【最新】2018-2019学年度高中北师大版数学选修4-4教学案：第一章3柱坐标系和球坐标系

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1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题二 极坐标与直角坐标互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴 作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位. 互化公式为x=ρcos θ,y=ρsin θ ρ2=x2+y2
������ tan θ= (x ≠0) ������
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入即 可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常先将极坐标方程化为ρcos θ,ρsin θ的整体形式,然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘ρ即可达 到角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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π 例2已知极坐标方程C1为ρ=10,C2为ρsin ������- 3 =6.
(1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状; (2)求C1,C2交点间的距离. 解：(1)由ρ=10,得ρ2=100,即x2+y2=100, 故C1为圆心在(0,0),半径等于10的圆.
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专题三 极坐标方程及其应用 借助点的极坐标或曲线的极坐标方程,将最值问题转化为三角函 数问题求解.
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例3在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为
12
2
( 3) +(-1)
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柱坐标系和球坐标系练习1设点M 的直角坐标为(－1，2)，则它的柱坐标是( )．A ．π1,,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．42,π,23⎛⎫⎪⎝⎭ C ．π2,,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．π3,,23⎛⎫ ⎪⎝⎭2设点P 的直角坐标为(－1，－1)，则它的球坐标为( )．A ．ππ2,,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．π52,,π44⎛⎫⎪⎝⎭ C ．5π2,π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3π2,π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭3如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，1π6,,52C ⎛⎫⎪⎝⎭，则此长方体的体积为( )．A ．100B ．120C ．160D ．240 4已知点N 的球坐标为π34,,π44⎛⎫⎪⎝⎭，则其直角坐标为( )．A ．(－2,2,B ．(2,－2,C ．(－2,－2,D ．(－2,2,－5在柱坐标系中，已知A π1,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π1,,22⎛⎫⎪⎝⎭及O (0,0,0)三点，则△ABO 的面积为__________．6已知点P 1的球坐标是ππ,34⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 2的柱坐标为π,13⎫⎪⎭，则|P 1P 2|2＝__________.7在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，|CA |＝|CB |＝1，∠BCA ＝90°，棱|AA 1|＝2，M 是A 1B 1的中点．建立适当的坐标系，求点M 的空间直角坐标和柱坐标．8如图，在柱坐标系中，O (0,0,4)，A (3，θA,4)，B 1(3，θB 1，0)，其中θA －θB 1＝60°，求直线AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角和AB 1的长.3tan 374⎛⎫︒=⎪⎝⎭参考答案1 答案：B 设点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，则tan =yxθ∵0≤θ＜2π，x ＜0，∴4=π3θ，r ＝1=4πcos cos 3x θ-＝2，z ＝2. ∴点M 的柱坐标为42,π,23⎛⎫⎪⎝⎭.2 答案：B 设P 点的球坐标为(r ，φ，θ)，则有tan θ＝1=1y x --＝1. ∵0≤θ＜2π，x ＜0，∴5=π4θ，r＝2.cos cos =2r ϕϕ⇒.∵0≤φ≤π，∴π=4ϕ.∴P 点的球坐标为π52,,π44⎛⎫⎪⎝⎭.3答案：B 由长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1π6,,52⎛⎫⎪⎝⎭，可知|OA |＝4，|OC |＝6，|OO 1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.4答案：A 设点N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有π3sin cos 4sin cos π42,4422π3sin sin 4sin sin π=42,4422πcos 4cos 4x r y r z r ϕθϕθϕ⎧⎛⎫===⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪==⨯=⎨⎪⎪===⎪⎪⎩∴点N 的直角坐标为(－2,2,．5 答案：1 ∵A π1,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π1,,22⎛⎫⎪⎝⎭，O (0,0,0)，∴△OAB 为直角三角形．∴S △OAB ＝12|OA ||AB |＝12×1×2＝1. 6答案：18设P 1的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x ＝r sin φcos θ＝ππsin cos 3422=⋅=y＝r sin φsin θ＝ππsin sin34z＝r cos φ＝πcos3∴P1.同理，点P2的直角坐标为⎫⎪⎪⎝⎭.∴|P1P2|2＝22==187 答案：解：建立如图所示的坐标系，过点M作底面xCy的垂线MN.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴N点在线段AB上．由点N分别作x轴，y轴的垂线NE，NF，根据已知，可得△ABC是等腰直角三角形，∴|NE|＝|NF|＝12.故点M的空间直角坐标为11,,222⎛⎫⎪⎝⎭.由于点M在平面xCy上的射影为点N，|CN|＝2，∠ECN＝π4，故点M的柱坐标为π,224⎛⎫⎪⎪⎝⎭.8答案：解：如图，作OB∥O1B1，交上底圆周于点B，连接AB，BB1，∠AOB＝60°，则△OAB为等边三角形．∵BB 1∥OO 1，∴BB 1与AB 1所成的角就是AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角． 又BB 1⊥圆O 所在的平面， ∴BB 1⊥AB .在Rt △ABB 1中，tan ∠AB 1B ＝1||3=||4AB B B ， ∴∠AB 1B ＝37°，|AB 1|5，即直线AB 1与圆柱的轴OO 1所成的角为37°，AB 1的长为5.。

2019-2020年高中数学第一章坐标系3柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O ­xyz ，设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r <＋∞，0≤θ<2π，－∞<z <＋∞.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(r ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z .2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O ­xyz ，设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ<2π.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ..[合作探究]1．空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？提示：设空间中点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同，直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在极坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不为0常数)，θ＝θ0(θ0为常数)表示的图形分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程ρ＝1，z ＝－1分别表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1，φ＝π4分别表示空间中的什么曲面？提示：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；方程z ＝－1表示与xOy 坐标面平行的平面，此平面与xOy 面的距离为1且在此坐标面的下方；在球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程φ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的上半个圆锥面，中心轴为z 轴．对应学生用书P16]将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标[例1] 1111坐标系，以Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．