同济大学线性代数第六版课后答案(全)

同济大学数学系《工程数学—线性代数》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解
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第1章行列式
1.1复习笔记
一、n阶行列式
行列式的性质：
（1）行列式与它的转置行列式相等。

（2）对换行列式的两行（列），行列式变号。

（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。

（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和。

（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

二、行列式按行（列）展开
1余子式与代数余子式
n阶行列式中，把a ij所在的第i行和第j列去掉后，余下n－1阶行列式称为a ij的余子式，记作M ij，记
A ij＝（－1）i＋j M ij，A ij称为（i，j）元a ij的代数余子式。

2定理
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D＝a i1A i1＋a i2A i2＋…＋a in A in（i＝1，2，…，n）
或D＝a1j A1j＋a2j A2j＋…＋a nj A nj（j＝1，2，…，n）。

3范德蒙德行列式
4代数余子式的推论
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i1A j1＋a i2A j2＋…＋a in A jn＝0，i≠j或a1i A1j＋a2i A2j＋…＋a ni A nj＝0，i≠j
5代数余子式的重要性质
或。

第六章 线性空间与线性变换1．验证:(1)2阶矩阵的全体1S ;(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体2S ; (3)2阶对称矩阵的全体3S .对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基． 解 （1）设B A ,分别为二阶矩阵，则1,S B A ∈显然11,)(S kA S B A ∈∈+，从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间． =00011ε =00102ε =01003ε=10004ε是1S 的一个基. (2) 设 −=a c b a A ，−=d f e d B 2,S B A ∈ 2)(S d a a c b c d a B A ∈ ++++−=+， 2S ka kc kb ka kA ∈−=. −=10011ε =00102ε=01003ε是一个基． (3)设3,S B A ∈，则B B A A T T ==,B A B A B A T T T+=+=+)(，从而3)(S B A ∈+kA A k kA T T==)(,故3S kA ∈，所以对于加法和乘数运算构成线性空间.=00011ε =01102ε=10003ε是3S 的一个基.2．验证：与向量T )1,0,0(不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．解 设{}不平行的全体三维向量与向量)1,0,0(=V ，设)0,1,1(1=r , )1,0,1(2−=r ，则V r r ∈21,．但V r r ∉=+)1,0,0(21即V 不是线性空间.3．设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 V U =.证明 设r εεεL 21为U 的一组基，它可扩充为整个空间V 的一个基，由于)dim()dim(V U =从而r εεεL 21也为V 的一个基，则：对于V x ∈可 以表示为r r k k k x εεε+++=L 2211．显然，U x ∈，故U V ⊆，而由 已知知V U ⊆，有V U =．4．设r V 是n 维线性空间n V 的一个子空间，r a a L ,1是r V 的一个基．试 证： n V 中存在元素n r a a L ,1+，使r a a a L ,,21,n r a a L ,,1+成为n V 的一个 基．证明 设n r <,则在n V 中必存在一向量r r V a ∉+1，它不能被r a a a L ,,21 线性表示，将1+r a 添加进来，则1321,,,+r a a a a L 是线性无关的．若 n r =+1，则命题得证，否则存在),,,(1212++∉r r a a a L a L 则 221,,,+r a a a L 线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关的向量 n a a a ,,,21L ，它们是n V 的一个基．5．在3R 中求向量T )1,7,3(=α在基T )5,3,1(1=α,T )2,3,6(2=α，T )0,1,3(3=α下的坐标．解 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεεA TT T T T T ),,(),,(321321εεεααα= =025133361A坐标变换公式：−−−−−= =−3213211321152898155362'''x x x x x x A x x x故所求为−= −−−−−= 1548233173152898155362'''321x x x ． 所求坐标为()154,82,33−．6．在3R 取两个基T )1,2,1(1=α,T )3,3,2(2=α,T )1,7,3(3=α T T T )6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3(321−===βββ 试求坐标变换公式．解 设)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε，A TT T T T T ),,(),,(321321εεεααα=，A T T T TTT),,(),,(321321εεεβββ=．其中， =131732121A ，−=614121153B坐标变换公式= ′′′−3211321x x x A B x x x ，现求A B 1−~131614732121321153−−−−−−−−−−−279710701875210732121−−−−9940284001875210732121~4991071001875210732121~−−−−−−49910710026313901047175021~−−−49910710026313901041811913001~−−−=∴−499107263139418119131A B ．所以坐标变换公式为−−−= ′′′32132149910726313941811913x x x x x x ．7．在4R 中取两个基====,)1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321T T T T e e e e ===−=.)3,1,6,6(,)1,2,3,5(,)0,1,3,0(,)1,1,1,2(4321T TT T αααα (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;(2) 求向量T x x x x ),,,(4321在后一个基下的坐标; (3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 解 (1) 由题意知 =−= 4321432143213166123501301112εεεεεεεεααααA T从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为−= −=31011211633165023166123501301112TA (2) 设向量α在后一个基下的坐标为),,,(4321y y y y 则有 44114411ααεεy y x x ++=++L L即−=4321432131661235013011121000010000100001y y y y x x x x ， 故−=−4321143213166123501301112x x x x y y y y−−−−−−−=432126937180092391213327912271x x x x ． (3)由(2)知=−−−−−−−=4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ， 解方程组得=11114321k x x x x (k 为常数)8．