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十二投资组合优化PPT课件

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投资组合的优化与管理

投资组合的优化与管理

投资组合的目标和策略
投资组合的目标可以分为收益目标和风险目标两类。收益 目标是指投资者希望通过投资组合获得一定的收益，风险 目标是指投资者希望通过投资组合控制风险，保持资产价 值的稳定。
投资组合的策略可以根据市场情况和投资者偏好来确定。 常见的投资策略包括定投策略、分散投资策略、价值投资 策略等。投资者可以根据自己的情况选择适合自己的策略 ，并定期进行评估和调整。
投资者将更加注重多元化投资，以降低单一资产的风险。
可持续投资
随着社会对可持续发展的关注度提高，可持续投资将成为未来的 趋势。
THANKS.
投资组合的优化与管理
目录
• 投资组合概述 • 投资组合的优化 • 投资组合的管理 • 投资组合的未来发展 • 结论
投资组合概述
01
投资组合的定义
投资组合是指投资者根据自己的风险承受能力、投资目标和市场情况，将资金分 散投资于多种资产，如股票、债券、基金、商品等，以实现资产增值和风险控制 的一种投资方式。
管理投资组合的关键因素
1 2
资产配置
合理配置股票、债券、现金等资产，以达到风险 和收益的平衡。
定期调整
根据市场变化和投资组合的表现，定期调整投资 组合。
3
风险管理
识别和管理投资组合中的潜在风险，确保投资安 全。
对未来的展望
技术进步
随着金融科技的不断发展，投资组合的管理将更加智能化和个性 化。
多元化投资
投资策略优化
金融科技使得投资者能够更快速地获取和处理信息，从而优化投资 策略，提高投资效率。
结论
05
投资组合优化的重要性
提高收益
通过优化投资组合，投资者可以分散风险，提高 整体收益。

