ22π3x k ≤+≤2πππ36x k ≤≤-()f x ()2πππ,π36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]2,1f x ∈-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)2x m -≤()22m f x m -≤≤+2221m m -≤-⎧⎨+≥⎩10m -≤≤[]1,0-。
2019学年下学期期末考试高一数学试卷时间： 120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.已知平面向量a b 与的夹角为π，2||=a ，1||=b ，则=+|2|b a2.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若436=S S ，则=69S S3.在等比数列{}n a 中, 315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a 的值为4.已知2tan =α，则α2cos 的值为5.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若cB 2cos =，则ABC ∆一定是 A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 0,01413><S S ，则当n S 取得最小值时，n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知oC c b 60,20,10===，则此三角形的解的情况是 A ．无解B ．一解C ．两解D ．无法确定8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,611-==+n n S a a ，则=11S A ．)13(510-B ．1035⨯C ．13510+⨯D ．3312-9.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 A ．)63(20+ n mile/h B ．)62(20+n mile/h C ．)26(20-n mile/hD ．)36(20- n mile/h10.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，11a =， 且1313,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若162)1(+≤+n n S a m 对任意*N n ∈恒成立，则实数m 的最大值为11.在ABC ∆中，1,2,135===∠AC AB BAC o，D 是边BC 上的一点（包括端点），则⋅的取值范围是12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令)(n p 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记0)0(=p ,则下列结论中错误的是 A ．3)3(=p B ．3)11(=pC ．)2016()2017(p p >D ．)2120()8201(p p <Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共30分.13.数列{}n a 中，21=a ，)(2*1N n a a n n n ∈+=+，则数列{}n a 的通项公式=n a .14.在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，2=AB ,32=AC ,oBAD 60=∠,则AD = .15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，63=S ，则3a 的值为 . 16.已知1312)4sin(,53)sin(),,43(,=--=+∈πββαππβα，则=+)4cos(πα . 17.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6321=S ，则17541a a +的最小值为 . 18. 已知数列{}n a 满足：1112,2,n n n n n a a a a a a a +≥⎧=⎨+<⎩*)(N n ∈，若33a =，则1a = .三、解答题:5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知*)(323N n S a n n ∈+=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n a n b )32(+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知CB Ab a bc sin sin sin +=+-． (1)求角C ； (2)设3=c ，求ABC ∆周长的最大值．21．（12分）如图，已知小矩形花坛ABCD 中，3=AB 米，2=AD 米，现要将小矩形花坛扩建成大矩形花坛AMPN ，使点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C .求矩形AMPN 面积的最小值，并求出此时矩形AMPN 两邻边的长度．22．（12分）如图，在ABC ∆中，2=AB ，31cos =B ，点D 在线段BC 上． (1)若43π=∠ADC ，求AD 的长； (2)若DC BD 2=，ADC ∆的面积为234，求CADBAD ∠∠sin sin 的值．23．（12分）已知数列}{n a 满足11=a ，1114n na a +=-，其中*N n ∈． (1)设221n n b a =-，求证：数列}{n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设41n n a c n =+，数列}{2+n n c c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得k k T n 32-<对于*N n ∈恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．2019学年下学期高一数学期末考试评分标准一、选择题：二、填空题：13.n 2 14. 2 15. 2或8 16. 6556- 17. 23 18.43 三、解答题:19.解：（1）∵323+=n n S a ①∴当1=n 时，32311+=S a , 得31=a …………………………2分当2≥n 时，32311-+=-n n S a ②①-②得n n n a a a 2331-=-，即13-=n n a a ………………4分∴数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列∴nn a 3=.…………………………6分 （2）nn n b 3)32(⋅+=n n n n n T 3)32(3)12(373512⨯++⨯+++⨯+⨯=- ③…………7分 1323)32(3)12(37353+⨯++⨯+++⨯+⨯=n n n n n T ④ ③-④ 得， 1323)32()333(2352+⨯+-+++⨯+⨯=-n n n n T…………9分113)32(31)31(9215+-⨯+---⨯+=n n n13)22(6+⨯+-=n n ……………………………………………11分∴33)1(1-+=+n n n T …………………………………12分20.