说明xOy 平面上变换 =y x A y x T 的几何意义，其中 (1) −=1001A ; (2)=1000A ; (3) =0110A ; (4)−=0110A . 解 (1)−=−=y x y x y x T 1001 即与原向量关于y 轴对称(2) ==y y x y x T 01000 即将原向量投影到y 轴上．(3) ==x y y x y x T 0110 即与原向量关于直线x y =对称．(4) −=−=x y y x y x T 0110 即将原向量顺时针旋转2π．9．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个2)1(+n n 维线性空间.给出n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换AP P A T T =)(称为合同变换.试证合同变换T 是V 中的线性变换． 证明 设V B A ∈,，则B B A A T T ==,P B A P B A T T )()(+=+P B A P TT )(+=P P B A T ])[(+=P BP AP T)(+=P B P A P T T )(+=BP P AP P T T +==)()(B T A T + )()()(A kT AP P k P kA P kA T T T === 从而，合同变换T 是V 中的线性变换．10．函数集合},,|)({01201223R a a a e a x a x a V x ∈++==α对于函数的线性运算构成3维线性空间，在3V 中取一个基 x e x 21=α，x xe =2α，x e =3α 求微分运算D 在这个基下的矩阵. 解 设1221122)(αααβ+=+==x x e x xe D 2322)(αααβ+=+==x x xe e D 331)(ααβ===x e D易知：321,,βββ线性无关，故为一个基. 由 = ++= 321332213212ααααααααβββP T知 =100110021P T故 =110012001p .即D 在基下的矩阵为 110012001.11．2阶对称矩阵的全体},,|{32132213R x x x x x x x A V ∈== 对于矩阵的线性运算构成3维线性空间.在3V 中取一个基=00011A ， =01102A ，=10003A . 在3V 中定义合同变换=10111101)(A A T , 求T 在基321,,A A A 下的矩阵.解=101100011101)(1A T=1111321A A A ++==101111101101)(2A T=2110322A A +==101110001101)(3A T 31000A == 故=321321*********)()()(A A A A T A T A T T从而，T 在基321,,A A A 下的矩阵=121011001A .。

线性代数第六版答案doc【篇一：线性代数第六版答案doc】工程数学线性代数第六版课后答案 (同济大学数学系)本人辽宁科技大学，2011级土木工程（交通土建方向）专业的大学生。

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此课后习题答案对应的教材信息如下：书名：工程数学线性代数第六版作者：同济大学数学系出版社：高等教育出版社附件下载列表如下：【篇三：线性代数第六版答案doc】同济大学线性代数第六版答案全第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 解 2 4 3 0 1 1 1 1 8 0 1 3 2 1 8 1 4 1 24 8 16 4 4 2 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 3 解 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 a b b c c a 4 解 x x y y yx x y x y yx y3 x y 3 x3 3xy x y y3 3x2 y x3 y3 x3 2 x3 y3 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 1 1 2 3 4 解逆序数为0 2 4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 3 3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 4 2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 5 1 3 2n 1 2 4 2n 解逆序数为 3 2 1个 5 2 5 4 2个 7 2 7 4 7 6 3个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1个 6 1 3 2n 1 2n 2n 2 2 解逆序数为n n 1 3 2 1个 5 2 5 4 2个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1个 4 2 1个 6 2 6 4 2个 2n 2 2n 4 2n 6 2n 2n 2 n 1个 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 1 ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 1 ta11a23a32a44 1 1a11a23a32a44 a11a23a32a44 1ta11a23a34a42 1 2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 1 解 2 解 3 解 4 解 abcd ab cd ad 1 5 证明: 1 a b 3; 证明 a b3 2 ; 证明 3 ; 证明 c4 c3 c3 c2 c2 c1得 c4 c3 c3 c2得 4 a b a c ad b c b d c d a b c d ; 证明 a b a c a d b c b d c d a b c d 5 xna1xn 1 an 1x an 证明用数学归纳法证明当n 2时命题成立假设对于 n 1 阶行列式命题成立即 dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则dn按第一列展开有 xd n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此对于n阶行列式命题成立 6 设n阶行列式d det aij , 把d上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转依次得证明 d3 d 证明因为d det aij 所以同理可证 7 计算下列各行列式 dk为k阶行列式 1 , 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0 解按第n行展开 an an 2 an 2 a2 1 2 ; 解将第一行乘 1 分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得[x n 1 a] x a n 1 3 ; 解根据第6题结果有此行列式为范德蒙德行列式 4 ; 解按第1行展开再按最后一行展开得递推公式 d2n andnd2n 2 bncnd2n 2 即d2n andn bncn d2n 2 于是而所以 5 d det aij 其中aij |i j|; 解 aij |i j| 1 n 1 n 1 2n 2 6 , 其中a1a2 an 0 解 8 用克莱姆法则解下列方程组 1 解因为所以 2 解因为所以 9 问取何值时齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为令d 0 得 0或 1 