7122 投资组合优化及其效果评估

7122 投资组合优化及其效果评估

投资组合优化及其效果评估投资组合优化是在风险和收益之间做平衡的自然结果，是投资组合管理的核心。

同时，投资组合优化也是一项非常重要的任务，这是因为它决定了投资者的投资风险和收益。

笔者将讨论投资组合优化及其效果评估的话题。

一、投资组合优化1.1 投资组合的定义投资组合是将不同的资产组合在一起，以实现投资风险和回报的平衡。

投资组合可以由股票、债券、现金或其他资产类别组成。

1.2 投资组合的优化方法投资组合的优化方法主要有以下三种：·资本市场线方法：资本市场线是风险对收益率的线性关系，是所有可投资组合中风险最小的组合。

优化投资组合就是要选取处在资本市场线上且风险最小的组合。

·马科维茨模型方法：马科维茨模型是一种基于投资组合的风险和收益构建最佳投资组合的模型。

·整体风险管理方法：这是一种基于总体风险控制的方法，它将整个投资组合看作一个整体进行优化。

1.3 投资组合优化的注意事项在进行投资组合优化时，需要注意以下几点：·确定投资目标：在进行投资之前，需要明确自己的投资目标和风险承受能力。

·考虑资产的种类：投资组合中的投资资产需要选择不同种类资产，各种资产之间相互关联，降低风险。

·确定权重：不同资产的权重会对投资组合的回报产生影响，需要确定每种资产的权重。

二、效果评估2.1 投资组合的效果评估方法投资组合的效果评估方法有两个主要方面。

·收益率方面的评估：就是通过一定时间内投资的收益率来评估投资组合的效果。

·风险方面的评估：就是通过评估策略所产生的风险程度来评估投资组合的效果。

2.2 效果评估的注意事项在进行效果评估时，需要注意以下几点：·确定评估指标：评估指标是评估投资组合效果的重要标准，需要选取合适的指标。

·进行对比评估：可以将投资组合效果与其他投资组合进行比较评估，以确定该投资组合的优劣及相应的风险。

可以采用基准组合的方式进行对比评估。

金融实践课程投资组合优化和资产配置培训课件

金融实践课程投资组合优化和资产配置培训课件
金融实践课程投资组合
优化和资产配置培训课
汇报人：
件
2023-12-26
CONTENTS 目录
• 课程介绍与目标 • 投资组合理论基础 • 资产配置策略与方法 • 投资组合优化模型与算法 • 金融市场工具与产品选择 • 投资组合业绩评价与风险管理 • 案例分析与实战演练 • 课程总结与展望
CHAPTER 01
课程安排
本课程共分为理论讲授、案例分析、实践操作三个部分，其中理论讲授主要讲解投资组合优化和资产配置的基本 理论和方法，案例分析通过具体案例深入剖析投资组合优化和资产配置的实践应用，实践操作则是通过模拟投资 环境进行实战演练。
课程时间
本课程共计32学时，其中理论讲授16学时，案例分析8学时，实践操作8学时。课程时间可根据实际情况进行调 整。
期货
一种标准化合约，约定在未来某个时间以特定价格买卖某种资产 ，用于对冲风险和投机交易。
期权
赋予持有者在未来某一特定日期以特定价格购买或出售一种资产的 权利的合约，具有非线性收益和风险特征。
结构化产品
将固定收益证券与衍生产品相结合，创造出具有不同风险收益特征 的投资组合。
另类投资品种介绍
对冲基金
私募股权
课程作业与评估
布置与课程内容紧密相 关的作业，要求学员独 立完成并提交报告，对 学员的学习成果进行评 估和反馈。
未来发展趋势预测
智能化投资顾问
随着人工智能和大数据技术的发展，智能化投资顾问将在 未来扮演越来越重要的角色，为投资者提供更加个性化、 精准的投资建议和服务。
可持续投资策略
随着社会对可持续发展和环境保护的重视，可持续投资策 略将成为未来投资领域的重要趋势，投资者将更加注重企 业的社会责任和环境绩效。

投资组合管理PPT课件

投资组合管理PPT课件
财富（未来消费）效用——E [U(W)]，最大化。 • 未来财富由投资策略所决定。由于未来的投资回报为随机变量，因
此未来的财富水平也是随机的。
2021/3/29
授课：XXX
11
效用函数与风险态度
• 在未来不确定的环境下，投资者总是期 望从投资中获得较大的未来效用（财富 ），而其期望效用是一随机变量（财富 ）的函数。因此，投资者对风险的态度 由其效用函数的形态所决定。
授课：XXX
22
正文 第三章
投 资 组 合 构 建
投资组合管理的目的
投资组合管理的目的 钱更贵 按照投资者的需求，选？择各种各样的证券和其他资产
组成投资组合，然后管理这些投资组合，以实现投 资的目标。投资者需求往往是根据风险（Risk）来 定义的，而投资组合管理者的任务则是在承担一定 风险的条件下，使投资回报率（return）实现最大 化。
•穷人被海水冲到一个小岛上，岛上的酋长看见穷人头顶的木碗，感到 非常新奇，便用一大口袋最好的珍珠宝石换走了木碗，派人把穷人送 回了家。一个富翁听到了穷人的奇遇，心中暗想，一只木碗都能换回 这么多宝贝，如果我送去很多可口的食物，该换回多少宝贝！
•于是，富翁装了满满一船山珍海味和美酒，找到了穷人去过的小岛。 酋长接受了富人送来的礼物，品尝之后赞不绝口，声称要送给他最珍 贵的东西。
香烟
羽绒服
限量版
授课：XXX
10
效用函数与风险偏好
• 效用在经济学上是指人们从某事物中所得到的主观的满足程度。 • 投资者的效用是投资者对各种不同投资方案形成的一种主观偏好指
标（态度）。投资者的效用是其财富的函数。 • 假定投资者为理性效用最大化者（Rational Utility Maximizers） • 投资者的目标是在服从预算约束的条件下，使当前消费效用和期望