[思路点拨] 本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标系下点的坐标的确定及其关系的转化；解答此题需用法一：结合图形分别求三种坐标，法二：先求出点C 1的直角坐标，再分别化为柱坐标、球坐标即可．[精解详析] 设点C 1的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0.法一：结合图形及三种坐标系的概念知C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4(其中tan φ＝2，0≤φ≤π)． 法二：由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x 及⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r (x ≠0)．又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1，所以⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4(其中tan φ＝2，0≤φ≤π)．1．在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定距离和角大小． 2．转化点M 的直角坐标(x ，y ，z )(1)为柱坐标(r ，θ，z )时，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z进行变换得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x，z ＝z ，且求θ时要特别注意角θ所在象限，从而确定θ的取值．(2)为球坐标(r ，φ，θ)时，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ进行变换得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr ，tan θ＝yx(x ≠0)．若本例中条件不变，求点C ，D 的柱坐标与球坐标．解：结合图形知点C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.同样点D 的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，π2.[例2](1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5.[思路点拨] 本题考查关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 的直接应用，设点的直角坐标为(x ，y ，z )，利用上述关系式求出x ，y ，z 即可．[精解详析] (1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos5π6＝－3，y ＝2sin 5π6＝1，z ＝3.∴(－3，1,3)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.∴(1,1,5)为所求．将点的柱坐标(r ，θ，z )化为直角坐标，只需运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z转化成三角函数的求值与运算即可．1．设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，求它的直角坐标．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π6，y ＝2sin π6，z ＝7，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝7.所以点M 的直角坐标为(3，1,7).[例3] 设点P 的球坐标为(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，4，4.求它的直角坐标．[思路点拨] 本题考查关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ的直接应用，解答此题需要将r ，φ，θ代入求得x ，y ，z 即可．[精解详析] ∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin3π4cos 3π4＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝1，z ＝2cos 3π4＝－2，∴点P 的直角坐标为(－1,1，－2)．利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，把点的球坐标化为直角坐标时，应注意坐标r ，φ，θ的几何意义及坐标(r，φ，θ)的先后顺序，不要出现前后颠倒的现象．2．已知M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，7π6，求它的直角坐标．解：由变换公式得：x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 7π6＝－62. y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 7π6＝－22. z ＝r cos φ＝2cos3π4＝－ 2. ∴它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，－2. 对应学生用书P17]一、选择题1．设点M 的直角坐标为(－1，－3，2)，则它的柱坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，2 解析：选B 设点M 的柱坐标为(r ，θ，z )， 则tan θ＝yx＝ 3. ∵0≤θ<2π，x <0，∴θ＝4π3，r ＝x cos θ＝－1cos4π3＝2，z ＝2.∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，2.2.如图所示，点M 的球坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，π4 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π4 解析：选A 由球坐标的定义知，|OM |＝2＝r ，∠MOz ＝π4，∠xON ＝π3，又M (r ，φ，θ)，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π3.3．已知点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则其直角坐标为( ) A ．(－2,2,22) B ．(2，－2,22) C ．(－2，－2,22)D ．(－2,2，－22)解析：选A 设点N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos3π4＝4×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin 3π4＝4×22×22＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点N 的直角坐标为(－2,2,22)．4.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π2，5，则此长方体的体积为( )A ．100B ．120C ．160D ．240解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)， C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，5，可知|OA |＝4，|OC |＝6，|OO 1|＝5， 故长方体的体积为4×5×6＝120. 二、填空题5．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标． 答案：(－2,2,22) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 6．设点M 的直角坐标为(1，－3，4)，则点M 的柱坐标为________．解析：ρ＝x 2＋y 2＝12＋－32＝2.tan θ＝－31＝－3，又x ＞0，y ＜0，∴θ＝5π3，∴柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，47．在球坐标系中，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，π6与N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，2π3两点间的距离是________．解析：设点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos π6＝4×22×32＝6，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin π6＝4×22×12＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴M 点的直角坐标为(6，2，22)， 同理，N 点的直角坐标为(－2，6，22)． ∴|MN |＝6＋22＋2－62＋2－222＝4.答案：48．在柱坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2及O (0,0,0)三点，则△ABO 的面积为________．解析：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2，O (0,0,0)，∴△OAB 为直角三角形．∴S △OAB ＝12|OA ||AB |＝12×1×2＝1.答案：1 三、解答题9．如图建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．解：∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C ⎝⎛⎭⎪⎫33，π2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，4π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，0.10．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．求点M 的空间直角坐标、柱坐标．解：建立如图所示坐标系，过点M 作底面xCy 的垂线，垂足为N ，则N 为AB 中点．∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.∴M 点的空间直角坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2. 