于是当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解 10 问取何值时齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为 1 3 3 4 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3 令d 0得 0 2或 3 于是当 0 2或 3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换解由已知故 2 已知两个线性变换求从z1 z2 z3到x1x2 x3的线性变换解由已知所以有 3 设求3ab 2a及atb 解 4 计算下列乘积 1 解 2 解 1 3 2 2 3 1 10 3 解 4 解 5 解 a11x1 a12x2a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 a33x3 5 设问 1 ab ba吗解 ab ba 因为所以ab ba 2 a b 2 a2 2ab b2吗解 a b 2 a2 2ab b2 因为但所以 a b 2 a2 2ab b2 3 a b a b a2 b2吗解 a b a b a2 b2因为而故 a b a b a2 b2 6 举反列说明下列命题是错误的 1 若a2 0 则a 0 解取则a2 0 但a 0 2 若a2 a 则a 0或a e 解取则a2 a 但a 0且a e 3 若ax ay 且a 0 则x y 解取则ax ay 且a 0 但x y 7 设求a2 a3 ak 解 8 设求ak 解首先观察用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k时成立，则k 1时，由数学归纳法原理知 9 设a b为n阶矩阵，且a为对称矩阵，证明btab也是对称矩阵证明因为ata 所以 btab t bt bta t btatb btab 从而btab是对称矩阵 10 设a b都是n阶对称矩阵，证明ab是对称矩阵的充分必要条件是ab ba 证明充分性因为at a bt b 且ab ba 所以 ab t ba t atbt ab 即ab是对称矩阵必要性因为at a bt b 且 ab t ab 所以 ab ab t btat ba 11 求下列矩阵的逆矩阵 1 解 |a| 1 故a 1存在因为故 2 解 |a| 1 0 故a 1存在因为所以 3 解 |a| 2 0 故a 1存在因为所以 4 a1a2 an 0 解由对角矩阵的性质知 12 解下列矩阵方程 1 解 2 解 3 解 4 解 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 1 解方程组可表示为故从而有 2 解方程组可表示为故故有 14 设ak o k为正整数证明 e a 1 e a a2 ak 1 证明因为ak o 所以e ak e 又因为 e ak e a e a a2 ak 1 所以 e a e a a2 ak 1 e 由定理2推论知 e a 可逆且 e a 1 e a a2 ak 1 证明一方面有e e a 1 e a 另一方面由ak o 有 e e a a a2 a2 ak 1 ak 1 ak e a a2 a k 1 e a 故 e a 1 e a e a a2 ak 1 e a 两端同时右乘 e a 1 就有 e a 1 e a e a a2 ak 1 15 设方阵a满足a2 a 2e o 证明a及a 2e都可逆并求a 1及 a 2e 1 证明由a2 a 2e o得 a2 a 2e 即a a e 2e 或由定理2推论知a可逆且由a2 a 2e o得 a2 a 6e 4e 即 a 2e a 3e 4e 或由定理2推论知 a 2e 可逆且证明由a2 a 2e o得a2 a 2e 两端同时取行列式得 |a2 a| 2 即 |a||a e| 2 故 |a| 0 所以a可逆而a 2e a2 |a 2e| |a2| |a|2 0 故a 2e也可逆由 a2 a 2e o a a e 2e a 1a a e 2a 1e 又由a2 a 2e o a 2e a 3 a 2e 4e a 2e a 3e 4 e 所以 a 2e 1 a 2e a 3e 4 a 2 e 1 16 设a为3阶矩阵求| 2a 1 5a*| 解因为所以 | 2a 1| 2 3|a 1| 8|a| 1 8 2 16 17 设矩阵a可逆证明其伴随阵a*也可逆且 a* 1 a 1 * 证明由得a* |a|a 1 所以当a可逆时有 |a*| |a|n|a 1| |a|n 1 0 从而a*也可逆因为a* |a|a 1 所以 a* 1 |a| 1a 又所以 a* 1 |a| 1a |a| 1|a| a 1 * a 1 * 18 设n阶矩阵a的伴随矩阵为a* 证明 1 若|a| 0 则|a*| 0 2|a*| |a|n 1 证明 1 用反证法证明假设|a*| 0 则有a* a* 1 e 由此得 a a a* a* 1 |a|e a* 1 o 所以a* o 这与|a*| 0矛盾，故当|a| 0时有|a*| 0 2 由于则aa* |a|e 取行列式得到 |a||a*| |a|n 若|a| 0 则|a*| |a|n 1 若|a| 0 由 1 知|a*| 0 此时命题也成立因此|a*| |a|n 1 19 设 ab a 2b 求b 解由ab a 2e可得 a 2e b a 故 20 设且ab e a2 b 求b 解由ab e a2 b 得 a e b a2 e 即 a e b a e a e 因为所以 a e 可逆从而 21 设a diag 1 2 1 a*ba 2ba 8e 求b 解由a*ba 2ba 8e得 a* 2e ba 8e b 8 a* 2e 1a 1 8[a a* 2e ] 1 8 aa* 2a 1 8 |a|e 2a 1 8 2e 2a 1 4 e a 1 4[diag 2 1 2 ] 1 2diag 1 2 1 22 已知矩阵a的伴随阵且aba 1 ba 1 3e 求b 解由|a*| |a|3 8 得|a| 2 由aba 1 ba 1 3e得 ab b 3a b 3 a e 1a 3[a e a 1 ] 1a 23 设p 1ap 其中求a11 解由p 1ap 得a p p 1 所以a11 a p 11p 1. |p| 3 而故 24 设ap p 其中求 a a8 5e 6a a2 解 8 5e 6 2 diag 1 1 58 [diag 5 5 5 diag 6 6 30 diag 1 1 25 ] diag 1 1 58 diag12 0 0 12diag 1 0 0 a p p 1 25 设矩阵a、b及a b都可逆证明a 1b 1也可逆并求其逆阵证明因为 a 1 a b b 1 b 1 a 1 a 1 b 1 而a 1 a b b 1是三个可逆矩阵的乘积所以a 1 a b b 1可逆即a 1 b 1可逆a 1 b 1 1 [a 1 a b b 1] 1 b a b 1a 26 计算解设则而所以即 27 取验证解而故 28 设求|a8|及a4 解令则故 29 设n阶矩阵a及s阶矩阵b都可逆求 1 解设则由此得所以 2 解设则由此得所以 30 求下列矩阵的逆阵 1 解设则于是 2 解设则第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 1 解下一步 r2 2 r1 r3 3 r1 ~ 下一步 r2 1 r3 2 ~ 下一步 r3 r2 ~ 下一步 r3 3 ~ 下一步 r2 3r3 ~ 下一步 r1 2 r2 r1 r3 ~ 2 解下一步 r2 2 3 r1 r3 2 r1 ~ 下一步r3 r2 r1 3r2 ~ 下一步 r1 2 ~ 3 解下一步 r2 3r1 r3 2r1 r4 3r1 ~ 下一步 r2 4 r3 3 r4 5 ~ 下一步 r1 3r2 r3 r2 r4 r2 ~ 4 解下一步 r1 2r2 r3 3r2 r4 2r2 ~ 下一步 r2 2r1 r3 8r1 r4 7r1 ~ 下一步 r1 r2 r2 1 r4 r3 ~ 下一步 r2 r3 ~ 2 设求a 解是初等矩阵e 1 2 其逆矩阵就是其本身是初等矩阵e 1 2 1 其逆矩阵是 e 1 2 1 3 试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵 1 解 ~ ~~ ~故逆矩阵为 2 解 ~ ~ ~ ~ ~故逆矩阵为4 1 设求x使ax b 解因为所以 2 设求x使xa b 解考虑atxt bt 因为所以从而 5 设 ax 2x a 求x 解原方程化为 a 2e x a 因为所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r 1阶子式? 