对数函数及其幂函数教案及复习资料详解

1 / 16 对数函数与幂函数

教学目标

一、教学知识点

1、对数函数的概念.

2、对数函数的图象和性质

3、幂函数的概念。

4、五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。

二、能力训练要求

1、理解对数函数的的概念.

2、掌握对数函数的图象和性质.

3、培养学生数形结合的意识.

4、理解幂函数的概念。

5、理解五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。

教学重点

对数函数的图象和性质

幂函数的概念

从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质

教学难点

对数函数指数函数的关系

画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律

对数及其对数函数

1、对数的概念

（1）定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数。

①以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg； 2 / 16 ②以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；

（2）基本性质：

①真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga；

③1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。

（3）运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则

①NMMNaaaloglog)(log；

②NMNMaaalogloglog；③nMnMana(loglogR）。

（4）换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma

两个非常有用的结论①1loglogabba；②bmnbanamloglog。

【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

(1) af(x)=bf(x)=logab, logaf(x)=bf(x)=ab; （定义法）

(2) af(x)=ag(x)f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0（转化法）

(3) af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)

(4) logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)

2．对数函数定义

一般地，当a>0且a≠1时，函数y=㏒2 x.叫做对数函数.

在 a b = N中, 底数a不变, 指数b变为x, 幂N变为y, 得到指数函数y= a x.

在 a b = N中, 底数a不变,指数b变为y,幂N变为

x, 得到对数函数y = loga x.

这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R. 3 / 16 3．对数函数的性质：

（1）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形，即可获得。

同样：也分1a与10a两种情况归纳，以xy2log（图1）与xy21log（图2）为例。

（2）对数函数性质列表：

图

象 1a 01a

性

质 （1）定义域：(0,)

（2）值域：R 1

1 2xy

2logyx yx

（图1） 1 1 1()2xy

12logyx yx

（图2）

(1,0) (1,0) 1x 1x logayx

logayx 4 / 16 （3）过点(1,0)，即当1x时，0y

（4）在（0，+∞）上是增函数 （4）在(0,)上是减函数

幂函数

1.问题引入

我们先看下面几个具体问题:

(1). 如果圣诞节卡片每张1元，那么买x张卡片需y元。 y=x

(2). 如果正方形的边长为x，面积为y。 y=2x

(3). 如果正方形边长为x，体积为y。 y=3x

(4). 如果正方形的面积为 x，边长为y。 y=12x

(5). 如果某人x秒内骑车行了1km, 他骑车的平均速度为y. y=1x

以上问题中的函数具有什么共同特征？

答：共同特征：（1）都是函数；

（2）均是以自变量为底的幂；

（3）指数为常数；

（4）自变量前的系数为1;

2、幂函数的概念

一般地，函数 y= x 叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数

注：一般我们讨论为有理数的情况

3、幂函数性质的探究：

对于幂函数，我们只讨论=1，2，3， 12 ，–1 时的情形。

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yx 2yx 3yx 12yx

1yx

定义域 R R R

[0,)

00,)（，）（

值

域 R [0,) R [0,)

00,)（，）（

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数

单调性

)（， 0（，）

)（0，

)（， )[0， 0（，）

)（0，

公共点 （1，1）

通过上表 我们得出：

（1） 函数yx ，2yx ，3yx ，12yx和1yx得图像都通过点（1，1）

（2） 函数yx ，3yx ，1yx是奇函数，函数2yx是偶函数

（3） 在区间0,上，函数yx，2yx，3yx，12yx是增函数，函数1yx是减函数

（4） 在第一象限内，函数1yx的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接6 / 16 近。

由上述推理归纳：幂函数的性质如下

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);

(2)指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数

(3) 如果＞０，则幂函数在区间[0,+∞)上是增函数；

如果＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，图象向右与x轴无限接近。

4、课堂小结

（1）学习了对数函数和幂函数的定义

（2）对数函数和幂函数的图像和性质

（3）利用幂函数的单调性判别“同指数不同底数”的幂的大小

（4）数形结合思想的再次升华

典例解析

例1．计算

（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；

（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23。

例2．设a、b、c为正数，且满足222abc

（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；

（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。 7 / 16

例3.（1）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a, b 表示）

（2）设 1643tzyx 求证：yxz2111

例4．设关于x的方程bbxx(0241R），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 8 / 16 .

例5.已知y=loga(2－ax)在区间[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围．

例6，已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，

（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

9 / 16 例7. 已知幂函数223()mmyxmZ的图象与,xy轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值。

课后练习

1．函数)2(log221xy的定义域是 ，值域是 .

2．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .

3．函数y=)124(log221xx 的单调递增区间是 .

4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是___________.

5．设3421lg)(axfxx若]1,(x时)(xf有意义，求实数a的范围