又CN ＝22，∠ACN ＝π4. ∴M 点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，2. 11．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．解：M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． (－1，－1，－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1，又x ＜0，y ＜0.∴θ＝5π4.∴其柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1. ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.2019-2020年高中数学第一章坐标系一平面直角坐标系教学案新人教A 版选修4-4[对应学生用书P1] 1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞y ′＝μy μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称为φ－平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[对应学生用书P1][例1] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . [思路点拨] 由于△ABC 为等腰三角形，故可以BC 为x 轴，以BC 中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．[证明] 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )． 则直线AC 的方程为y ＝－hax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：得|BD |＝|2ah |a 2＋h 2，|CE |＝|2ah |a 2＋h 2.∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD .证明：取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝b ＋a 2＋h 2，|BD |＝a ＋b2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ， 求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0,0)． 设B (a,0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c2)， 所以AD 2＋BD 2＝a ＋b24＋c 24＋a －b24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(AD 2＋BD 2).[例2] 如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．[思路点拨] 由题意可知，点P 所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC 的垂直平分线上；(2)在以A ，B 为焦点的双曲线上．[解] 设点P 的坐标为(x ，y )，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． 因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)， 所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．①又因为|PB |－|PA |＝4，所以点P 必在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得x ＝8或x ＝－3211(舍去)，所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1千米处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m ，但A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及 |AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改．[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线29＋y ′24＝1.[思路点拨] 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．[解] 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.4．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1， 得4·(12x ′)2－9·(13y ′)2＝1.整理得：x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.5．在同一直角坐标系下经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 后，曲线C 变为x ′2－9y ′2＝9，求曲线C 的方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y代入x ′2－9y ′2＝9，得9x 2－9y 2＝9，即x 2－y 2＝1.6．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，代入方程x ′216＋y ′29＝1，得λ2x 216＋μ2y 29＝1，与x 24＋y29＝1比较系数，得λ216＝14，μ29＝19，得λ＝2，μ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y，即将椭圆x 24＋y 29＝1上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得椭圆x ′216＋y ′29＝1.[对应学生用书P3] 一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：由伸缩变换的意义可得． 答案：D2．点(1,2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2,3)C ．(2，－3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 解析：把(1,2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.答案：D3．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝0，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝0 B ．9x 2＋100y 2＝0 C ．10x ＋24y ＝0D.225x 2＋89y 2＝0 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝0，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝0，即：25x 2＋36y 2＝0. 答案：A4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞，y ′＝μy μ＞，则μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，可得1μ＝3，λ＝2，∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y .答案：B 二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 12x ′. 答案：y ′＝3cosx ′26．已知平面内有一固定线段AB 且|AB |＝4.动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值为________．解析：以AB 为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点P 是以AB 为实轴的双曲线的右支．其中a ＝32.故|PO |的最小值为32.答案：327．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6＞4.∴A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′. ①(1)将①代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为 (b,0)，(0，c )． 则M 点的坐标为(b 2，c2)．由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.10．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝＋32＋12－－32＋12＝22＜|AB |＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2,2a ＝22， ∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.。

于
是
根
据
公
式
有
y
sin 1 sin 3
3, 2
z z 3,
故 点 M 的 直 角 坐 标 为(1 , 3 , 3). 22
再 令 M 的 球 坐 标 为 , , ,
1 2
sincos.
则根据公式有
3 2
sinsin,经验证C适合.
3 cos,
7.若点M的柱坐标为( 2 , , 3 ) 6
x
sin
co s
y
sin
sin
2 sin 2 sin
3 4 3 4
cos 5 4
sin 5 4
1, 1,
z cos 2cos 3 2 , 4
( 1, 1, 2 )为 所 求 .
2 ( , , ) (6, , 2 ),
33
x sin co s
6 sin cos 2 33
________. 答 案:( 3,1,3)
,则它的直角坐标为
解析: 设点M的直角坐标为x, y, z,
则有xy2c2ossin6613, ,即点M的直角坐标为( 3,1,3).
z 3,
8.已知柱坐标系O-xyz中,点M的柱坐标为 (2, , 5 ) 3
,则|OM|=________. 答案:3
z 6,
6.若点M的柱坐标为
为( )
A.(1,,)
63
C.(2,,)
63
(1, , 3 ) 3
B.(1,,)
36
D.(2,,)
36
,则点M的球坐标
答案:C
解 析 : 设 点 M 的 直 角 坐 标 为 x , y, z , 又 柱 坐 标 为 (1, , 3 ),