有没有等于0的r阶子式解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r 1阶子式也可能存在等于0的r阶子式例如 r a 3 是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式 7 从矩阵a中划去一行得到矩阵b 问a b的秩的关系怎样解 r a r b 这是因为b的非零子式必是a的非零子式故a的秩不会小于b 的秩 8 求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量 9 求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式 1 ; 解下一步 r1 r2 ~ 下一步 r2 3r1 r3 r1 ~ 下一步r3 r2 ~ 矩阵的是一个最高阶非零子式 2 解下一步 r1 r2 r2 2r1 r37r1 ~ 下一步 r3 3r2 ~ 矩阵的秩是2 是一个最高阶非零子式 3 解下一步 r1 2r4 r2 2r4 r3 3r4 ~ 下一步 r2 3r1 r3 2r1 ~ 下一步 r2 16r4r3 16r2 ~ ~ 矩阵的秩为3 是一个最高阶非零子式 10 设a、b都是m n矩阵证明a~b的充分必要条件是r a r b 证明根据定理3 必要性是成立的充分性设r a r b 则a与b的标准形是相同的设a与b的标准形为d 则有a~d d~b 由等价关系的传递性有a~b 11 设问k为何值可使 1 r a 1 2 r a 2 3 r a 3 解 1 当k 1时 r a 1 2 当k 2且k 1时 r a 2 3 当k 1且k 2时 r a 3 12 求解下列齐次线性方程组: 1 解对系数矩阵a进行初等行变换有 a ~ 于是故方程组的解为 k为任意常数 2 解对系数矩阵a进行初等行变换有 a ~ 于是故方程组的解为k1 k2为任意常数 3 解对系数矩阵a进行初等行变换有 a ~ 于是故方程组的解为 4 解对系数矩阵a进行初等行变换有 a ~ 于是故方程组的解为 k1 k2为任意常数 13 求解下列非齐次线性方程组: 1 解对增广矩阵b进行初等行变换有 b ~ 于是r a 2 而r b 3 故方程组无解2 解对增广矩阵b进行初等行变换有 b ~ 于是即 k为任意常数 3 解对增广矩阵b进行初等行变换有 b ~ 于是即 k1 k2为任意常数 4 解对增广矩阵b进行初等行变换有 b ~ 于是即 k1 k2为任意常数 14 写出一个以为通解的齐次线性方程组解根据已知可得与此等价地可以写成或或这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 15 取何值时非齐次线性方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多个解解 1 要使方程组有唯一解必须r a 3 因此当 1且 2时方程组有唯一解. 2 要使方程组无解必须r a r b 故 1 2 0 1 1 2 0 因此 2时方程组无解 3 要使方程组有有无穷多个解必须r a r b 3 故 1 2 0 1 1 2 0 因此当 1时方程组有无穷多个解. 16 非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的解解 ~ 要使方程组有解必须 1 2 0 即 1 2 当 1时 ~ 方程组解为或即 k为任意常数当 2时 ~ 方程组解为或即 k为任意常数17 设问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解解 b ~ 要使方程组有唯一解必须r a r b 3 即必须 110 0 所以当 1且 10时方程组有唯一解. 要使方程组无解必须r a rb 即必须 1 10 0且 1 4 0 所以当 10时方程组无解. 要使方程组有无穷多解必须r a r b 3 即必须 1 10 0且 1 4 0 所以当 1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为 b~ 方程组的解为或 k1 k2为任意常数 18 证明r a 1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bt 使a abt 证明必要性由r a 1知a的标准形为即存在可逆矩阵p和q 使或令 bt 1 0 0 q 1 则a是非零列向量 bt是非零行向量且a abt 充分性因为a与bt是都是非零向量所以a是非零矩阵从而r a 1 因为 1 r a r abt min r a r bt min 1 1 1 所以r a 1 19 设a为m n矩阵证明1 方程ax em有解的充分必要条件是r a m 证明由定理7 方程ax em有解的充分必要条件是r a r a em 而| em|是矩阵 a em 的最高阶非零子式故r a r a em m 因此方程ax em有解的充分必要条件是r a m 2 方程ya en有解的充分必要条件是r a n 证明注意方程ya en 有解的充分必要条件是atyt en有解由 1 atyt en有解的充分必要条件是r at n 因此，方程ya en有解的充分必要条件是r a r at n 20 设a为m n矩阵证明若ax ay 且r a n 则x y 证明由ax ay 得a x y o 因为r a n 由定理9 方程a x y o只有零解即x y o 也就是x y 第四章向量组的线性相关性 1 设v1 1 1 0 t v2 0 1 1 t v3 3 4 0 t 求v1 v2及3v1 2v2 v3 解 v1 v2 1 1 0 t 0 1 1 t 1 0 1 1 0 1 t 1 0 1 t 3v1 2v2 v3 3 1 1 0 t 2 0 1 1 t 3 4 0 t 3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0 t 0 1 2 t 2 设3 a1 a 2 a2 a 5 a3 a 求a 其中a1 2 5 1 3 t a2 10 1 5 10 t a3 4 1 1 1 t 解由3 a1 a 2 a2 a 5 a3 a 整理得 1 2 3 4 t 3 已知向量组 a a1 0 1 2 3 t a2 3 0 1 2 t a3 2 3 0 1 t b b1 2 1 1 2 t b2 0 2 1 1 t b3 4 4 1 3 t 证明b组能由a组线性表示但a组不能由b组线性表示证明由知r a r a b 3 所以b组能由a组线性表示由知r b 2 因为r b r b a 所以a组不能由b组线性表示 4 已知向量组 a a1 0 1 1 t a2 1 1 0 t b b1 1 0 1 t b2 1 2 1 t b3 3 2 1 t 证明a组与b组等价证明由知r b r b a 2 显然在a中有二阶非零子式故r a 2 又r a r b a 2 所以r a 2从而r a r b r a b 因此a组与b组等价 5 已知r a1 a2 a3 2 r a2 a3 a4 3 证明 1 a1能由a2 a3线性表示 2 a4不能由a1 a2 a3线性表示证明 1 由r a2 a3 a4 3知a2 a3 a4线性无关故a2 a3也线性无关又由r a1 a2 a3 2知a1 a2 a3线性相关故a1能由a2 a3线性表示 2 假如a4能由a1 a2 a3线性表示则因为a1能由a2 a3线性表示故a4能由a2 a3线性表示从而a2 a3 a4线性相关矛盾因此a4不能由a1 a2 a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 1 1 3 1 t 2 1 0 t 1 4 1 t 2 2 3 0 t 1 4 0 t 0 0 2 t 解 1 以所给向量为列向量的矩阵记为a 因为所以r a 2小于向量的个数从而所给向量组线性相关 2 以所给向量为列向量的矩阵记为b 因为所以r b 3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1 a 1 1 t a2 1 a 1 t a3 1 1 a t 解以所给向量为列向量的矩阵记为a 由知当a 1、0、1时 r a 3 此时向量组线性相关 8 设a1 a2线性无关 a1 b a2 b线性相关求向量b用a1 a2线性表示的表示式解因为a1 b a2 b线性相关故存在不全为零的数 1 2使 1 a1 b 2 a2 b 0 由此得设则 b ca1 1 c a2 c r 9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关问a1 b1 a2 b2是否一定线性相关？