大学物理 守恒定律(二)

卫星在半径为r的轨道上运行速度为v,
GM e m (6.6Re )2
v2 m
6.6Re
v
Reg (1) 6.6
v'
卫星得到径向速度到切 向着陆的过程中
仅受万有引力作用，
m、M e: E守恒，m: 对地心的 L守恒。
即：1 2
mv 2
1 2
mv
2 n
GM em 6.6Re
1 2
mv2
GM em (2) Re
x2
ml mM
l (1
3) 2
x1 x1 x2
x1 l
3l 2
M x1 m x2
2）摆球落至最低点时小车与摆球的速度各多少？
3）摆球落至 角时小车与摆球的速度各多少？
2）最低点：v
//
V，沿水平方向
l
mv MV 0
v 2Mgl
m gl 1 m v2 1 MV 2
2
2
M m
求：若n次后人刚好不能接住箱子，则 M ?
mV
分析：墙对m作用力，
M
整个过程m、M P不守恒，
+
v0
m
光滑
但每次m、M接触过程中动量守恒。
0
MV1
mv0
V1
m M
v0
(1)
MV1
mv0
MV2
mv0
V2
V1
2m M
v0 (2)
MV2
mv0
MV3
mv0
V3
V2
2m M
v0
(3)
MVn1
2
2
m脱离M时：N 0
mg cos m v2 (3)
R
M m
正确解： vm M , VM地 vm地＝vm M＋VM地
m、M: Px守恒:
V
m(vcos V ) MV 0（1）
m、M、地：E守恒，
mgR(1 cos ) 1 MV 2 1 mv2
2
2
1 MV 2 1 m(vcos V )2 1 m(vsin )2 (2)
末了P MVn mv0 Vn v0
P (m M )v0
墙对m作用的冲量＝系统动量的变化
一次冲量为 2mv0 n次冲量为 2nmv0
2nmv0 (m M )v0
M m
(2n 1)
质量均为M的两辆冰车，静止在光滑的水平面上，一质量为m的人 从第一辆冰车跳到第二辆冰车上，再由第二辆冰车跳回第一辆冰车， 则冰车2与冰车1的末速度之比是多少？
mv0
MVn
mv0
Vn
Vn1
2m M
v0 (n)
(1) (2) (n)
得：（V1
V2
Vn )
（V1
V2
Vn1)
(n
1)
2m M
v0
m M
v0
m
Vn M (2n 1)v0 M (2n 1)
Vn v0 （刚好不能接住）
m
另解：系统动量定理：
起始P0 0
m、M
V2 M m V1 M
一摆车系统，小车质量M，单摆摆长l，小球m。初始摆车 静止在光滑水平面上，将摆球拉至水平位置，由静止释放。
求：1）摆球落至与水平方向成300角时小车移动的距离？
解：1）小球v，小车V
x1
l
{球，车} Fx外＝0 mv x MV 0
300
vx
vx
M m
V
t
0 vxdt
V m
2 gl
M(M m)
vx
v
vy
V
3）{球，车} mv x MV 0
{球，车，地} 1 mv 2 1 MV 2 mgl sin
v
2
vmM
V
2
v
V
v,V , v
v2
v
2 x
v
2 y
vx vx V vsin V v y vy vcos
例：半径为R，质量为M，表面光滑的半球放在光滑的水平面上，
m v0 A B
得：v 6m / s fB 1.8103 N
2）{子弹、B}: mv mBv (m mB ) vB
{子弹}： ft mv mvo 得：v 500m / s vB 22m / s vA v 6m / s
小船质量M、长L，一木桩固定在水中，初始位于船正 中。有两人甲M、乙m（M>m），都以相对船为vo的速 率，从船两头走向木桩。问：谁先到达木桩？t=？
守 恒定 律
三个基本物理量：
机械能（Ek
Ep
)、 动量（mv)、 角动量（L
r
mv)
三个定理：
A外＝
F
ds
Ek
I
F
dt
P M
dt
L
