(完整word版)数列常见题型总结经典(超级经典).docx

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。

2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。

3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=，求数列}{n a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，⋯⋯，序号为n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作an ；数列的一般形式：a1， a 2， a3，⋯⋯， a n，⋯⋯，简记作an。

（2）通项公式的定义：如果数列{ an}的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①： 1 ，2 ，3 ， 4，5，⋯1 1 1 1②： 1，，，，⋯2 3 4 5说明：① a n表示数列， a n 表示数列中的第n 项， a n= fn 表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如， a nn 1, n 2 k 1= ( 1) =2 k( k Z ) ；1, n③不是每个数列都有通项公式。

例如，1， 1.4 ，1.41， 1.414 ，⋯⋯（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f ( 2 ), f (3), ⋯⋯，立点。

N （或它的有限子集）的函数 f ( n ) 当自变量n 从 1 开始f ( n )，⋯⋯．通常用 an来代替 f n，其图象是一群孤（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（ 1）1， 2， 3，4，5， 6，⋯(2)10, 9, 8, 7, 6,5,⋯(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ⋯(4)a, a, a, a, a, ⋯（ 5）数列 { a n } 的前 n 项和Sn与通项a n的关系： a nS1( n 1)SnS n1( n ≥ 2 )二、等差数列( 一 ) 、等差数列定义：一般地，如果 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常一个数列从第 数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

数列全部题型归纳(非常全面-经典!)数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3n n a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41n n na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析 1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

{an}为G P
an1 q(常数） an
an = a1 +（n-1）d= ak +（n-k）
an a1q n1 ak q nk
d=dn+ a1 -d
求和 公式
sn
n(a1 an ) 2
na1
n(n 1) d 2
d 2
n2
(a1
d )n 2
ห้องสมุดไป่ตู้
sn
na1 a1 (1
q
n
)
1 q
a1 an q 1 q
2）若数列an是等比数列，且 an 0 ，则数列loga an是等差数列，公差为 loga q ，其中 a 是常数 且 a 0, a 1 ， q 是an的公比。
3）若{an} 既是等差数列又是等比数列,则{an} 是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比较
定义
通项 公式
等差数列
等比数列
{an}为A P an1 an d (常数）
小结与拓展：数列an是等差数列，则数列{a an }是等比数列，公比为 a d ，其中 a 是常数， d 是 an的公差。（a>0 且 a≠1）.
【题型 2】 与“前 n 项和 Sn 与通项 an”、常用求通项公式的结合
例 2 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且 a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n 对任意
法二（累加法）
即 bn－bn－1＝2n－8， bn－1－bn－2＝2n－10，
…
b3－b2＝－2，
b2－b1＝－4，
b1＝8，
相加得 bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)
(n－1)(－4＋2n－8)