试举例说明之解不一定例如当a1 1 2 t, a2 2 4 t, b1 1 1 t, b2 0 0 t时有 a1 b1 1 2 tb1 0 1 t, a2 b2 2 4 t 0 0 t 2 4 t 而a1 b1 a2 b2的对应分量不成比例是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 1 若向量组a1 a2 am是线性相关的则a1可由a2 am线性表示解设a1 e1 1 0 0 0 a2 a3 am 0 则a1 a2 am线性相关但a1不能由a2 am线性表示 2 若有不全为0的数 1 2 m使 1a1 mam 1b1 mbm 0成立则a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关解有不全为零的数 1 2 m使 1a1 mam 1b1 mbm 0 原式可化为 1 a1 b1 m am bm 0 取a1 e1 b1 a2 e2 b2 am em bm 其中e1 e2 em为单位坐标向量则上式成立而a1 a2 am和b1 b2 bm均线性无关 3 若只有当 1 2 m全为0时等式1a1 mam 1b1 mbm 0才能成立则a1 a2 am线性无关, b1 b2 bm亦线性无关解由于只有当 1 2 m全为0时等式由 1a1 mam 1b1 mbm 0成立所以只有当 1 2 m全为0时等式 1 a1 b1 2 a2 b2 m am bm 0成立因此a1 b1 a2 b2 am bm线性无关取a1 a2 am 0 取b1 bm为线性无关组则它们满足以上条件但a1 a2 am线性相关 4 若a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关则有不全为0的数 1 2 m使 1a1 mam 0 1b1 mbm 0同时成立解 a1 1 0 t a2 2 0 t b1 0 3 t b2 0 4 t 1a1 2a2 0 1 2 2 1b1 2b2 0 1 3/4 2 1 2 0 与题设矛盾 11 设b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关证明由已知条件得 a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a1 于是a1 b1 b2 a3 b1 b2 b3 a4 b1 b2 b3 b4 a1 从而 b1 b2 b3 b4 0 这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 12 设b1 a1 b2 a1 a2 br a1 a2 ar 且向量组a1 a2 ar线性无关证明向量组b1 b2 br线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为b ak 因为|k| 1 0 k可逆所以r b r a r 从而向量组b1 b2 br线性无关 13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组 1 a1 1 2 1 4 t a2 9 100 10 4 t a3 2 4 2 8 t 解由知r a1 a2 a3 2 因为向量a1与a2的分量不成比例故a1 a2线性无关所以a1 a2是一个最大无关组 2 a1t 1 2 1 3 a2t 4 1 5 6 a3t 1 3 4 7 解由知r a1t a2t a3t r a1 a2 a3 2 因为向量a1t与a2t的分量不成比例故a1t a2t线性无关所以a1t a2t是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 1 解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 2 解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组 15 设向量组 a 3 1 t 2 b 3 t 1 2 1 t 2 3 1 t的秩为2 求a b 解设a1 a 3 1 t a2 2 b 3 t a3 1 2 1 t a4 2 3 1 t 因为而r a1 a2 a3 a4 2 所以a 2 b 5 16 设a1 a2 an是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1 e2 en能由它们线性表示证明a1 a2 an线性无关证法一记a a1 a2 an e e1 e2 en 由已知条件知存在矩阵k 使e ak 两边取行列式得|e| |a||k| 可见|a| 0 所以r a n 从而a1 a2 an线性无关证法二因为e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示所以r e1 e2 en r a1 a2 an 而r e1 e2 en n r a1 a2 an n 所以r a1 a2 an n 从而a1 a2 an线性无关 17设a1 a2 an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1 a2 an线性无关而a1 a2 an a是n 1个n维向量是线性相关的所以a能由a1 a2 an线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1 a2 an线性表示故单位坐标向量组e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示于是有n r e1 e2 en r a1 a2 an n 即r a1 a2 an n 所以a1 a2 an线性无关 18 设向量组a1 a2 am线性相关且a1 0 证明存在某个向量ak 2 k m 使ak能由a1 a2 ak 1线性表示证明因为a1 a2 am线性相关所以存在不全为零的数 1 2 m 使 1a12a2 mam 0 而且 2 3 m不全为零这是因为如若不然则 1a1 0 由a1 0知 1 0 矛盾因此存在k 2 k m 使 k 0 k 1 k 2 m 0 于是 1a1 2a2 kak 0 ak 1/ k 1a1 2a2 k 1ak 1 即ak能由a1 a2 ak 1线性表示 19设向量组b b1 br能由向量组a a1 as线性表示为 b1 br a1 as k 其中k为s r矩阵且a组线性无关证明b组线性无关的充分必要条件是矩阵k的秩r k r 证明令b b1 br a a1 as 则有b ak 必要性设向量组b线性无关由向量组b线性无关及矩阵秩的性质有 r r b r ak min r a r k r k 及 r k min r s r 因此r k r 充分性因为r k r 所以存在可逆矩阵c 使为k的标准形于是 b1 br c a1 as kc a1 ar 因为c可逆所以r b1 br r a1 ar r 从而b1 br线性无关 20 设证明向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价证明将已知关系写成将上式记为b ak 因为所以k可逆故有a bk 1 由b ak和a bk 1可知向量组 1 2 n与向量组 1 2 n可相互线性表示因此向量组 1 2 n与向量组 1 2 n等价 21 已知3阶矩阵a与3维列向量x满足a3x 3ax a2x 且向量组x axa2x线性无关 1 记p x ax a2x 求3阶矩阵b 使ap pb 解因为 ap a x ax a2x ax a2x a3x ax a2x 3ax a2x 所以 2 求|a| 解由a3x 3axa2x 得a 3x ax a2x 0 因为x ax a2x线性无关故3x ax a2x 0 即方程ax 0有非零解所以r a 3 |a| 0 22 求下列齐次线性方程组的基础解系 1 解对系数矩阵进行初等行变换有于是得取 x3 x4 t 4 0 t 得 x1 x2 t 16 3 t 取 x3 x4 t 0 4 t 得 x1 x2 t 0 1 t 因此方程组的基础解系为1 16 3 4 0 t 2 0 1 0 4 t 2 解对系数矩阵进行初等行变换有于是得取 x3 x4 t 19 0 t 得 x1 x2 t 2 14 t 取 x3 x4 t 0 19 t 得 x1 x2 t 1 7 t 因此方程组的基础解系为 1 2 14 19 0 t 2 1 7 0 19 t 3 nx1 n 1 x22xn 1 xn 0. 