例说简单无理方程中参数取值范围的求法

针对练习：

下列方程中为无理方程的是（ ）

A、212x

B、0112x

C、

2

113





xx

x D、02

51





xx

无理方程

【学习目标】

1、理解无理方程的概念，会区分有理方程和无理方程。

2、会用在方程两边平方的方法解可以化为一元一次方程或一元二次方程的无理方程，并会

验根。

3、知道用换元法解无理方程的条件，会用换元法把某些特殊的无理方程化为有理方程。 4、通过无理方程有理化的过程，知道验根是解无理方程的必要步骤，领会转化思想在解无

理方程中的作用，掌握无理方程验根的基本方法。

5、会正确判定无理方程是否有实数解。

【例题精讲】 例1：下列关于x的方程，为无理方程的是（ ）

A、02332

xx B、1

21

12



xx

C、075

51

22

xx

D、c

bx

xa1

考点：无理方程的概念

分析：根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程．

解答：选项A中的根号内不含未知数，此方程为整式方程；

选项B中的根号内不含未知数，此方程为分式方程；

选项D中的根号内虽含有字母，但只是常数并非未知数，所以也不是无理方程，此

方程为分式方程；

选项C中的根号内含有未知数x，符合无理方程的定义，所以该题答案为C。

点评：本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析各方程的根号内是否含有未知数．

例2：解方程：1212

xx

考点：解无理方程

分析：两边直接平方把根号去掉，把无理方程转化为有理方程来求解，最后把所得的解代回

原方程中进行检验。

解答：两边平方得1212

xx

，

整理后得022

xx

， 解得2,0

21xx

检验：分别代入原方程检验得0

1x

时根号内的数为负数不成立，为增根舍去，

故原方程的根为x

=2。

点评：解无理方程的基本方法是把方程两边同时平方，这样可能使未知数的允许取值范围扩

大，于是就有可能产生增根，所以在解答此类题目时一定要注意验根。

例说求函数的最大值和最小值的方法

例1.设x是正实数，求函数xxxy32的最小值。

解：先估计y的下界。

55)1(3)1(5)21(3)12(222xxxxxxxy

又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：

77)1(3)1(7)21(3)12(222xxxxxxxy

但y是取不到7的。即7不能作为y的最小值。

例2. 求函数1223222xxxxy的最大值和最小值。

解 去分母、整理得：(2y1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.

当21y时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以

=[2(y+1)]24(2y1)(y+3)0, y2+3y-40,

所以 4y1

又当31x时，y=4;x=2时，y=1.所以ymin=4，ymax=1.

说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数152xxy，x[0,1]的最大值 解：设]2,1[1ttx，则x=t21

y= 2(t21)+5t= 2t2+5t+1

原函数当t=169,45x即时取最大值833

例4求函数223,5212xxxxy的最小值和最大值

解：令x1=t (121t)

则tttty4142

ymin=51,172maxy

例5.已知实数x,y满足1x2+y24,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值

解：∵)(2122yxxy

∴6)(23),(2222yxxyyxyxf

又当2yx时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6

又因为)(2122yxxy

1 数学竞赛中方程整数解的实用求法

(本讲适合初中)

近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.

笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.

1 不定方程的整数解

一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.

1.1 因式分解法

这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.

例1 求方程xy＋x＋y＝6的整数解.

(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)

解：方程两边加上1，得

xy＋x＋y＋1＝7.

左边＝(x＋1)(y＋1)，

右边＝1×7＝(－1)×(－7).

故原方程的整数解由下列方程组确定：

；＝，＝7111yx；＝，＝1171yx

；＝－，＝－7111yx.1171＝－，＝－yx

解得.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝yxyxyxyx

1.2 选取主元法

2 有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.

例2 求方程7322＝yxyxyx的所有整数解.

(第十二届全俄数学竞赛)

解：以x为主元，将方程整理为

3x2－(3y＋7)x＋(3y2－7y)＝0

因x是整数，则

△＝［－(3y＋7) ］2－4×3（3y2－7y）≥0

1中考要求知识点基本要求略高要求较高要求

一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方

程化为一般形式，并指

出各项系数；了解一元

二次方程的根的意义能由一元二次方程的概

念确定二次项系数中所

含字母的取值范围；会

由方程的根求方程中待

定系数的值

一元二次方程的

解法理解配方法，会用直接

开平方法、配方法、公

式法、因式分解法解简

单的数字系数的一元

二次方程，理解各种解

法的依据能选择恰当的方法解一

元二次方程；会用方程

的根的判别式判别方程

根的情况能利用根的判别式说明含有字母系

数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的

取值范围；会用配方法对代数式做

简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题

例题精讲

板块一根的判别式

☞定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到22

24()

24bbacx

aa，显然只有当240bac时，才能直接开

平方得：2

24

24bbacx

aa．

也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有

实数根．这里24bac叫做一元二次方程根的判别式．

☞判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是

否有实数根）由24bac确定．

设一元二次方程为20(0)axbxca

，其根的判别式为：24bac则

①0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根2

1,24

2bbacx

a．根的判别式与韦达定理②0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根

122bxx

a．

③0方程20(0)axbxca没有实数根．

☞根的判别式的应用：

☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340xx；⑵20axbx（0a）

【解析】略

【答案】⑴22340xx