金融实践课程：投资组合优化和资产配置培训课件

金融实践课程：投资组合优化和资产配置培训课件

02
03
定期调整
按照预定周期（如季度、半年或 年度），对投资组合进行例行检 查和调整，以保持投资策略的一 致性。
04
风险管理与压力测试
风险管理原则
确立风险管理目标、制定风险管理政策、构 建风险管理框架，确保投资组合风险在可控
范围内。
风险识别与评估
通过模拟极端市场环境和不利情景，测试投 资组合的抗压能力及潜在损失，为风险应对
具备一定的风险识别和管理能力 ，能够评估和调整投资组合的风 险水平。
01
02
掌握投资组合优化和资产配置的 基本理论和方法。
03
了解不同资产类别的特点和配置 策略，能够根据市场环境和投资 者需求进行资产配置。
04
课程安排与时间
01
课程时间
共计32学时，每周4学时，连续8周。
02
授课方式
采用线上和线下相结合的方式，包括课堂讲授、案例分析、小组讨论和
提升投资决策水平
通过学习和实践投资组合优化和资产配置的 理论和方法，可以提高投资者的投资决策水 平和风险管理能力。
推动金融人才培养
本课程作为金融实践课程的重要组成部分， 旨在培养具备投资组合优化和资产配置能力 的金融人才，满足金融市场的需求。
教学目标与要求
能够运用所学知识进行实际投资 组合的构建和优化。
学员心得分享与互动环节
学员心得分享
多位学员分享了他们在课程学习过程中的感悟和收获，包括对投资组合理论和资产配置策略的更深入理解，以 及在实际操作中的应用和体验。
互动环节
通过小组讨论、案例分析等方式，学员们积极参与互动，共同探讨投资组合优化和资产配置的实践难题和解决 方案。
未来发展趋势及挑战

第十二章投资组合优化1.pptx

第十二章投资组合优化1.pptx
X X AX为标量 X 为列向量，
A A X 也为列向量
• 列向量对列向量求导为矩阵
AX A中AX为列向量，X为列向量，则A为矩阵 X
主要内容 • 问题1：给定预期收益，最小化风险 • 问题2：给定风险，最大化预期收益 • 问题3：不考虑预期收益，最小化风
险 • 问题4：不考虑风险，最大化预期收
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
f1 X
f
X
f2
X
fm
X
• f(X)的一阶导数如下：
x1
X
x2
xn
f11 f12
f
f21
f22
X
fm1
fm2
f1n
f2
n
fij
fi x j
f
mn
Matlab实现
12
1
2
13
1
3
121 2
2 2
23 2 3
131
3
23 2 3
2 3
投资组合优化
• 目标函数
1 2 wVw w1
w2
w3
2 1
21
12
2 2
13 23
w1 w2
31
32
2 3
w3
w12
2 1
w22
2 2
w32
2 3
2w1
w212
2w1
w313
2w2 w3 23
• 约束条件1
wT e w1 w2
w3
e1
e2
e3
w1e1
w2e2
w3e3
E

投资组合(PPT)

投资组合(PPT)
一致。P74
第二十页，共二十九页。
证券市场线：
Ri= Rf＋i ·(Rm－Rf)
上式说明个别证券的报酬来自无风险报酬， 加上受系统风险影响的系统风险报酬。
Ri为证券i的期望收益率〔必要(bìyào)报酬率〕 i为其系统风险指标 〔Ri- Rf〕为证券i的期望超额收益率， (Rm－Rf)为风险的平均补偿水平
报酬的一种系数或倍数。
确定方法：
b=(R – Rf)/w w－标准离差率
b=(最高报酬率-最低报酬率)/〔最高标
准报酬率-最低标准离差率〕×100%
公司(ɡōnɡ sī)领导或者组织专家确定；
国家有关部门组织专家确定。
第五页，共二十九页。
计算风险报酬(bào 的方法： chou)
• 根据(gēnjù)投资额与风险报酬率计算：
• 多角经营(jīngyíng) • 多角筹资
第七页，共二十九页。
认识 投资组合 (rèn shi)
由一种以上的证券或资产构成(gòuchéng)的集合称为 投资组合。
投资组合的预期报酬率为所有个别资产预期
报酬率的加权平均数
E(Ri)＝W1·R1+ W2·R2+ · · · + Wn·Rn
第八页，共二十九页。
第二十一页，共二十九页。
例：无风险证券的报酬率为7%，市场证券 组合(zǔhé)的报酬率为13%。 问：1〕计算市场风险报酬率。
2〕如果某一投资方案的 系数0.8，其短
期的报酬率为12%，是否应该投资？ 3〕如果某证券的期望报酬率是16%，那么 其
系数是多少？
第二十二页，共二十九页。
解：
1〕市场风险报酬率〔市场平均的期望超额(chāo é)收益 率〕