解原方程组即为xn nx1 n 1 x2 2xn 1 取x1 1 x2 x3 xn 1 0 得xn n 取x2 1 x1 x3 x4 xn 1 0 得xn n 1 n 1 取xn 1 1 x1 x2 xn 2 0 得xn 2 因此方程组的基础解系为 1 1 0 0 0 n t 2 0 1 0 0 n 1 tn 1 0 0 0 1 2 t 23 设, 求一个4 2矩阵b, 使ab 0, 且r b 2. 解显然b 的两个列向量应是方程组ab 0的两个线性无关的解因为所以与方程组ab 0同解方程组为取 x3 x4 t 8 0 t 得 x1 x2 t 1 5 t 取 x3 x4 t 0 8 t 得 x1 x2 t 1 11 t 方程组ab 0的基础解系为 1 1 5 8 0 t 2 1 11 0 8 t 因此所求矩阵为 24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 1 0 1 2 3 t 2 3 2 1 0 t 解显然原方程组的通解为, 即 k1 k2 r 消去k1 k2得此即所求的齐次线性方程组. 25 设四元齐次线性方程组 i ii 求 1方程i与ii的基础解系 2 i与ii的公共解解 1 由方程i得取 x3 x4 t 1 0 t 得 x1 x2 t 0 0 t 取 x3 x4 t 0 1 t 得 x1 x2 t 1 1 t 因此方程i的基础解系为 1 0 0 1 0 t 2 1 1 0 1 t 由方程ii得取 x3 x4 t 1 0 t 得 x1 x2 t 0 1 t 取 x3 x4 t 0 1 t 得 x1 x2 t 1 1 t 因此方程ii的基础解系为 1 0 1 1 0 t 2 1 1 0 1 t 2 i与ii的公共解就是方程 iii 的解因为方程组iii的系数矩阵所以与方程组iii同解的方程组为取x4 1 得 x1 x2 x3 t 11 2 t 方程组iii的基础解系为 1 1 2 1 t 因此i与ii的公共解为x c 1 12 1 t c r 26 设n阶矩阵a满足a2 a e为n阶单位矩阵, 证明r a r ae n 证明因为a a e a2 a a a 0 所以r a r a e n 又r a e r e a 可知r a r a e r a r e a r a e a r e n 由此r a r a e n 27 设a为n阶矩阵 n 2 a*为a的伴随阵证明证明当r a n时 |a| 0 故有 |aa*| ||a|e| |a| 0 |a*| 0 所以r a* n 当r a n 1时 |a| 0 故有 aa* |a|e 0 即a*的列向量都是方程组ax 0的解因为r a n 1 所以方程组ax 0的基础解系中只含一个解向量即基础解系的秩为1 因此r a* 1 当r a n 2时 a中每个元素的代数余子式都为0 故a* o 从而r a* 0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 1 解对增广矩阵进行初等行变换有与所给方程组当x3 0时得所给方程组的一个解 8 13 0 2 t 与对应的齐次方程组当x3 1时得对应的齐次方程组的 1 1 1 0 t 2解对增广矩阵进行初等行变换有与所给方程组当x3 x4 0时得所给方程组的一个解 1 2 0 0 t 与对应的齐次方程组分别取 x3 x4 t 1 0 t 0 1 t 得对应的齐次方程组的 1 9 1 7 0 t 2 1 1 0 2 t 29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知 1 2 3是它的三个解向量且 1 2 3 4 5 t 2 3 1 2 3 4 t 求该方程组的通解解由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量且由于 1 2 3均为方程组的解由非齐次线性方程组解的结构性质得2 1 2 3 1 2 1 3 3 4 5 6 t为其基础解系向量故此方程组的通解 x k 3 4 5 6 t 2 3 4 5 t k r 30 设有向量组a a1 2 10 t a2 2 1 5 t a3 1 1 4 t 及b 1 1 t 问为何值时 1 向量b不能由向量组a线性表示 2 向量b能由向量组a线性表示且表示式唯一 3 向量b能由向量组a线性表示且表示式不唯一并求一般表示式解 1 当 4 0时 r a r a b 此时向量b不能由向量组a线性表示 2 当 4时 r a r a b 3 此时向量组a1 a2 a3线性无关而向量组a1 a2 a3 b线性相关故向量b能由向量组a线性表示且表示式唯一 3 当 4 0时 r a r a b 2 此时向量b能由向量组a线性表示且表示式不唯一当 4 0时方程组 a3 a2 a1 x b的解为 c r 因此 b 2c 1 a3 3c 1 a2 ca1 即 b ca1 3c 1 a2 2c 1 a3 c r 31 设a a1 a2 a3 t b b1 b2 b3 t c c1 c2 c3 t 证明三直线 l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 ai2 bi2 0 i 1 2 3 l3 a3x b3y c3 0 相交于一点的充分必要条件为向量组a b线性无关且向量组a b c线性相关证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组有唯一解上述方程组可写为xa yb c 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a b唯一线性表示而c能由a b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a b线性无关且向量组a b c线性相关 32 设矩阵a a1 a2 a3 a4 其中a2 a3 a4线性无关 a1 2a2 a3 向量b a1 a2 a3 a4 求方程ax b 的通解解由b a1 a2 a3 a4知 1 1 1 1 t是方程ax b的一个解由a1 2a2 a3得a1 2a2 a3 0 知 1 2 1 0 t是ax 0的一个解由a2 a3 a4线性无关知r a 3 故方程ax b所对应的齐次方程ax 0的基础解系中含一个解向量因此 1 2 1 0 t是方程ax 0的基础解系方程ax b的通解为x c 1 2 1 0 t 1 1 1 1 t c r 33 设*是非齐次线性方程组ax b的一个解, 1 2 n r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 1 * 1 2 n r线性无关 2 * * 1 * 2 * n r线性无关证明 1 反证法, 假设* 1 2 n r线性相关1 2 n r线性无关而 * 1 2 n r线性相关所以 *可由 1 2 n r线性表示且表示式是唯一的这说明 *也是齐次线性方程组的解矛盾 2 显然向量组 * * 1 * 2 * n r与向量组 * 1 2 n r可以相互表示故这两个向量组等价而由 1 知向量组 * 1 2 n r线性无关所以向量组 * * 1 * 2 * n r也线性无关 34 设 1 2 s是非齐次线性方程组ax b的s个解 k1 k2 ks为实数满足k1 k2 ks 1. 证明x k1 1 k2 2 ks s也是它的解. 证明因为 1 2 s都是方程组ax b的解所以 a i b i 1 2 s 从而 a k1 1 k2 2 ks s k1a 1 k2a 2 ksa s k1 k2 ks b b 因此x k1 1 k2 2 ks s也是方程的解 35 设非齐次线性方程组ax b的系数矩阵的秩为r 1 2 n r 1是它的n r 1个线性无关的解试证它的任一解可表示为x k1 1 k2 2 kn r 1 n r 1 其中k1 k2 kn r 1 1 . 