北 京 交 通 大 学
2013~2014学年第二学期概率论与数理统计阶段测验（一）
参 考 答 案
一．（本题满分8分）
将12本各不相同的书籍放在书架的一层上，求指定的4本书放在一起的概率． 解：
设{}本书放在一起指定的4=A ，求()A P ．
12本不同的书籍放在书架的一层上，有不同的放法!12种（样本点总数）．
将指定的4本书看成一本，再与其它的8本书一起放，有放法!9种；再，指定的4本书有放法!4，因此事件A 含样本点数为!4!9⨯个．所求概率为 ()01818.055
1
!12!4!9==⨯=
A P ． 二．（本题满分8分）
已知甲袋中装有2个红球、5个白球；乙袋中装有4个红球、3个白球．现掷一颗均匀的骰子，若所得点数能被3整除，则从乙袋中取出一球，否则从甲袋中取出一球．⑴. 计算所取的球为红球的概率（4分）；⑵. 已知所取的球为红球，球该球是从甲袋中取出的概率（4分）． 解：
设{}从甲袋中取球=A ，{}取出的球为红球=B ， ⑴. 由全概率公式，得
()()()()()
A B P A P A B P A P B P += 3
274317532=⨯+⨯=
⑵. 由Bayes 公式，得 ()()()
()()()()
A
B P A P A B P A P A B P A P B A P ⨯+⨯⨯=
757
43175327532=⨯+⨯⨯
=
三．（本题满分8分）
一实习生用同一台机器独立地制造3个同种零件，第i 个元件是不合格品的概率为
1
1
+=
i p i ， ()3,2,1=i 以X 表示3个零件中合格品的个数，求{}2=X P ． 解：
设{}个零件是合格品第i A i =，()3,2,1=i ．则 {}3213213212A A A A A A A A A X ⋃⋃==， 而且321,,A A A 相互独立，以及()()()4
34
11,3
23
11,2
1
211321=-==-==-
=A A A P
所以，{}()
3213213212A A A A A A A A A P X P ⋃⋃== ()()()
321321321A A P A A P A A P ++=
()()()()()()()()()
321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
24
11
413221433121433221=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
四．（本题满分8分）
有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次．⑴. 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少（3分）？⑵. 某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功3次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）（5分）． 解：
⑴. 设{}试验成功一次=A ，则有
()70
1
484
4==C C A P
⑵. 设X ：试验10次成功的次数，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛
701,10~B X
由于()47
3
310101633.370697013-⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P 因此随机事件{}6==X B 是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件{}6==X B 是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力．
五．（本题满分8分）
将一个表面涂有颜色的正方体等分为1000个小正方体，从这些小正方体中任取一个．令X 表示所取的小正方体含有颜色的面数，⑴ 求X 的分布列（5分）；⑵ 求概率()1≥X P （3分）． 解：
⑴ X 的取值为3,2,1,0． {}100083=
=X P ，{}1000962==X P ，{}10003841==X P ，{}1000512
0==X P ． 所以，X 的分布列为
⑵ ()()111<-=≥X P X P ()01=-=X P 512.01-= 488.0.01-=．
六．（本题满分8分）
设离散型随机变量X 的可能取值为 ,2,
1，其相应的概率分别为
()!
k C k X P k
λ⋅
==， () ,2,1=k ．
其中0>λ为参数．求常数C ． 解：
由 ()∑∞
===1
1k k X P
∑∞
=⋅
=1
!
k k
k C λ
∑
∞
=⋅=1
!
k k
k C λ
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅=∑∞=1!0k k k C λ ()
1-⋅=λe C 所以，1
1
-=
λe C ． 七．（本题满分8分）
某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从4
1
=
λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：
X 的密度函数为()⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
0414x x e
x p x
X ． 设=A “候车时间超过5分钟”，则
()45
5
4
415-+∞
-==≥=⎰e dx e X P p x ．
设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,
5~，因此所求概率为
()()()()4
1
155
005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥
4438.015114
45
455
45=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---e e e ． 八．（本题满分8分）
设连续型随机变量X 的分布函数为
()x B A x F arctan +=， ()+∞<<∞-x ．
试求：⑴. 系数A 与B ；⑵. 概率{}11<<-X P ． 解：
