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微积分练习题

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微积分练习题

微积分B第一学期总练习题

第六章 定积分

1． 11()(2)(0)xFxdtxt的单调减少区间为__1(,)4____.

2． 函数0()xtFxtedt在点x=__0__处有极值.

3．设sin20()sin(),()sinxfxtdtgxxx，则当0x时有( B ).

(A) ()~()fxgx (B) ()fx与()gx同阶，但()fx不等价于()gx

(C) ()(())fxogx (D) ()(())gxofx

4． 求211lnedxxx.2(31)

5． 设dyexfxy12，计算102dxxfx. 21611e

6.求函数dtttxxI)ln1(1)(在],1[e上的最大值与最小值.最大值 3412e，最小值0

7.设函数01 2cos110 )(2xxxxexfx，计算41)2(dxxf

 11tan214e

8.

2sin()xtdtt( C ) (其中2x).

(A) sinxx

(B)

sinxCx

(C) sin2xx

(D)

sin2xCx

9. 设()fx是连续函数,且30()xftdtx,则(8)f=___112__.

10.曲线21(1)yx绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积V为 . 43

11.xdttxxcos1)sin1ln(lim00=___1__ ；)1ln(coslim2002xtdtxx=__1__ .

12. 设()()()baddIfxdxfxdxfxdxdxdx存在,则(C ).

(A) ()Ifx (B) ()IfxC (C) IC

(D) 0I

13.下列广义积分中收敛的是( D ).

A.1lnxdxx B. lnedxxx

C.12(ln)edxxx D. 2(ln)edxxx

14.将长为a的铁丝分成两段，一段绕成一个圆形，另一段绕成一个正方形，要使两者面积之和最小，应该如何分法？ （ 一段长为4ax，另一段长为44a）

15.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只小船，则一日能来回10次。如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？（12次，6只）

第五章 不定积分

1. 若()()Fufu,则(sin)cosfxxdx___. (sin)FxC

2. 若()sin2,fxdxxC则()fx=___. 2cos2x

3. 2()1xfxdxCx,则sin(cos)xfxdx___. 2cossinxCx

4. 若()()fuduFuC.则211()fdxxx___.1()FCx

5.求sincossincosxxdxxx_____. lnsincosxxC

6. 求lnlnxdxx. ln(lnln1)xxC

7. 已知()fx的一个原函数为xe,求(2)xfxdx.

211()22xexC

8.求dxxx2sin2cos2. 12sin2Cx

9.求dxex11. ln1xxeC

第四章 导数应用

1. 0lnlimlnsinxxx______.1

2. 函数()(1)(2)(3)(4)fxxxxxx的导函数有_____个零点.4

3. 下列极限中,不能使用罗必塔法则的是(B ).

(A) 111limxxx (B)201sinlimsinxxxx

(C) 3lnlimxxx

(D)

limlnxxaxxa

4. 设()yfx满足方程sin0xyye,且0()0fx,则()fx在(A ).

(A) 0x处取得极小值 (B)

0x处取得极大值

(C) 0x的某个邻域内单调增加 (D)

0x的某个邻域内单调减少

5. 若()fx与()gx可导，lim()lim()0xaxafxgx，且()lim()xafxAgx，则( C ).

(A)必有()lim()xafxBgx存在，且AB

(B) 必有()lim()xafxBgx存在，且AB

(C) 如果()lim()xafxBgx存在，则AB

(D) 如果()lim()xafxBgx存在，不一定有AB

6. 设偶函数()fx具有连续的二阶导数，且()0fx，则0x( B ).

(A) 不是函数()fx的驻点

(B) 一定是函数()fx的极值点

(C) 一定不是函数()fx的极值点

(D) 是否为函数()fx的极值点还不能确定

7. 若2()()lim3()xafxfaxa，则在点xa处 ( C ).