投资学之优化风险投资组合(ppt 27页)

投资学之优化风险投资组合(ppt 27页)

如果投资组合的相关系数或协方差为负，则 投资组合的风险将降低；即使为正，投资组合的 标准差仍然低于个别证券标准差的加权平均值， 除非两证券完全正相关。
注意：预期收益和各证券收益相关性无关。
结论：各资产之间相关系数越小、所产生的 分散效果越好。
思考：投资组合的标准差最低能是多少呢？
三证券投资组合
E (r p ) w 1 E (r 1 ) w 2 E (r 2 ) w 3 E (r 3 )
Cov(rD,rE)= Covariance of returns for Security D and Security E
协方差
Cov(rD,rE) = DEDE
D,E = Correlation coefficient of returns
D = Standard deviation of returns for Security D
• 由图7-4可知，在投资比例位于0和1之间时， 组合的标准差均小于各资产标准差的加权平均 值，甚至于有小于单个资产的标准差，显示了 分散化的力量。
• 图 7.3 和 7.4 的结合可以表示投资组合的收益 -标准差之间的关系
Figure 7.5 投资组合期望收益是 标准差的函数
（投资组合可行集或称之为有效边界）
E (rp)w D E (rD )w E E (rE )
两证券投资组合: 风险
P 2 w D 2D 2 w E 2E 2 2 w D w E C o v ( r D ,r E )
2 D
= Variance of Security D
2 E
= Variance of Security E
• 协方差和相关性提供了资产收益相关的测度
两证券投资组合: 收益

第十二章 投资组合优化1PPT48页

第十二章 投资组合优化1PPT48页

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
第十二章 投资组合优化1
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。

优化风险投资组合教材.ppt

优化风险投资组合教材.ppt
3
3
分散化与风险
标准方差 St. Deviation
独特风险(非系统风险) Unique Risk
市场风险(系统风险) Market Risk
股票数量 Number of Securities
图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio
1,2
2 1
2 2
2 1,2
表7-3 不同相关系数下的期望收益与标准差
给定相关系数下的风险投资组合 标准差
最小方差 组合
p 2 1 2 2 w D 2 2 0 2 w E 2 2 1 2 2 0 w D w E 1 4 4 w D 2 4 0 0 w E 2 4 8 0 w D w E
A，B
CoR vA.RB
aB
B 收益
不同的相关系数
ρ=1
ρ=-1
B 收益
A 收益
A 收益
B 收益
ρ=0
A 收益
投资学 第7章
3、 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组 P由合长期债券组D合 和股票基E金组成 则有：E(rP) wDE(rD)wEE(rE)
P2 wD2D2 wE2E2 2wDwECov(rD,rE) 又： Cov(rD,rE) DEDE P2 wD2D2 wE2E2 2wDwEDEDE 1 DE 1 越大，组P合的方差越大
❖ 当WD<0，WE>1时，投 资策略是做债券基金的空 头，把所有资金投入股票 基金。
19
例题7-1投资组合的风险与收益
❖ 投资组合比例变动，风险怎么变动？
已知 wD+wE=1 得出标准差的最小值为：