解：（1）依题意得cb a b a bc +=+-，即ab c b a -=-+222…………3分 ∴212cos 222-=-+=ab c b a C ………………………4分 ∵π<<C 0 ∴32π=C . ………………………6分~（2）方法一： C ab b a c cos 2222-+= ab b a ++=22ab b a -+=2)(22)2()(b a b a +-+≥ ∴3)(432≤+b a ，即2≤+b a ………………………10分 当且仅当1==b a 时等号成立 ………………………11分 ∴ABC ∆周长的最大值为32+.………………………12分方法二：2sin sin sin ===C cB b A a)sin (sin 2B A b a +=+∴B A B A -=∴=+3,3ππ又,)3sin(2sin cos 3sin 2)3sin(2ππ+=+=+-=+∴B B B B B b a ……………9分∵30π<<B ,∴3233πππ<+<B .∴当23ππ=+B 即6π=B 时，b a +的最大值为2.………………………11分∴ABC ∆周长的最大值为32+.………………………………12分21.解:（方法一）设)2,3(,>>==y x y AN x AM ，矩形AMPN 的面积为S ，则xy S = ∵NAM NDC ∆∆~∴x y y 32=-，即23-=y yx . ∴)2(232>-=y y y S ……………7分 当2>y 时，24)44(3)4242(3232=+≥+-+-=-=y y y y S ……………10分 当且仅当242-=-y y 即4=y 时，等号成立，解得6=x .……………11分 ∴当46==AN AM ，时，24min =S .……………12分 （方法二）设矩形AMPN 的面积为S ，)20(πθθ<<=∠BMC ,则θ=∠DCN依题意得，θθtan 3,tan 2==DN BM ∴)3tan 2)(2tan 3(++=θθS ……………7分~2436212tan 4tan 912=+≥++=θθ……………10分 当且仅当θθtan 4tan 9=即32tan =θ时等号成立，……………11分此时46==AN AM ，∴当46==AN AM ，时，24min =S .……………12分 22.解：（1）∵在ABC ∆中，31cos =B ∴322)31(1sin 2=-=B ……………………………4分 在ABD ∆中，由正弦定理得384sin 3222sin sin =⨯=∠⋅=πADB B AB AD .……………5分 （2）∵DC BD 2=∴,243,2===∆∆∆∆ADC ABC ADC ABD S S S S ……………………………7分∵BBC AB S ABC sin 21⋅=∆∴6=BC ∵,242,sin 21,sin 21==∠⋅=∠⋅=∆∆∆∆ADC ABD ADC ABD S S CAD AD AC S BAD AD AB S ∴ABACCAD BAD 2sin sin =∠∠ ……………………………9分 在ABC ∆中，24cos 222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC …………………11分∴242sin sin ==∠∠ABACCAD BAD ……………………………12分23.解：（1）12221121221)411(2212212211---=----=---=-++n nn n n n n n a a a a a a b b2122124=---=n n n a a a21221=-=b ∴数列}{n b 是以2为首项，2为公差的等差数列.………………4分n n b n 22)1(2=-+= …………………………………5分~∴1222-=n a n ，解得nn a n 21+=…………………………6分 （2）由（1）得nn n n c n 21214=++⨯=. ∴)211(22222+-=+⨯=+n n n n c c n n ……………………………………7分∴)]211()1111()5131()4121()311[(2+-++--++-+-+-=n n n n T n3)2111211(2<+-+-+=n n ……………………………………9分∴332≥-k k ，解得2213+≥k 或2213-≤k ，………………………10分 ∵0>k ∴2213+≥k . ∵4221327<+<，且k 为正整数. ∴4≥k ，且*N k ∈∴存在正整数k ，使得k k T n 32-<对于*N n ∈恒成立，k 的最小值为4.………12分。
人教版2019学年高一期末数学试卷（一）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点．2．请写出“好货不便宜”的等价命题：．3．若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a=．4．不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是．5．若f（x+1）=2x﹣1，则f（1）=．6．不等式的解集为．7．设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=．8．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．9．设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围．10．函数的值域是．11．已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为．12．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．函数y=x的大致图象是（）A． B．C．D．14．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则x＜0时f（x）=（）A．﹣x﹣1 B．x+1 C．﹣x+1 D．x﹣115．证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．616．给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．x﹣[x]≥0B．x﹣[x]＜1C．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立D．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（﹣x）=f（x）恒成立三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．已知，求实数m的取值范围．18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y 米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．人教版2019学年高一期末数学试卷（二）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}2．下列函数为奇函数的是（）A．y=x+1 B．y=e x C．y=x2+x D．y=x33．2log510+log50.25=（）A．0 B．1 C．2 D．44．sin（π﹣α）cos（﹣α）=（）A．B．C．sin2α D．cos2α5．