第6章专题一
一元一次方程的解法及其应用
【教学目标】
1. 经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2. 了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3. 会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活运用。
4. 会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
5. 通过实践与探索过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。
【典型例题】
例1. 已知()||m x m +=-320032是关于x 的一元一次方程，求m 的值。
解：由一元一次方程的定义可知：
||m m -=+2130，且≠
由||||m m m -===2133，得，则±
又由m m +-303≠，得≠
∴m =3
小结：方程ax b a a b +=00()≠，且、为已知数是关于x 的一元一次方程，这里包含有（1）未知数只有一个，且未知数的最高次数是“1”。（2）未知数的系数合并后不能为零。
（3）它必须是等式。
例2. 已知x =23是一元一次方程33432
5()m x x m -+=的解，则m 的值是多少？ 解：因为x =
23是方程334325()m x x m -+=的解， 所以3342332235()m m -
+=×× 即332
15m m -+=
解得m =-14
小结：方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值，x =
23是原方程的解，则把原方程中的x 换成
23后等式仍然成立。从而可以得到另一个关于m 的方程求解。
例3. 解下列方程：
（1）5263x x +=-
（2）0408613...x x -=-
（3）30%70%(440%x x x ++=-)
（4）32234122[(
)]x x ---= （5）97352775
x x +=- （6）
21431233436()()()x x x -+-=-+ （7）x x +--=-40230516..
. 解：（1）5263x x +=-
移项得： 2365+=-x x
合并同类项得：5=x
∴x =5
（2）由方程0408613...x x -=-两边同时乘以10得：
486013x x -=-
413608x x +=+
1768x =
x =4
（3）30%70%(440%x x x ++=-)
方程两边都乘以100得：
3070440x x x ++=-()
3744x x x ++=-()
372840x x x +++=
1428x =-
x =-2
（4）32234
122[()]x x ---= 去中括号得：
()x x 4
132---= x x 4
132---= x x --=1648
-=324x
x =-8
（5）97352775
x x +=- 97273575
x x -=-- x =-2
（6）214312334
36()()()x x x -+-=-+ 214312334
36()()()x x x -----= ()()x ---=32141234
6 436()x -=
4126x -=
418x =
x =92
（7）
x x +--=-40230516... 545022320516().().
.x x +--=-×× 5202616x x +-+=-.
3276x =-.
x =-92.
例4. 如果关于x 的方程23523331432x x n x n n -=--=+-与()的解相同，求()n -358
2
的值。
解法（1）：由方程23523
3x x -=-可得： 3231045()x x -=-
691045x x -=-
459106-=-x x
364=x
x =9
由题意可知x =9是方程31432n x n n -
=+-()的解 则：314
392n n n -=+-() 314
2732n n n -=+- 22714n =+ n =1098
当n n =-=-==10983581098358
10100222时()() 即()n -=35
81002
解法（2）：解方程
2352339x x x -=-=得： 解方程314
32n x n n -=+-() 314332n x n n -
=+- 214
3n x -= ∴x n =-23112
又因为两个方程的解相同 所以：923112=
-n
23109121098
n n == ∴()n -=3581002
。
例5. 已知关于x 的方程kx -=40的解为整数，求整数k 的取值。
解：由kx -=40可知，当k ＝0时，原方程无解，不符合题意，所以k ≠0
则由kx -=40，得： x k
=4 因为原方程的解为整数，故整数k 为4的约数，所以k ＝±1，±2，±4都满足题意。 即：k ＝±，±2，±4
例6. 已知x 25=，不解方程求代数式x x x 323521--+的值，
解法（1）：因为x 2
5=
所以x x x 323521--+ =--+=--+=-=x x x x x x 223521
535521
21156
··× 即x x x 32
35216--+=
解法（2）：因为x x 2255==，则
所以x x x 323521--+ =--+=--+=-+=-+=x x x x x x x x 3223232321
321
321
3521
6
·×
解法（3）：由x 25=得 x 250-=
所以x x x 32
3521--+
