补充3.5）设粒子处于半壁高的势场中⎪⎩⎪⎨⎧><<-<∞=ax a x V x V ,00,x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。
求至少存在一条束缚能级的体积。
解：分区域写出eq s .:ax ,0)()(a x 0 ,0)()(22"212'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）其中 ()22022'2k ,2E E V kμμ-=+=（3） 方程的解为kxkxx ik x ik DeCe x Be Ae x --+=+=)()(21''ψψ （4）根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则 当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是ax , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kxDe x a x k F x ψψ （5）在a x =处，波函数及其一级导数连续，得ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）上两方程相比，得 kk a k tg ''-= （7）即 ()E E V E V atg +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+0022 μ（7’） 若令 ηξ==a a k k ,'（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=(10)9) ( 2220a V ctg μηξξξη（10）式是以a V r 202 μ=为半径的圆。
对于束缚态来说，00<<-E V ，结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。
（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚态能级。
当2π≥r ，即222πμ≥a V ，亦即 82220 πμ≥a V （11）时，至少存在一个束缚态能级。
这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrer er -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψrJ 1 与同向。
表示向外传播的球面波。
r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m 2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ 可见，rJ 与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikxex =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
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第三章：一维定态问题［1］对于无限深势阱屮运动的粒子（见图3・1）证明…上（1—亠212 / 兀 2并证明当"T 00时上述结果与经典结论一致。
［解］写出归一化波函数:(1)先计算坐标平均值：x=「|屮「曲=「dn 2竺曲显「（l — cos 込）xdx Jo X a agJo a 利用公式：. xcos px sin px xs in pxax — --------------------- 1 -------- ；—P P—f 1T/ 2 2 / f 2 2 - 2 MX J 1 f" 2/1 2勿才、, x - 屮才 ax- —x sin 〜 ---------- ax-— 才Pl — cos ---------- ) axJo J a a a利用公式 ［才2cos pxdx-—x 1 sin /zr +丄7才cos/zr —— sin pxJp矿p2/77LV(2)才 cos pxdx -xs in px cos px(3)(5) nnx得计算均方根值用s-$2 = 7-pj 2 J 以知，可计算7/__/ 12 ~ 2/72^2在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0, a ）范围中运动，各点的几率密度看作 相同，由于总几率是1,几率密度CD=-.a_ f" 」r z, 1 , a x - coxar = —xax=—Jo Jo a 2［解］（甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下:（x<0 区）：屮=(x>a 区)：H 7 = De~kyX但仏三寸2腻人一Q 丨Hk 、三 J2同匕 _ Z ）/ 1i 写出在连接点x=0处连续条件（0<x<a 区）：屮=BdJC 沙(2) (1) (3)/c 2 三 J2/〃Z7力故当/?—> oo 时二者相一致。
#［2］试求在不对称势力阱屮粒子的能f 4= B+CI k\A = ikAB—C} x=a处连续条件Be ikl<i + Ce ikia = De kyi (6)Bd® - C严=竺De kyi（7）（4）（5）二式相除得k x B-Cik[ B + C（6）（7）二式相除得ik、_ B" _ C严石一Bd^ + C严从这两式间可消去B, C,得到一个k&出间的关系ik、_ （心 + 右 + ik石+%2）/"+（一£ +%2）才®k、cos k^a-k2 sin k、a/(心sin k’a* k z cos k z a\解出tgkg得tgk、a = /"J + "）+ 〃兀（〃=0,1,2,...）〜k；-心最后一式用E表示吋，就是能量得量子化条件:個〃〃 + 一夕）tg --------- a -- ------ -- 彳、，〜卉夕-JW-勾“一刀（乙法）在0<x<a区间屮波函数表示为(8)屮（才）=2?sin （禺才+§）现在和前一法相同写出边界条件:力=2?sin 5(在x=0处) (9)(在x=a处) k x A-局〃cos5 (10)(11) 一(2 方cos/a+M = k^De(12)(9) (10)相除得加 3+»)=写出(13) (14)的反正切关系式，得到:E------- + mn V x -E EF Z77T V x -EE V z -E前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。