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣6．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．0 B．C．1 D．7．设a=（）0.5，b=0.30.5，c=log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b8．要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位9．已知函数y=f（x+3）是偶函数，则函数y=f（x）图象的对称轴为直线（）A．x=﹣3 B．x=0 C．x=3 D．x=610．△ABC的三个内角分别记为A，B，C，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC的值是（）A．﹣B．C．D．﹣11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=，且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（cosα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f （sinα）＜f（cosβ）12．已知x1，x2是函数f（x）=e﹣x﹣|lnx|的两个不同零点，则x1x2的取值范围是（）A．（0，） B．（，1]C．（1，e）D．（，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设A={（x，y）|y=2x+3}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B=．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为．15．函数y=﹣的定义域是（用区间表示）16．若f（sin2x）=5sinx﹣5cosx﹣6（0＜x＜π），则f（﹣）=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知tanα=3，计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）sinα•cosα．18．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设函数f（x）=（Ⅰ）当时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．21．如图所示，已知点A（1，0），D（﹣1，0），点B，C在单位圆O上，且∠BOC=．（Ⅰ）若点B（，），求cos∠AOC的值；（Ⅱ）设∠AOB=x（0＜x＜），四边形ABCD的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值．22．已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y ≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．人教版2019学年高一期末数学试卷（三）第I 卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 设全集U={0，1，2，3，4} 集合A={0，1，2，3}， 集合B= {2，3，4}则（СU A ）∪（СU B ）=A {0}B {0，1}C {0，1，4}D {0，1，2，3，4}2 已知集合A={x ∣∣x+1∣＜2},集合B={x ∣x 2-(a+1)x+a ＜0}且B ⊆A ，则a 的取值范围是 A -3＜a ＜1 B -3≤a ≤1 C 1≤a ＜3 D -3≤a ＜1 3 “1+13-x ＞0”是“（x+2(x-1) ＞0”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4设A={ x ∣xx -+21≥0},B={x ∣x ＜a},若A∩B≠Φ,则a 的取值范围是 A a ＜2 B a ＞-2 C a ＞-1 D -1＜a ≤25 函数f(x)=㏒0.5(x-1)(x+3)的单调递增区间是A （-∞，-3）B （-∞，-1）C （1，∞）D （-3，-1）6 若函数f(x)的图象经过点（-1，0），则函数f -1(x+4)的图象必过点 A (-1,4) B (-4,-1) C(-1,-4) D (1,4) 7 函数y=-lg(x+1)的图象大致是8 已知 lgx, lg(x-2y), lgy 成等差数列， 则yx= A 1 B 4 C 1或4 D 41或4 9 在等差数列{a n }中，公差d=21,S 100=145,则a 1+a 3+a 5+…+a 99的值为 A 57 B 58 C 59 D 6010 在等比数列{a n }中，a n ＞0,且83a a ⋅=81，则㏒3a 1+㏒3a 2+…+㏒3a 10等于 A 5 B 10 C 20 D 4011 已知公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 A 1 B 2 C 3 D 412 已知a ＞b ＞0,则2a ,2b , 3a的大小关系是A 2a ＞2b ＞3aB 2b ＜2a ＜3aC 2b ＜3a ＜2aD 2a ＜3a ＜2b第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题 中横线上。
13 若A={x ∈R ∣ax 2+2x+1=0}中只含有一个元素，则a=_____________14 若f(x)=x 2-2ax+1在(]1,∞-上是减函数，则a 的取值范围是____________________15 已知集合A={x ∣2)41(22-+≤x xx ,x ∈R},则函数y=2x, (x ∈A)的值域是______________________16 已知函数f(x)=4x-2x+1+1 (x ＞0)的反函数为y= f -1(x)，则f -1(9)=______________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17 (12)已知集合A={x ∈R ∣432+-x x ＜0},B={ x ∈R ∣x 2+ax+b ≤0}, A ∩B=ф A ∪B={ x ∈R ∣-4＜x ≤3}, 求实数a 、b 的值。
18 (12)用单调性定义证明：f(x)=xx 2-在（-∞，0）上是增函数19 (12)已知四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为函数y=21-4x-x 2的最大值，求这四个数.20 (12)已知x 满足2x ≤256,且㏒2 x≥21求函数 f(x)=2log 2log 22xx ⋅ 的最大值和最小值.21 (13)某商品在最近100天内的价格f ( t )与时间t 的函数关系是f ( t )=⎪⎩⎪⎨⎧N N**∈≤≤+∈≤<+-),400(224),10040(522t t t t t t售量g ( t )与时间t 的函数关系是g ( t )=31093+-t (0≤t ≤100)，求这种商品的日销售额的最大值.22 (13)已知函数f(x)是定义在（0，∞）的增函数，且f(xy)= f(x)+ f(y) ① 证明：f(yx)=f(x)- f(y) ② 已知f(3)=1， 且f(a)＞f(a-1)+2 ，求a 的取值范围。