三条守恒定理的条件：
A外＋A非保守＝0机械能守恒 F外＝0动量守恒 M 外＝0角动量守恒
A和B紧靠在光滑水平面上，mA=2kg，mB=3kg。m=100g
mvRe mv(6.6Re )(3)
(1) (2)
vn 4.7Re g
(3) v 6.6Reg
v
Me vn
m r R h
N N1 F ntmg nm 2gh
h
t 时刻已落入盒中的石子重量：N1 nt mg 碰撞盒底的石子 v0 2gh
v0
碰撞时间 t : F t P2 P1 0 mv0
nt m 2gh
F F
已知人以 v0 的速度将箱子推向墙壁发生完全弹性碰撞后箱子以 v0
弹回，被人接住，重复以上运动。
v
v' Me vn
m r R h
mvr mr 2卫＝mr 2地自＝恒量 r为一确定的值。
G
Mem r2
mr
2卫＝mr
2地自＝mr
(
2
T
)2
G
Mem Re2
mg
r
T 2Re2 g
4 2
6.6Re
h r Re 3.6107 m
（2）回收卫星时需启动卫星上的备用火箭产生一推力，使卫星获
得一指向地心的分速度 vn ，以改变卫星的轨迹，若欲使卫星切向 地在地面着陆，则 vn 需多大？着陆时卫星的速度为多大？
vo ) t
L 2
t t 乙先到达 t (2M m)L 6Mv o
注意：守恒定律中各运动函数必须相对同一惯性系
秤盘上放一空盒，初始读数调为0。然后从高h处将小石
子流以每秒n个的速率注入盒中，每粒石子质量m。若石
子与盒底作完全非弹性碰撞，求t=0开始注入到t 秒时秤
的度数。
n个/秒
解：t时刻盒子受到的压力：
M m
t
Vdt
0
x1
M m
x2
vy V
小球相对车的水平位移：x1 l
3l 2
x1
x1
x2
+
M m
x2
l
3 2
l
x2
x2
ml M m
(1
3) 2
另解：质心运动定律
Fi
mac
i
m、M Fx 0
acx 0 xc 0
又： vc 0
Mx2＋mx1 0
按定义： xc
Mx车＋mx球 M m
其正上方置一质量为m的小滑块，当m从顶端无初速地滑下后，在
图示θ角位置处开始脱离半球，求源自文库M ?
m
解：由于一切面均为光滑，
V
所以m、M Px守恒，
即：mvcos MV 0（1）
m
R
Mθ
m vcos vsin v
光滑
m、M、地：E守恒，
即：mgR(1 cos ) 1 MV 2 1 mv2 (2)
解： 1车、人： 0＝MV1 mv 2车、人： mv＝(M m)V2 MV2 mv
1车、人： MV1 mv (M m)V1
V2 V1
M M
m
另解： 1车、2车、人：
人与冰车的作用是系统 内力，其不改变系统的 总动量，
但可使系统内物体的动 量转换，即 P车1 ＝P车2
(M m)V1 MV2
2
2
2
m脱离M时：N 0
mg cos m v2 (3)
R
（1） （2） （3）
M cos3 3cos 2
m
3cos 2
VM地
θ vm地
vm M
光滑
地球卫星的问题。 （1）试估算同步地球卫星的高度。 （2）地球卫星的回收。 解（1）同步： 卫＝地自
卫星仅受地球引力， 卫星对地心 L守恒。
解： M m u船地 甲 vo
vo 乙
{甲、乙、船}：动量守恒
Mu M (vo ) mvo 0
u船
Mu M (vo u) m(vo u) 0
甲对地： vo u
地面观察： t=0 ，甲、乙距木桩均为 L/2 乙对地： vo u
甲：( u vo ) t
L 2
乙：( u
的子弹以vo=800m/s水平射入A，经0.01s又射入B，最后停
留在B内。设子弹射入A时受 阻力f = 0.003N。
求：1）子弹射入A的过程中，B受到A的作用力的大小？ 2）子弹停留在B中时，A和B速度的大小？
解：1）{B}: fBt mBv 0 {A+B}: ft (mA mB )v 0