第十二章-投资组合优化1PPT课件

第十二章-投资组合优化1PPT课件
Outline • 矩阵求导简介 • 优化知识 • 允许卖空情况下的投资组合优化 • 不允许卖空情况下的投资组合优化
矩阵求导的有关知识
数对向量求一阶导
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向 量，因变量取值为标量
fXf(x1,x1, ,xn)
• 定义n阶向量的一阶导数如下：
f1
•
f
• Syms s t • V=[s;t] • f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)] • dfdx=jacobian(f,V)
例子
• 假如
X
x1 x2
fX f(x 1 ,x 2 ) 2 x 1 3 x 1 x 2
f
f X
x1 f
2
3x2 3 x1
x2
2f
f
X
XX X
0 3
3 0
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，A为方阵
AX A X
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
XAXAAX
X
a1m
a2m
amm
x1
X
x2
xm
如果A为对称阵则
XAX 2AX X
优化与投资组合理论
总结
• 数对列向量求导仍为列向量
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
f1 X
f
X
f2
X
fm
X
• f(X)的一阶导数如下：
x1
X
x2
xn
f11 f12
f
f21
f22
X

投资组合管理ppt课件

投资组合管理ppt课件

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91
92
存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质 分离性质：无论投资者的风险厌恶如何，他们选择相同的风
险资产投资组合
最优资产组合选择过程可以分成两步：
决定最优风险资产组合 依据风险厌恶的程度在无风险资产和风险资产之间配置资本。
93
a limited number of portfolios may be sufficient to serve the demands of a wide range of investors, this is the theoretical basis of the mutual fund industry.
假设投资者有一笔资金在现时进行投资，这笔资金要投资一段 特定的时期，即所谓投资者的持有期。在持有期的期末，投资 者将卖掉在期初购买的所有证券，然后将所得收入用于消费或 者再投资。
投资者仅仅根据预期收益率和标准差来进行他们的组合的决策 。这就是说，投资者将估计出每一组合的预期收益率和标准差 ，并基于这两个参数的相对大小来选择“最好的”一个。
风险厌恶也指投资者不会选择fair game，fair game指 预期回报率为0的赌博
14
A 资产组合选择问题 3. 效用
Markowitz的资产组合选择问题表述为最大化投资者 末期财富的期望效用
效用财富函数
非满足性=》边际效用为正
U (W ) 0
风险厌恶=》边际效用递减

7
8
9
10
11
12
13
A 资产组合选择问题 2. 不满足与风险厌恶(NONSATIATION AND RISK AVERSION)

第十二章 投资组合理论

第十二章 投资组合理论
第12章 投资组合理论
本章框架
金融风险的定义和类型 投资收益和风险的衡量 证券组合与分散风险 风险偏好和无差异曲线 有效集和最优投资组合 无风险借贷对有效集的影响
第一节 金融风险的定义和类型
• 金融风险？ 金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能 性及其幅度。 • 思考： 1、风险是否等同于亏损？ 2、风险与收益之间的关系？
• 异象：1989年1月至1993年12月间，从IBM股票 与S&P500的比较中，发现风险高而收益率反而 低的现象？ • IBM：收益率-0.61%，标准差7.65% • S&P500：收益率1.2%，标准差3.74% 解释： 收益率只是单个证券收益率的加权平均数，分 散投资不能影响组合的收益率。 而各个证券之间收益率变化的相关关系越弱， 分散降低风险的效果就越明显。 证券组合的标准差一般都低于组合中单一证券 的标准差。
二、无风险借款对有效集的影响
无风险借款并投资于一种风险资产的情形 将无风险借款视为负投资 投资组合位于线段AB右上方的延长线上
B
A
53
2、无风险借款并投资于风险资产组合的情形 投资组合位于线段AB右上方的延长线上 D B A C
无风险借款对有效集的影响
• 无风险借款对有效集的影响 有效集由弧线CTD变为弧线CT加上过A、T点 的直线在T点右边的部分
• 有效集（有效边界） 1、对于相同的风险水平，选择预期收益率最大的组合； 2、对于相同的预期收益率水平，选择风险最小的组合。 可行集上同时满足以上两个条件的投资组合的集合即 为有效集。
• 处于有效边界上的组合称为有效组合。
有效集的位置
• 有效集是可行集的一个子集。 • 考虑第一个条件，相同方差，最大的预期收益率 • 考虑第二个条件，相同预期收益率，最小的方差 • 有效集曲线的特征： 1、一条向右上方倾斜的曲线； 2、一条向上凸的曲线； 3、曲线上不可能有凹陷的地方。