(A) ()fx的导数存在，且()0fa

(B) ()fx的导数不存在

(C) ()fx取得极大值

(D) ()fx取得极小值

8.求曲线2212xye的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.

x ,1 1 1,0 0 (0,1) 1 (1,)

曲线y 单调增

上凹 拐点

1(1,)2e 单调增

下凹 极大值12 单调减

下凹 拐点

1(1,)2e 单调减

上凹

9.求函数32)1()4()(xxxf的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.

x (,2) 2 (2,1) 1 (1,1) 1 (1,)

)(xf ＋ + + 不存在 - 0

+

()fx - 0 + 不存在 + + +

)(xf ↑下凹 拐点(2,6) ↑上凹 极大值0 上凹 极小值334. ↑上凹

第三章 导数

1．设函数()fx依次是,,sinxnexx,则()()nfx=____,!,sin()2xnenx.

2．若直线12yxb是抛物线2yx在某点处的法线,则b_____.32

3．设)(xf是可导函数，则220()()limxfxxfxx( D).

(A) 0

(B) 2()fx

(C) 2()fx (D)

2()()fxfx

4．若0()sin20axexfxbxx 在0x 处可导,则,ab 值应为( A ).

(A) 2,1ab (B)

1,2ab

(C) 2,1ab (D)

1,2ab

5.曲线21yax在点1x处的切线与直线112yx垂直,则a___. -1

6.设()2xfx,则0()(0)limxfxfx____. 2ln2

7. 设12()max(),(),02Fxfxfxx，其中212(),()fxxfxx，则( D ).

(A) 1102()1222xFxxx

(B) 101()212xFxxx

(C) 101()212xFxxx

(D) 101()212xFxxx

8．曲线53)12()25(xy在点)51,0(处的切线方程是

031510yx .

第一、二章 函数极限与连续

1. )(xf定义域是[2，3]，则)9(2xf的定义域是___. ]5,5[

2. 设xxg2)(，当1x时，1)(xxxgf，则)23(f_ _.

-1

3. 若点)2,1(在函数baxy的图像上，又在它反函数的图像上，则数对),(ba为( B ).

(A) )7,3( (B) )7,3( (C) )7,3(

(D) 不存在

4．设000)(xxxxf，000)(2xxxxg.

求：)(xff， )(xgf， )(xgg，)(xfg.

( )()(xfxff,0)(xgf, 0)(xgg,2))(()(xfxfg )

5. 设函数)(xf和)(xg，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D).

(A))()()()(xgxfxgxf

(B) )()()()(xgxfxgxf

(C) )()()()(xgxfxgxf

(D) )()()()(xgxfxgxf

6．10201521213lim16xxxx. 53()2

7．111lim13352121nnn••. 12

8.

231sin53limxxxx. 3

9. 设0sin010)1()(1xexxxxxxfx，求)(lim0xfx. e

10. 32sin01tan1tanlim1xxxxe. 512

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大学数学：微积分练习题

大学数学：微积分练习题

大学数学：微积分练习题

1. 概述

本文档为大学数学微积分练题，旨在帮助学生巩固和加深对微积分概念和技巧的理解。题目覆盖了微积分的各个方面，包括导数、定积分、微分方程等内容。

2. 练题

1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ 在点 $x = 2$ 处的导数。

2. 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的定积分。

3. 求函数 $y(x)$ 满足微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 + 1$，并满足初始条件 $y(0) = 1$。

4. 计算曲线 $y = x^2 + 1$ 与直线 $y = -2x + 3$ 的交点坐标。

5. 设函数 $f(x) = \sqrt{x}$，计算曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的面积。

3. 解答

1. 对函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ 进行求导，得到 $f'(x) = 6x - 2$。代入 $x = 2$，得到导数的值为 $f'(2) = 10$。

2. 使用定积分的性质，对函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$ 在区间 $[-1, 2]$ 上进行求积分，得到 $\int_{-1}^{2} f(x) dx =

\frac{29}{4}$。

3. 对微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 + 1$ 进行求解，可得 $y(x)

