5.8 Gram-Schimidt QR factorization

数值分析

实习二

院（系）名称 航空科学与工程学院

专业名称 动力工程及工程热物理

学号 SY0905303

学生姓名 解立垚

1. 题目

试用带双步位移QR的分解法求矩阵A=[aij]10*10的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知sin0.50.2,1.5cos1.2,ijijijaijij ,1,2,...,10ij。说明：

1、求矩阵特征值时，要求迭代的精度水平为1210。

2、打印以下内容：

算法的设计方案；

全部源程序(要求注明主程序和每个子程序的功能)；

矩阵A经过拟上三角话之后所得的矩阵1nA；

对矩阵1nA进行QR分解方法结束后所得的矩阵；

矩阵A的全部特征值,1,2,......10iiiRIi，和A的相应于实特征值的特征向量；

其中,.ieimiRRII如果i是实数，则令0.iI

3、采用e型输出数据，并且至少显示12位有效数字。

2. 算法设计方案

本题采用带双步位移的QR分解方法。

为了使程序简洁，自定义类Xmatrix，其中封装了所需要的函数方法。

在Xmatrix类中封装了运算符重载的函数，即定义了矩阵的加、减、乘、除、数乘运算及转置运算(T())。同时为了避免传递数组带来的额外内存开销，使用引用(&)代替值传递，以节省内存空间，避免溢出.

（1）此程序的主要部分为Xmatrix中的doubleQR()方法，具体如下：

Step1：使用矩阵拟上三角化的算法将A化为拟上三角阵A（n-1）(此处调用Xmatrix中的preQR()方法)

Step2：令121,,10kmn， 其中k为迭代次数。

Step3：如果,1mma，则得到A的一个特征值,mma，令1mm，goto Step4;否则goto Step5.

Step4： 如果1m，则得到A的一个特征值11a，goto Step11;如果0m，则goto Step11;如果1m，则goto Step3;

普通矩阵特征值的QR算法

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普通矩阵特征值的QR算法

摘 要

求矩阵的特征值有多种不同的办法，本文主要介绍用QR法求矩阵的特征值，QR法是目前求中等大小矩阵全部特征值的最有效方法之一，使用于求实矩阵或复矩阵的特征值，它和雅可比法类似，也是一种变换迭代法。

关键词：QR分解 迭代序列 特征值 Matlab

一 、QR方法的理论：

对任意一个非奇异矩阵（可逆矩阵）A，可以把它分解成一个正交阵Q和一个上三角阵的乘积，称为对矩阵A的QR分解，即A=QR。如果规定R的对角元取正实数，这种分解是唯一的。若A是奇异的，则A有零特征值。任取一个不等于A的特征值的实数μ，则A-μI是非奇异的。只要求出A-μI的特征值和特征向量就容易求出矩阵A的特征值和特征向量，所以假设A是非奇异的，不是一般性。

设A=A1 ，对A1 作QR分解，得A1 = Q1R1，，交换该乘积的次序，得A2 = R1Q1=，由于Q1正交矩阵，A1到A2的变换为正交相似变换，于是A1和A2就有相同的特征值。一般的令A1=A，对k=1，2，3，…..

)()(1迭代定义分解kkkkkkQRAQRRQA

这样，可得到一个迭代序列{Ak}，这就是QR方法的基本过程。

二、QR方法的实际计算步骤

HouseholderAHessenbergB用阵作正交相似变换上第阵一步............*::::* 普通矩阵特征值的QR算法

2 / 10 Householder变换：如果 v 给出为单位向量而 I 是单位矩阵，则描述上述线性变换的是 豪斯霍尔德矩阵 （v * 表示向量 v 的共轭转置）H=I -2VV*

1kkkGivenkkkBQRBBRQ用变换产生迭代序列第二步12***n

在 MATLAB 中，你可以使用 'qr' 函数来实现 QR 分解。下面是一个简单的示例：

matlab复制代码

% 生成一个随机的矩阵 A

A = rand(5);

% 使用 qr 函数进行 QR 分解

[Q, R] = qr(A);

% 输出 Q 和 R

disp(Q);

disp(R);

在这个示例中，我们首先生成一个 5x5 的随机矩阵 A。然后，我们使用 'qr' 函数对 A 进行 QR 分解，得到矩阵 Q 和 R。最后，我们输出 Q 和 R 的值。

需要注意的是，QR 分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的方法。在上面的示例中，我们使用 'qr' 函数来计算 QR 分解，并得到 Q 和 R

两个矩阵。其中，Q 是一个正交矩阵，R 是一个上三角矩阵。

利用qr分解解方程

摘要：

一、QR 分解简介

1.QR 分解的定义

2.QR 分解在解方程中的应用

二、QR 分解解方程的步骤

1.确定方程的形式

2.构造 QR 矩阵

3.求解矩阵方程

三、QR 分解解方程的实例

1.实例一

2.实例二

四、QR 分解解方程的优势与局限

1.优势

2.局限

正文：

QR 分解是一种在数学和工程领域广泛应用的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另一个矩阵是上三角矩阵。QR 分解在解方程中有着广泛的应用，尤其适用于求解具有特殊形式的矩阵方程。

在进行 QR 分解解方程时，首先需要确定方程的形式。这通常涉及到将方程进行适当的变形，以便于构造 QR 矩阵。接下来，需要构造 QR 矩阵，这一步骤通常涉及到高斯消元法等算法。构造出 QR 矩阵后，可以利用矩阵的乘法性质求解矩阵方程。

在实际操作中，QR 分解解方程的过程可能需要借助计算机进行。不过，随着计算机性能的提升和计算方法的优化，QR 分解解方程的计算速度已经得到了显著提高。

QR 分解解方程在许多实际问题中都有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理、量子力学等领域都有着重要的作用。然而，QR 分解解方程也存在一些局限，例如它不适用于所有类型的矩阵方程，且在处理大型矩阵时可能需要耗费较大的计算资源。

总的来说，QR 分解解方程是一种在数学和工程领域中有着广泛应用的计算方法，它可以帮助我们有效地求解具有特殊形式的矩阵方程。