证明因为 1 2 n r 1均为ax b的解所以 1 2 1 2 3 1 n r n r 1 1均为ax b的解用反证法证 1 2 n r线性无关设它们线性相关则存在不全为零的数 1 2 n r 使得 1 1 2 2 n r nr 0 即 1 2 1 2 3 1 n r n r 1 1 0 亦即 1 2 n r 1 1 2 2 3 n r n r 1 0 由 1 2 n r 1线性无关知 1 2 n r 1 2 n r 0 矛盾因此 1 2 n r线性无关 1 2 n r为ax b的一个基础解系设x为ax b的任意解则x 1为ax 0的解故x 1可由 1 2 n r线性表出设 x 1 k2 1 k3 2 kn r 1 n r k2 2 1 k3 3 1 kn r 1 n r 1 1 x 1 1 k2 k3 kn r 1 k2 2 k3 3 k n r 1 n r 1 令k1 1 k2 k3 kn r 1 则k1 k2 k3 kn r 1 1 于是 x k1 1 k2 2 kn r 1 n r 1 36 设v1 x x1 x2 ? ? xn t | x1 ? ? xn r满足x1 x2 ? ? ? xn 0 v2 x x1 x2 ? ? xn t | x1 ? ? xn r满足x1 x2 ? ? ? xn 1 问v1 v2是不是向量空间？为什么？解 v1是向量空间因为任取 a1 a2 ? ? an t v1 b1b2 ? ? bn t v1 r 有 a1 a2 ? ? ? an 0 b1 b2 ? ? ? bn 0 从而 a1 b1 a2 b2 ? ? ? an bn a1 a2 ? ? ? an b1 b2 ? ? ? bn 0 a1 a2 ? ? ? an a1 a2 ? ? ? an 0 所以 a1 b1 a2 b2 ? ? an bn t v1 a1 a2 ? ? an tv1 v2不是向量空间因为任取 a1 a2 ? ? an t v1 b1 b2 ? ? bn t v1 有 a1 a2 ? ? ? an 1 b1 b2 ? ? ? bn 1 从而 a1 b1 a2 b2 ? ? ? an bn a1 a2 ? ? ? an b1 b2 ? ? ? bn 2 所以 a1 b1 a2 b2 ? ? an bn t v1 37 试证由a1 0 1 1 t a2 1 0 1 t a3 1 1 0 t所生成的向量空间就是r3.证明设a a1 a2 a3 由知r a 3 故a1 a2 a3线性无关所以a1 a2 a3是三维空间r3的一组基, 因此由a1 a2 a3所生成的向量空间就是r3. 38 由a1 1 1 0 0 t a2 1 0 1 1 t所生成的向量空间记作v1,由b1 2 1 3 3 t b2 0 1 1 1 t所生成的向量空间记作v2, 试证v1 v2. 证明设a a1 a2 b b1 b2 显然r a r b 2 又由知r a b 2 所以r a r b r a b 从而向量组a1 a2与向量组b1 b2等价因为向量组a1 a2与向量组b1b2等价所以这两个向量组所生成的向量空间相同即v1 v2. 39 验证a1 1 1 0 t a2 2 1 3 t a3 3 1 2 t为r3的一个基, 并把v1 5 0 7 t v2 9 8 13 t用这个基线性表示. 解设a a1 a2 a3 由知r a 3 故a1 a2 a3线性无关所以a1 a2 a3为r3的一个基. 设x1a1 x2a2 x3a3 v1 则解之得x1 2 x2 3 x3 1 故线性表示为v1 2a1 3a2 a3 设x1a1 x2a2x3a3 v2 则解之得x1 3 x2 3 x3 2 故线性表示为v2 3a1 3a2 2a3 40 已知r3的两个基为 a1 1 1 1 t a2 1 0 1 t a3 1 0 1 t b1 1 2 1 t b2 2 3 4 t b3 3 4 3 t 求由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵p 解设e1 e2 e3是三维单位坐标向量组则于是由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵为第五章相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 1 解根据施密特正交化方法 2 解根据施密特正交化方法 2 下列矩阵是不是正交阵: 1 ; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 2 解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵 3 设x为n维列向量 xtx 1 令h e 2xxt 证明h是对称的正交阵证明因为 ht e 2xxt t e 2 xxt t e 2 xxt t e 2 xt txt e 2xxt 所以h是对称矩阵因为 hth hh e 2xxt e 2xxt e 2xxt 2xxt 2xxt 2xxt e 4xxt 4x xtx xt e 4xxt 4xxt e 所以h是正交矩阵 4 设a与b都是n阶正交阵证明ab也是正交阵证明因为a b是n阶正交阵故a 1 at b 1 bt ab t ab btatab b 1a 1ab e 故ab也是正交阵 5 求下列矩阵的特征值和特征向量: 1 ; 解故a的特征值为 1 三重对于特征值 1 由得方程 a e x 0的基础解系p1 1 1 1 t 向量p1就是对应于特征值 1的特征值向量. 2 ; 解故a的特征值为 1 0 2 1 3 9 对于特征值 1 0 由得方程ax 0的基础解系p1 1 1 1 t 向量p1是对应于特征值 1 0的特征值向量. 对于特征值 2 1, 由得方程 a e x 0的基础解系p2 1 1 0 t 向量p2就是对应于特征值 2 1的特征值向量对于特征值 3 9 由得方程 a 9e x 0的基础解系p3 1/2 1/2 1 t 向量p3就是对应于特征值 3 9的特征值向量 3 . 解故a的特征值为 1 2 1 3 4 1 对于特征值 1 2 1 由得方程a e x 0的基础解系p1 1 0 0 1 t p2 0 1 1 0 t 向量p1和p2是对应于特征值 1 2 1的线性无关特征值向量对于特征值 3 4 1 由得方程 a e x 0的基础解系p3 1 0 0 1 t p4 0 1 1 0 t 向量p3和p4是对应于特征值 3 4 1的线性无关特征值向量 6 设a为n阶矩阵证明at与a的特征值相同证明因为|at e| | a e t| |a e|t |a e| 所以at与a的特征多项式相同从而at与a的特征值相同 7 设n阶矩阵a、b满足r a r b n 证明a与b有公共的特征值有公共的特征向量证明设r a r r b t 则r t n 若a1 a2 an r是齐次方程组ax 0的基础解系显然它们是a的对应于特征值 0的线性无关的特征向量类似地设b1 b2 bn t是齐次方程组bx 0的基础解系则它们是b的对应于特征值 0的线性无关的特征向量由于 n r n t n n r t n 故a1 a2 an r b1 b2 bn t必线性相关于是有不全为0的数k1 k2 kn r l1 l2 ln t 使k1a1 k2a2 kn ran rl1b1 l2b2 ln rbn r 0 记 k1a1 k2a2 kn ran r l1b1 l2b2 ln rbn r 则k1 k2 kn r不全为0 否则l1 l2 ln t不全为0 而l1b1 l2b2 ln rbn r 0 与b1 b2 bn t线性无关相矛盾因此 0 是a的也是b的关于 0的特征向量所以a与b有公共的特征值有公共的特征向量 8 设a2 3a 2e o证明a的特征值只能取1或2 证明设是a的任意一个特征值 x是a 的对应于的特征向量则 a2 3a 2e x 2x 3 x 2x 2 3 2 x 0 因为x 0 所以 2 3 2 0 即是方程 2 3 2 0的根也就是说 1或 2 9 设a为正交阵且|a| 1 证明 1是a的特征值证明因为a为正交矩阵所以a的特征值为 1或1 因为|a|等于所有特征值之积又|a| 1 所以必有奇数个特征值为 1 即 1是a的特征值 10 设 0是m阶矩阵am nbn m的特征值证明也是n阶矩阵ba的特征值证明设x是ab的对应于 0的特征向量则有 ab x x 于是 b ab x b x 或 ba b x bx 从而是ba的特征值且bx是ba的对应于的特征向量 11 已知3阶矩阵a的特征值为1 2 3 求|a3 5a2 7a| 解令 3 5 2 7 则 1 3 2 2 3 3是 a 的特征值故 |a35a2 7a| | a | 1 2 3 3 2 3 18 12 已知3阶矩阵a的特征值为1 2 3 求|a* 3a 2e| 解因为|a| 1 2 3 6 0 所以a可逆故 a* |a|a 1 6a 1 a* 3a 2e 6a 1 3a 2e 令 6 1 3 2 2 则 1 1 2 5 3 5是 a 的特征值故 |a* 3a 2e| | 6a 1 3a 2e| | a | 1 2 3 1 5 5 25 13 设a、b都是n阶矩阵且a可逆证明ab与ba相似证明取p a 则p 1abp a 1aba ba 即ab与ba相似 14 设矩阵可相似对角化求x 解由得a的特征值为 1 6 2 3 1 因为a可相似对角化所以对于 2 3 1 齐次线性方程组 a e x 0有两个线性无关的解因此r a e 1 由知当x 3时r a e 1 即x 3为所求 15 已知p 1 1 1 t是矩阵的一个特征向量 1 求参数a b及特征向量p所对应的特征值解设是特征向量p所对应的特征值则 a e p 0 即解之得 1 a 3 b 0 2 问a能不能相似对角化？