= \frac{1}{3}x^3 + x + C$，其中 $C$ 为常数。代入初始条件 $y(0) =

1$，解得 $C = \frac{2}{3}$，所以符合条件的解为 $y(x) =

\frac{1}{3}x^3 + x + \frac{2}{3}$。

4. 将曲线 $y = x^2 + 1$ 和直线 $y = -2x + 3$ 相交，即求解方程

$x^2 + 1 = -2x + 3$。解方程可得 $x = 1$，代入方程得到对应的 $y

(完整)微积分练习题及解析

(完整)微积分练习题及解析

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练习题

1、质量为2kg的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x轴上的坐标为x=3+5cos2t,y轴上的坐标为y=—4+5sin2t，t为时间物理量，问：

⑴物体的速度是多少?

()'10sin(2)xdxVxttdt

()'10cos(2)ydyVyttdt

2210xyVVV

⑵物体所受的合外力是多少？

222(3)(4)5xy

运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动

22*100405mvFNr

⑶该物体做什么样的运动？

匀速圆周运动

⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？

圆心（3，4），半径5

2、一质点在某水平力F的作用下做直线运动,该力做功W与位移x的关系为W=3x-2x2，试问当位移x为多少时F变为零.

34dWFxdx ，所以当x=3/4时,F=0

3、已知在距离点电荷Q为r处Ａ点的场强大小为E=错误!，

请验证Ａ点处的电势公式为：U = 错误!.

规定无穷远处电势为零，A处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A点所做的功

我们认为在r变化dr时，库仑力F是不变的，

则2kQqdWFdrdrr••

所以20WrkQqdWdrr

即 21rqkQqdrr

所以1|rkQkQrr

4、某复合材料制成的一细杆OP长为L，其质量分布不均匀。在杆上距离O端点为x处取点A,令M为细杆上(完整)微积分练习题及解析

OA段的质量。已知M为x的函数，函数关系为M=kx2，现定义线密度ρ=错误!,问当x=错误!处B点的线密度为何？

2dMkxdx

,2LxkL

5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J，当振动物体离开平衡位置错误!振幅处，其势能EP= ，动能Ek= 。

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案

在学习微积分的过程中，练习题是不可或缺的一部分。通过练习题的解答，可以巩固知识点，并提升解题的能力。本文将提供一些微积分的练习题及其答案，以帮助读者更好地理解和应用微积分的知识。

一、函数与极限

1. 计算以下极限：

(1) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)

(2) lim(x→∞) (4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2)

答案：

(1) 这是一个常见的极限问题，可以通过因式分解进行求解。将被除数和除数同时因式分解，得到 (x + 1)(x - 1)/(x - 1)，可见分母中的 (x

- 1) 可以约去，因此极限的结果为 lim(x→1) (x + 1) = 2。

(2) 这是一个求无穷大极限的问题，可以通过比较最高次项的系数来求解。最高次项的系数对应的是 x^3，因此极限的结果为 lim(x→∞)

(4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2) = 4/3。

2. 计算以下函数的导数：

(1) f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1

(2) g(x) = e^x + ln(x)

答案： (1) 对 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 求导，使用求导法则可得 f'(x)

= 12x^3 - 6x^2 + 10x - 4。

(2) 对 g(x) = e^x + ln(x) 求导，使用求导法则可得 g'(x) = e^x + 1/x。

二、微分与积分

1. 求下列函数的不定积分：

(1) ∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx

(2) ∫e^xsin(x)dx

答案：

(1) 按照积分的求导法则，我们可以得到 ∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx =

(1/4)x^4 - (1/2)x^3 + 2x^2 - x + C，其中 C 为积分常数。

微积分练习题带答案

微积分练习题带答案

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微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 3

2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)

3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x

4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^2

5. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^2

6. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)

7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。 答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)

8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)

9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)

10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)

以上是一些微积分练习题及其答案。通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。因此，通过大量练习和理解微积分的概念和原理，可以帮助我们在实际问题中应用微积分知识，提高解决问题的能力。