“互动式金融培训课件-投资组合优化”

“互动式金融培训课件-投资组合优化”

3 动态再平衡
根据投资组合的收益和风险情况，动态调整资产配置比例。
金融衍生品在投资组合优化中 的应用
金融衍生品如期货、期权和交易所交易基金等，可以用于投资组合优化和风 险管理，增强组合表现。
投资组合中的资产配置和行业分析
资产配置是根据市场预期和个人风险承受能力，合理选择不同资产类别和行业的比例分配。行业分析则关注不 同行业的投资机会和风险。
投资组合构建方法和工具
1 均值பைடு நூலகம்方差模型
通过计算资产回报和风险 之间的关系，建立有效的 资产组合。
2 因子模型
考虑到市场因素，分析股 票的表现，并根据因子特 征构建投资组合。
3 基本面和技术分析
利用公司的财务指标和市 场技术指标来选择和构建 投资组合。
投资组合优化的风险管理策略
投资组合优化的风险管理策略包括分散投资、资产配置、对冲和保险等方法，以降低投资组合的整体风险。
互动式金融培训课件—— 投资组合优化
本课程将深入探讨投资组合优化的概念、意义及目的，以及构建方法和工具。 我们将介绍衡量和评估投资组合的标准，讨论风险管理策略和投资组合调整 策略，并通过案例分析和实战操作技巧来加深理解。
什么是投资组合优化？
投资组合优化是指通过合理配置资产，以最小化风险并最大化收益的方法，优化投资组合的整体表现。
投资组合构建中的因子模型和风格分析
因子模型和风格分析是投资组合构建中的重要工具，通过考察不同因子对股票表现的影响，选择合适的投资风 格并构建投资组合。
投资组合调整和再平衡策略
1 定期调整
根据市场情况和投资目标，定期调整 投资组合的资产配置比例。
2 事件驱动调整
根据特定事件的发生，及时调整投资 组合以应对市场波动。
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L w
Vwp
e
0
L
E
~
rp
wTp e
0
L
1
wPT
0
• Remark：第一个等式实际上可以展开n个
投资组合优化的数学表述
• 其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵，因 此上述一阶条件也是全局优化的充分必要条件。
• 由上述方程可得
wp V 1e V 1
E
r~p
eTV 1e
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
f1 X
f
X
f2
X
fm
X
• f(X)的一阶导数如下：
x1
X
x2
xn
f11 f12
f
f21
f22
X
fm1
fm2
f1n
f2
n
fij
fi x j
f
mn
Matlab实现
投资组合优化的数学表述
• 给定收益情况下风险最小化
• 风险采用方差来衡量
• 目标函数 min1/ 2wTVw
w
• 约束条件1 • 约束条件2
wT
e
E r~p
wT 1
投资组合优化
•其中，ww为 wwNw123支股票权e 重 的 eee列123 向量，1e表示111N支股票的N维期望
2 1
V
eTV 1
1 TV 1e TV 1
投资组合优化的数学表述
• 由上述方程可得，拉格朗日乘子
CE r~p
A
D
B
AE
r~p
D
投资组合优化的数学表述
• 由上述方程可求投资组合权重
A TV 1e eTV 1 B eTV 1e C TV 1 D BC A2
g
1 D
B(V
1I
Outline • 矩阵求导简介 • 优化知识 • 允许卖空情况下的投资组合优化 • 不允许卖空情况下的投资组合优化
矩阵求导的有关知识
数对向量求一阶导
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向 量，因变量取值为标量
f X f (x1, x1, , xn )
• 定义n阶向量的一阶导数如下：
益
问题1
• 给定预期收益时，最小化风险
• 目标函数为二次型 min1/ 2wTVw
w
• 约束为线性约束
wT
e
E r~p
• •
当 当不 限允 制许 了卖 某空个时资，产投0资w份T额w，i给11定投资权重的
上下界
Li wi Ui
问题2
• 给定风险时，最大化收益
• 目标函数为线性
max wT e
• 约束条件1
wT e w1 w2
w3
e1
e2
e3
w1e1
w2e2
w3e3