并说明理由解由得a的特征值为 1 2 3 1 由知r a e 2 所以齐次线性方程组 a e x 0的基础解系只有一个解向量因此a不能相似对角化 16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: 1 ; 解将所给矩阵记为a 由 1 4 2 得矩阵a的特征值为 1 2 2 1 3 4 对于 1 2 解方程 a 2e x 0 即得特征向量1 2 2 t 单位化得对于 2 1, 解方程 a e x 0 即得特征向量 2 1 2 t 单位化得对于 3 4, 解方程 a 4e x 0 即得特征向量 2 2 1 t 单位化得于是有正交阵p p1 p2 p3 使p 1ap diag 2 1 4 2 解将所给矩阵记为a 由1 2 10 得矩阵a的特征值为 1 2 1 3 10 对于 1 2 1 解方程 a e x 0 即得线性无关特征向量 2 1 0 t和 2 0 1 t 将它们正交化、单位化得对于 3 10, 解方程 a 10e x 0 即得特征向量 1 2 2 t 单位化得于是有正交阵p p1 p2 p3 使p 1ap diag 1 1 10 17 设矩阵与相似求x y 并求一个正交阵p 使p 1ap 解已知相似矩阵有相同的特征值显然 5 4 y 是的特征值故它们也是a的特征值因为 4是a的特征值所以解之得x 4 已知相似矩阵的行列式相同因为所以 20y 100 y 5 对于 5 解方程 a 5e x 0 得两个线性无关的特征向量 1 0 1 t 1 2 0 t 将它们正交化、单位化得对于 4 解方程 a 4e x 0 得特征向量 2 1 2 t 单位化得于是有正交矩阵使p 1ap 18 设3阶方阵a的特征值为 1 2 2 2 3 1 对应的特征向量依次为p1 0 1 1 t p2 1 1 1 t p3 1 1 0 t 求a. 解令p p1 p2 p3 则p 1ap diag 2 2 1 a p p 1 因为所以 19 设3阶对称阵a。

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x →0时, 有:(1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y xx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xx x 23tan lim 0→; (2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数); (3)xx x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n 1++=-+(x →0), 所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性);(3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性).证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ; (3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.。

同济六版高等数学课后答案全集第一章 习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第6章线性空间与线性变换1．验证：（1）2阶矩阵的全体S1；（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2；（3）2阶对称矩阵的全体S3，对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基．解：（1）①根据题意，S1对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算的八条规律，根据定义，S1对于矩阵的加法和数乘构成线性空间．在S1中取向量组则向量组π1线性无关．如果有②对于任意，即A可由π1线性表示．综合①②，向量组π1是S1的一个基，从而S1的维数为4．（2）根据题意，S2中矩阵的加法和数乘满足线性运算的八条规律．又①因为，所以S2对加法封闭；②因为，所以S2对数乘封闭；由上可知S2对上述线性运算构成线性空间．取向量组与（1）同理，可证向量组π2线性无关，且，A可由π2线性表示为于是向量组π2是S2的一个基，因而其维数为3．（3）因为对称矩阵的和与数乘仍是对称矩阵，即S3对于矩阵加法和数乘是封闭的，与（2）同理，S3对于上述线性运算构成线性空间．取向量组则①向量组π3线性无关，如果有②，则A可由π3线性表示为，故向量组π3是S3的一个基，从而它的维数为3．2．验证：与向量（0，0，1）T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间．证：都是R3中与向量不平行的向量，但是其和平行于（0，0，1）T，即该集合对于向量的加法不封闭，所以不构成向量空间．3．在线性空间中，下列向量组是否为一个基？解：（1）设得因1，x，x2，x3线性无关，故上式中它们的系数均为0，即有关于未知数k1，k2，k3，k4的齐次方程，其系数矩阵知其秩为3，故齐次方程有非零解，从而向量组Ⅰ线性相关，不是基；（2）设因1，x，x2，x3线性无关可得齐次线性方程它的系数矩阵秩为4，所以只有零解，从而向量组Ⅱ线性无关，且含4个向量，所以向量组Ⅱ是的一个基．4．在R3中求向量在基中的坐标．解：根据定义，向量α在基α1，α2，α3中的坐标就是a由向量组α1，α2，α3线性表示式中的系数，也就是方程的解．由于于是，α在所给基中的坐标为5．在R3中取两个基试求坐标变换公式．解：记于是有，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为．因此由定理2得坐标变换公式为即从基α用矩阵的初等行变换求于是所求坐标变换公式为6．在R4中取两个基（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量（x1，x2，x3，x4）T在后一个基中的坐标；（3）求在两个基中有相同坐标的向量．解：（1）根据题意，有所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基{αi}下的坐标为，则由坐标变换公式，有（3）设向量y在两个基下有相同的坐标，由坐标变换公式，并仍记坐标向量为y，则，即．易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩，从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系．故所求向量为，k为任意常数．7．设线性空间S1（习题六第1题（1））中向量（1）问b1能否由a1，a2线性表示？b2能否由a1，a2线性表示？（2）求由向量组a1，a2，b1，b2所生成的向量空间L的维数和一个基．解：可先写出a1，a2，b1，b2在基中的坐标所构成的矩阵由此可见：。

线性代数第六版课后习题答案
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