E
r~p
• 约束条件2
1
wT w1 w2 w3 1 1
1
投资组合优化的数学表述
• 第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数
min
w. .
L
1/
2wTVw
(E
rp
wT e)
1 wT
• 第二步，求解一阶条件
• Syms s t • V=[s;t] • f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)] • dfdx=jacobian(f,V)
例子
• 假如
X
x1 x2
f X f (x1, x2 ) 2x1 3x1x2
f
f X
x1 f
2
3x2 3x1
x2
2 f
f1
•
f
f
2
X
f
n
其中
fi
f xi
• Remark：scalar-valued function of a vector，又称 梯度
数对向量求二阶导
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向 量，因变量取值为标量
f X f (x1, x2, , xn )
• 定义n阶向量的二阶导数如下：
w • 约束为非线性约束和线性约束
wTVw
2 p
wT 1
问题3
• 不考虑预期收益，最小化风险 • 目标函数为二次型
min1/ 2wTVw
w
• 约束为线性约束
wT 1
问题4
• 不考虑风险，最大化收益 • 目标函数为线性
max wT e
w • 约束为线性约束
wT 1
允许卖空时投资组合优化
)
A(V
1e)
h
1 D
C(V
1e)
A(V
1I )
•
wp g
对应的方差
hE
r~p
2 p
wTpVwp
允许卖空情况下的权重求解
• function [wp,varp]=meanvar(e,V,rp) • %. 求解投资组合权重 • %输入：e每个资产的预期收益率组成的收益率
列向量 • %输入：V 收益率的方差协方差矩阵 • %输入：rp为投资组合的预期回报率 • %输出: wp为投资组合权重，列向量 • %输出: varp为投资组合的方差
f
f X
x1 f
2
3x2 3x1
x2
2 f
f
X
X X X
0 3
3
0
Matlab实现
• Syms x1 x2 • X=[x1 x2] • F=2*x1+3*x1*x2 • Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)] • g1=jacobian(Dfdx,X)
f11 f12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 2 f
f21
f22
X X
fn1
fn2
f1n
f2
n
其中
f
nn
fij
f xix j
• Remark：scalar-valued function of a vector，又称 海赛矩阵，n*n方阵
例子
• 假如
X
x1 x2
f X f (x1, x2 ) 2x1 3x1x2
f
X
X X X
0 3
3
0
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，A为方阵
AX A X
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
X AX A A X
X
a1m
a2m
amm
x1
X
x2
xm
如果A为对称阵则
X AX 2AX X
优化与投资组合理论
总结
• 数对列X A向X 量 求A 导A仍 X为中列向量
X X AX为标量 X 为列向量，
A A X 也为列向量
• 列向量对列向量求导为矩阵
AX A中AX为列向量，X为列向量，则A为矩阵 X
主要内容 • 问题1：给定预期收益，最小化风险 • 问题2：给定风险，最大化预期收益 • 问题3：不考虑预期收益，最小化风
险 • 问题4：不考虑风险，最大化预期收
12
1
2
13
1
3
121 2
2 2
23 2 3
131
3
23 2 3
2 3
投资组合优化
• 目标函数
1 2 wVw w1
w2
w3
2 1
21
12
2 2
13 23
w1 w2
31
32
2 3
w3
w12
2 1
w22
2 2
w32
2 3
2w1
w212
2w1
w313
2w2 w3 23